布萊克窗函數(shù)頻域插值電力諧波計算

唐軼，陳奎，韓智強(qiáng)，陳雷，楊洛

（中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，徐州 221008）

布萊克窗函數(shù)頻域插值電力諧波計算

唐軼，陳奎，韓智強(qiáng)，陳雷，楊洛

（中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，徐州 221008）

提出了一種電力諧波高精度估計的新方法。首先使用CZT（Chirp Z變換）從含有諧波的電力信號中高精度提取基波相量，并從中減去基波信號；然后加布萊克（Blackman）窗截斷電力信號，用快速傅里葉變換（FFT）計算出剩余信號的頻譜；再依據(jù)基波頻率精確估計出各諧波的頻率；最后依據(jù)各諧波頻率對Blackman窗函數(shù)在頻域插值，精確計算出各電力諧波的參數(shù)。仿真試驗(yàn)表明，該方法與加窗雙譜線插值FFT分析電力諧波方法有基本同等的估值精度，但計算量約為1/2。

線性調(diào)頻Z變換；快速傅里葉變換；諧波分析；布萊克窗；頻域內(nèi)插

電力電子技術(shù)的發(fā)展，非線性負(fù)荷在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用的增加，電力系統(tǒng)諧波污染日益嚴(yán)重，諧波已成為影響電能質(zhì)量的主要問題[1]。快速傅里葉變換FFT（fast Fourier transform）是諧波分析最快捷的工具[2]。FFT精確分析頻譜的前提是信號的同步采樣和整周期截斷，而實(shí)際電網(wǎng)頻率通常在工頻附近波動的，雖然從理論上說通過鎖相環(huán)技術(shù)可解決同步采樣和整周期截斷問題[3，4]。電網(wǎng)頻率并非恒定值，鎖相環(huán)響應(yīng)需要時間，因而難以保證完全同步采樣。普遍采用的思路是通過選擇譜能量主要集中在主瓣的窗函數(shù)，以減小譜間干擾[5～12]；通過雙譜線間插值擬合修正，以減小柵欄效應(yīng)，進(jìn)而提高諧波估計精度[6～13]。加窗插值擬合法有效地提高了諧波估計的精度，但隨著插值修正曲線擬合函數(shù)的階次增高及諧波含有次數(shù)的增多，諧波估計精度提高的同時計算量大量增加。本文將提出諧波高精度估計的另一思路，直接對窗函數(shù)連續(xù)頻譜內(nèi)插精確計算諧波相量。

1 CZT簡介

設(shè)x（n）為信號采樣序列，其長度為N，n= 0，1，…，n，…N-1，其Z變換為

式中，zk為z平面抽樣點(diǎn)，k=0，1，…，M-1。

如果沿z平面上一段螺線作等分角抽樣，如圖1所示，抽樣點(diǎn)為

式中：A0是起始抽樣半徑；θ為起始抽樣點(diǎn)的角頻率；W0是螺線的伸展率，W0〉1向外延伸，W0〈1向內(nèi)收縮；φ為相鄰兩抽樣點(diǎn)之間的角頻率差，φ〉0表示抽樣路徑逆時針旋轉(zhuǎn)，φ〈0表示抽樣路徑順時針旋轉(zhuǎn)。

圖1 CZT在z平面上的螺旋抽樣Fig.1CZT screw slag sampling in z-plane

式中，V（k）=y（k）h（k）可以看成是一個數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)的輸出，可用FFT快速求得：V（k）= IFFT[FFT[y（k）]FFT[h（k）]]。由于式（4）的單位脈沖響應(yīng)h（n）的頻率隨時間成線性增加的線性調(diào)頻信號相似，因此這種變換就稱為線性調(diào)Z變換（Chirp-Z transform）或CZT[14]。

考察式（4）可見：其一，可以計算單位圓上任意一段線段上的頻率樣本，而且可以任意給定起始頻率θ，終止頻率θ+（M-1）φ；其二，頻率樣本的點(diǎn)數(shù)M可以任意給定，而頻率抽樣間隔φ隨著M的增大而縮小，這一特點(diǎn)可達(dá)到細(xì)化頻率、密集譜線、減小柵欄效應(yīng)的目的。這兩個特點(diǎn)顯然具有精確地從含有諧波的電力信號中提取基波參數(shù)的優(yōu)勢。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)[15]，電網(wǎng)最大允許頻率偏差為±0.5Hz，因此，可設(shè)待分析頻段的起始頻率為θ=2π×49.5，終止頻率為θ+（M-1）φ=2π×50.5，即分析帶寬為1 Hz。如果信號采樣頻率為fs=6 400 Hz，若取M=1 280（10個周波），則頻率抽樣間隔φ=2π/ 127 9=2π×7.818 61×10-4。若取模最大值所對應(yīng)的頻率作為基波頻率估計值f1，頻率測量的誤差為|Δf|=（φ/2π）/2≤3.909 30×10-4Hz。因此，按圖2計算流程可計算得基波信號的頻譜X（k），進(jìn)而分別計算得基波的幅值A(chǔ)1、頻率f1和相位φ1分別為

圖2 快速CZT算法流程Fig.2Fast CZT algorithm process

2 窗函數(shù)頻域插值諧波相量的計算

單頻電力諧波信號為

式中：p∈[0，P]，p為諧波次數(shù)，是正整數(shù)，P為最高諧波次數(shù)；Ap為第p次諧波幅值；f1為電力信號基波角頻率；φp為第p次諧波初相角。

以采樣頻率fs=1/Ts對式（8）離散化，得數(shù)字序列為

式中：Ts為采樣周期；ωp=2πpf1Ts為p次諧波數(shù)字角頻率。x（n）經(jīng)Fourier變換后的連續(xù)頻譜為

Blackman窗函數(shù)[13]為

可預(yù)定以電網(wǎng)的基波額定頻率f1′=50 Hz的2i倍（i=1，2，…）采樣，即采樣頻率fs=1/Ts=50× 2i。這樣，電網(wǎng)基波和諧波的額定頻率是與Blackman窗函數(shù)同步采樣并能整周期截斷的。則ωp′=2πpf1′Ts是p次電力諧波信號與Blackman窗函數(shù)同步采樣并整周期截斷的數(shù)字角頻率，以角頻率ωp′在Blackman窗函數(shù)連續(xù)頻譜上在頻域內(nèi)抽樣，必然有WBla（ωp-ωp′）=1，如圖3所示（僅示出正頻段）。

圖3 同步采樣和正周期截斷后的頻譜Fig.3Spectrum with synchronous sampling and integral period truncation

同時p次諧波信號的實(shí)際數(shù)字角頻率ωp= 2πpf1Ts也在同一Blackman窗函數(shù)連續(xù)頻譜上在頻域內(nèi)抽樣求得WBla（ωp-ωp′），如圖4所示（僅示出正頻段）。

由此可求得p次電力諧波。

幅值校正系數(shù)為

圖4 非同步采樣和非整周期截斷后的頻譜Fig.4Spectrum with nonsynch ronous sampling or non-integral period truncating

對xBla（n）的FFT實(shí)際上就是以Δω=2π/N等間隔對XBla（ω）進(jìn)行抽樣的結(jié)果，即

-0.5Δω≤δωp≤0.5Δω，將式（18）代入式（13）和式（14）得p次諧波，則p次諧波的幅值和相位分別為

式中，φp′為電力p次諧波信號的FFT離散頻譜的主譜XBla（kpΔω）的相位。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文采用的仿真軟件為Matlab7.7.0（R2008b）。仿真采用的信號模型為

式中：基波頻率f1為50.4Hz；采樣頻率fs為6400Hz，截斷信號的數(shù)據(jù)長度N為1 280點(diǎn)；電力信號的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真信號的基波及諧波成分Tab.1Components of the simulated harmonic signal

利用CZT，取M=N=1 280，高精度估計出基波頻率、幅值和相位分別為f1=50.400 000 Hz，A1= 220.004 3 V，φ1=0.499 3°。

如圖5所示，本文提出的分析方法與基于Blackman窗的雙譜線插值擬合法具有基本同等的分析精度。用同一臺計算機(jī)和同一個仿真軟件進(jìn)行計算，兩種方法計算耗時分別為7.889 ms和15.830 ms，本文所提方法計算時間減少了一半。

圖5 幅值與相位絕對誤差對比Fig.5Comparisons of absolute errors in calculating amplitude and phase

4 結(jié)語

本文提出了一種電力諧波分析的新思路，即先高精度地估計出含有諧波的電力信號中的基波相量，進(jìn)而，通過窗函數(shù)頻域內(nèi)插值的方法精確計算出各次諧波的校正系數(shù)，分別計算出各次諧波的參數(shù)。通過同一電力信號的仿真試驗(yàn)證明，它與加Blackman窗雙譜線插值擬合估計電力諧波的分析方法有基本等同的估計精度，而這種算法在計算速度上有明顯的優(yōu)勢，是一種很有實(shí)用價值的電力諧波進(jìn)行高精度估計的方法。

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New Calculation Method of Electric Power Harmonic in Frequency Domain Interpolation of Blackman Windows

TANG Yi，CHEN Kui，HAN Zhi-qiang，CHEN Lei，YANG Luo
（School of Information and Electrical Engineering，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008，China）

In this paper，a new method with high accuracy for electric harmonic estimation is presented.First，the CZT（Chirp Z-transform）is used to extract the parameters（amplitude，frequency and phase）of fundamental frequecy signals precisely from the multifrequency signals of power system.Second，after subtracting the fundamental frequency signal from the multifrequency signals，the harmonic signals are truncated with the Blackman window and their spectrums are calculated by fast Fourier transform（FFT）.Then，according to the fundamental frequency，each frequency harmonic is calculated.At last，interpolating on the frequency domain of the Blackman window，the parameters（amplitude and phase）of each frequency harmonic signals can be calculated precisely.The simulation results show that the proposed method almost has the same estimation accuracy with the method which is based on double-spectrum-line interpolation FFT，but the new method only costs about half computation times.

Chirp Z transform；fast Fourier transform（FFT）；harmonic analysis；Blackman window；interpolation on frequency domain

TM935-470.40

A

1003-8930（2013）03-0142-05

唐軼（1957—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事電力系統(tǒng)自動化和電能質(zhì)量控制領(lǐng)域的教學(xué)、研究工作。Email：tangyi@cumt.edu.cn

2011-06-14；

2011-08-17

江蘇省科技支撐計劃（工業(yè)）資助項(xiàng)目（BE2012042）

陳奎（1973—），男，博士，副教授，從事電力系統(tǒng)自動化方面的教學(xué)和研究工作。Email：chenkui73@cumt.edu.cn

韓智強(qiáng)（1987—），男，碩士研究生，從事電能質(zhì)量的監(jiān)測與控制的研究。E-mail：hzqiang87@163.com