基于MODWT在金融數(shù)據(jù)預(yù)測的應(yīng)用

廖麗芳，蔡如華

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引 言

股票市場的狀況通常是一個國家經(jīng)濟繁榮與否的體現(xiàn)，它的繁榮和穩(wěn)定是國民經(jīng)濟運轉(zhuǎn)正常的重要標(biāo)志。對股票價格的準(zhǔn)確預(yù)測，可以提高投資者的市場回報，可以使國家政府職能部門對市場的監(jiān)管更加有效。因此，股票市場自設(shè)立以來就一直受到政府管理者、企業(yè)投資人以及融資人的關(guān)注。利用統(tǒng)計方法研究并預(yù)測經(jīng)濟時間序列，得到越來越廣泛的應(yīng)用。

時間序列分析是數(shù)理統(tǒng)計的一個分支，是動態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計方法，用于解決很多實際問題，例如在經(jīng)濟中預(yù)測銷售量與在醫(yī)學(xué)中預(yù)測膽結(jié)石病發(fā)病率［10－11］。時間序列分析方法來預(yù)測并分析股價也得到廣泛的應(yīng)用，但是股票價格的變動受到很多宏觀與微觀方面的影響，即受到很多噪聲的干擾，這就導(dǎo)致了在不同的，經(jīng)濟序列就表現(xiàn)出不一樣的特性。如果直接對其預(yù)測發(fā)展趨勢，則精確度會有所下降。

小波分析具有良好的多分辨分析能力，能夠自適應(yīng)地伸縮和平移時頻分析窗口的大小，實現(xiàn)對信號時域和頻域的聯(lián)合分析，被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它被廣泛應(yīng)用于信號分析、圖像處理、地震勘探等領(lǐng)域。隨著小波分析的不斷發(fā)展，它在數(shù)理統(tǒng)計以及金融領(lǐng)域也受到了廣泛的關(guān)注。如文獻［2］利用小波變換與時間序列分析對銷售額的預(yù)測，文獻［5］在混沌理論的基礎(chǔ)上把小波分析和最小二乘支持向量機結(jié)合起來對收益價格的預(yù)測，得到了很顯著效果。在文獻［4］中，運用小波分析與時間序列分析結(jié)合起來，對滬鋁期貨進行預(yù)測等等。在上述文獻的方法中，用到的小波基函數(shù)都是經(jīng)典小波與時間序列的結(jié)合，而經(jīng)典小波變換要求被分解信號的長度必需為2的整數(shù)次冪，如果信號的長度不是2的整數(shù)冪，則要通過延拓序列的長度或減少序列長度為2的整數(shù)冪倍，這樣就限制了應(yīng)用的范圍。為了避免這一缺陷，本文利用極大重疊離散小波變換（MODWT）對時間序列進行分解與重構(gòu)。MODWT 是在小波變換的基礎(chǔ)上改進得到的，它對信號分解與重構(gòu)的時候?qū)π盘柕拈L度沒有要求，適用性更廣。

本文主要是通過極大重疊離散小波變換，把股票數(shù)據(jù)進行分解與重構(gòu)，然后得到不同層次的信號，再利用ARMA模型對序列進行擬合及預(yù)測。

1 極大重疊離散小波變換［6］

設(shè)一個長度為N＝2n，n∈Z＋的時間序列｛Xt：t＝0，…，N－1｝，設(shè)｛hl：l＝0，…，L－1｝是一個長度為L的小波濾波器，其滿足以下條件

即小波濾波器其元素和必須為零，必須有單位能量，同時也必須與身身的偶數(shù)平移正交。通過小波濾波器｛hl｝來定義尺度濾波器｛gl｝，它們兩個有如下關(guān)系

根據(jù)Mallat算法可以得到在尺度j下的小波系數(shù)（細節(jié)信號）與尺度系數(shù)（光滑信號）分別如下

利用Mallat算法可以得到

2 ARMA（p，q）模型［1］

ARMA（p，q）模型是時間序列分析的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR（p）模型）與滑動平均模型（簡稱MA（q）模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成。把具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記ARMA（p，q）

判斷一個時間序列是屬于AR（p）模型，MA（q）模型還是ARMA（p，q）模型，其基本原則是根據(jù)序列的自關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)來選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。AR（p）模型，MA（q）模型和ARMA（p，q）自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的的性質(zhì)為表1所示。

表1 模型的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

ARMA（p，q）模型只適用于平穩(wěn)序列進行擬合與預(yù)測，而當(dāng)一個序列是非平穩(wěn)的時候，只有通過把序列轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列才能用ARMA（p，q）模型進行擬合與預(yù)測。把一個非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，通?？梢酝ㄟ^差分的形式實現(xiàn)。

3 M－ARMA時間序列分析方法

把極大重疊離散小波變換與時間序列分析結(jié)合在一起，對股票數(shù)據(jù)進行短期預(yù)測。用小波方法來對一個時間序列進行時間預(yù)測的時候，首先是對該序列時間進行MODWT變換及分解，然后再對分解后的每一層的序列用ARMA（p，q）模型進行擬合，最后利用每一層的擬合模型進行預(yù)測，則總的序列預(yù)測值為各層預(yù)測值的總和，即

利用基于MODWT 處理時間序列的優(yōu)點：

（1）可以將含有綜合信息的一組序列分解成只含有單一特征的信號，分別用不同的模型來進行擬合及預(yù)測。

（2）利用MODWT 對時間序列進行分解的時候，不像DWT 一樣序列長度必須為2的整數(shù)冪，它對序列的長度沒有要求。

（3）MODWT分解出來的時間序列，每一層的系數(shù)都具有與原來時間序列有相同的長度，對信息的提取比DWT更完整。

為了證明本文的方法較傳統(tǒng)時間序列方法更有效，將在下一章節(jié)里分別運用傳統(tǒng)時間序列方法與M－AMA 時間序列方法來對股票的序列時間擬合及其預(yù)測。

4 實例論證

本例選取的是中小企業(yè)的華邦制藥從2010年1月4日至2012年3月8 日共515個交易日的收盤價作為研究數(shù)據(jù)，全部數(shù)據(jù)分為兩部分，其中2010年1月4日至2012年3月1日的數(shù)據(jù)用于建立模型，剩下的5個數(shù)據(jù)用于預(yù)測模型的檢驗，數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件。采用長度為8的“最接近對稱”小波（LA8小波）濾波器進行極大重疊離散小波變換，將股票數(shù)據(jù)｛Xt｝進行3層分解。本文所有的運算軟件為matlab7.0和SAS9.2。圖1為原始數(shù)據(jù)的時序圖。

圖1 原始時間序列

從圖1我們可以看出，原股票數(shù)據(jù)收盤價的變動呈現(xiàn)明顯的非線性特征，不僅局部波動劇烈，而且在大尺度的時間范圍也是上下波動劇烈的，是一個非平穩(wěn)時間序列。下圖是用最接近對稱小波LA8小波對原始序列進行極大重疊小波分解與重構(gòu)后得到的光滑信號與細節(jié)信號。

圖2 小波分解后的序列

圖2中，圖2（a）表示時間序列經(jīng)過小波分解后得到的光滑序列，圖2（b）－（d）分別是經(jīng)過小波分解后得到的細節(jié)信號。從上面我們可以知道，經(jīng)過小波分解后，光滑信號與原來時間序列的信號有相同的趨勢，但是卻比原來信號光滑與單一，表現(xiàn)出了低頻數(shù)據(jù)的性質(zhì)，屬于非平穩(wěn)序列。細節(jié)信號卻表現(xiàn)了高頻數(shù)據(jù)的波動性，但表現(xiàn)出平穩(wěn)性。

首先我們對分解后的細節(jié)信號進行ARMA模型擬合。由于光滑部分是是帶有趨勢的非平穩(wěn)序列，為了能夠用ARMA模型，現(xiàn)在對序列進行二階差分，二階差分后可以得到圖形。

圖3 二次差分后的圖像

從圖3我們可以看出，經(jīng)過二次差分后已經(jīng)消除趨勢的影響，序列基本平穩(wěn)。為了進一步判斷平穩(wěn)性，還要進一步看考察自相關(guān)與偏自相關(guān)圖，如圖4所示。

圖4 二次差分后的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖

從自相關(guān)圖我們可以知道，序列經(jīng)過二階差分后的自相關(guān)系數(shù)緩慢衰減，仍然有很強的自相關(guān)性，偏自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出截尾的性質(zhì)。結(jié)合圖形經(jīng)過多次試驗與對比，除去不顯著變量，選擇最小的AIC 值，最后選取p＝4，q＝2，即建立ARMA（4，2，2）模型，通過SAS軟件建立華邦制藥股票收盤價的ARMA（4，2，2）模型，最后建立的模型如下

同理，分別對細節(jié)信號D1，D2，D3 建立模型，其模型分別為ARMA（4，（2，4））模型，ARMA（6，1）模型，ARMA（5，2）模型，其模型口徑分別為

用同樣的方法，對原來的股票序列進行了ARMA模型建模，得到的模型為ARMA（（5），1，（5））

為了進一步檢驗本文提出方法的有效性，將結(jié)果分別用M－ARMA模型和傳統(tǒng)的ARMA模型兩種方法進行時間序列預(yù)測模型進行了未來五天的股票收盤價預(yù)測，其中我們采用了相對誤差來評價，相對誤差越小，說明模型就越好。比較結(jié)果見表2。

表2 模型比較

將中小企業(yè)華邦制藥的510個股票數(shù)據(jù)進行3層分解，對不同的尺度上分解的信號，分別采用不同的ARMA模型擬合及預(yù)測，最后的預(yù)測值等于各尺度預(yù)測值之和。從表2的相對誤差可以知道，對于股票收盤價的預(yù)測，總體上來說基于MODWT的時間序列方法要好于傳統(tǒng)的ARMA 方法，預(yù)測結(jié)果從實證角度檢驗了M－ARMA的方法在股票收盤價短期預(yù)測上的優(yōu)勢預(yù)測。

5 結(jié)束語

通過對股票收盤價序列進行尺度為3的MODWT分解，分解出來的序列的長度與原時間序列長度相同，發(fā)現(xiàn)在不同的尺度，時間序列表現(xiàn)出不同的性質(zhì)特征，且分解后的序列結(jié)構(gòu)比原序列相對比較單一。根據(jù)不同性質(zhì)特征的序列，提出了M－ARMA 預(yù)測方法，即在不同的尺度采用不同的ARMA模型進行擬合及預(yù)測。實驗結(jié)果表明，MARMA模型方法比具有綜合信息的原時間序列只用一個模型來建模預(yù)測的效果更好，預(yù)測精度更高。圖5也同樣表明，用M－ARMA 方法擬合誤差更小，效果更好，該方法具有實際的應(yīng)用價值。

圖5 小波ARMA 方法擬合效果

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