基于陣列式工裝的薄壁曲面件定位方法研究

張洪雙，李向國(guó)，何 輝，鄭東陽(yáng)

（河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，常州 213022)

0 引言

工業(yè)中一些薄壁曲面類零件如飛機(jī)薄壁曲面件等的典型制造工藝是先成型后加工，由于這類零件的剛度小，型面復(fù)雜，自身在重力下容易變形，給零件成形后的曲面測(cè)量、輪廓?jiǎng)澗€、裁邊、鉆孔等加工操作帶來(lái)了很大的困難。薄壁曲面件的傳統(tǒng)加工定位主要依靠具有產(chǎn)品形狀特征的模線樣板和標(biāo)準(zhǔn)工藝裝備，即工裝表面需要具有和薄壁曲面件一致的曲面形狀。傳統(tǒng)的定位方法協(xié)調(diào)環(huán)節(jié)多，對(duì)零件的準(zhǔn)確度影響大，且工裝笨重，一套工裝只針對(duì)一種零件，適應(yīng)性差，成本高，難以滿足各行業(yè)日益提高的多品種、小批量的需求。如何實(shí)現(xiàn)薄壁曲面件加工定位的柔性化，使同一個(gè)工裝適用于不同形狀和尺寸的薄壁曲面件是國(guó)內(nèi)外研究的熱門問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外對(duì)柔性工裝技術(shù)展開(kāi)了廣泛的研究，文獻(xiàn)[1]介紹了可重構(gòu)工裝的重要意義、分類和未來(lái)發(fā)展；文獻(xiàn)[2]介紹了一種手工調(diào)節(jié)的陣列式柔性工裝及零件支撐定位的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。文獻(xiàn)[3]介紹了一種基于多點(diǎn)的鈑金件成型柔性?shī)A具。但以上文獻(xiàn)均未涉及到曲面零件的定位問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]通過(guò)特征曲面、曲率匹配來(lái)實(shí)現(xiàn)曲面匹配的初定位及精調(diào)整，計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，需要較多次的迭代計(jì)算，這類方法主要用于曲面測(cè)量、非定位/欠定位加工等方面。文獻(xiàn)[5]提出了用OBB方法對(duì)曲面零件定位，但定位精度較低。

目前國(guó)外對(duì)于薄壁曲面件的加工裝配主要通過(guò)陣列式柔性工裝來(lái)實(shí)現(xiàn)零件的定位和支撐，陣列式柔性工裝的工作區(qū)域通?？捎靡粋€(gè)正六面體來(lái)表述，薄壁曲面件的定位問(wèn)題可通過(guò)求取包絡(luò)薄壁曲面件的正六面體包圍盒，根據(jù)包圍盒和工裝工作區(qū)域的相似性來(lái)確定坐標(biāo)變換矩陣中的6個(gè)參數(shù)值，即求取薄壁曲面件的包圍盒。為了提高支撐定位的穩(wěn)定性，應(yīng)使曲面零件與工裝中柔性單元盡可能多的接觸，即曲面在工裝平面內(nèi)的投影面積最大。

本文根據(jù)工業(yè)實(shí)際需求和薄壁曲面件的加工特點(diǎn)，根據(jù)碰撞檢測(cè)中常用的包圍盒方法計(jì)算出薄壁曲面件的包圍盒，根據(jù)包圍盒與柔性工裝工作區(qū)域的相似性對(duì)薄壁曲面件進(jìn)行預(yù)定位；然后對(duì)包圍盒進(jìn)行旋轉(zhuǎn)迭代求出包圍盒在工裝平面內(nèi)的最大投影面積，實(shí)現(xiàn)薄壁曲面件的精定位，并根據(jù)兩次定位過(guò)程確定坐標(biāo)變換矩陣中的參數(shù)值，為曲面方程求解提供了條件。

1 N-2-1 定位原理和柔性工裝結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)的針對(duì)剛體的3-2-1定位方法和工裝設(shè)備難以滿足薄壁曲面件的加工要求。從柔性的角度考慮，工裝除了實(shí)現(xiàn)零件定位還要實(shí)現(xiàn)零件的保形，陣列式柔性工裝要可調(diào)整，使其具有薄壁曲面件的曲面形狀。這類零件可以采用 N-2-1定位方法（N≥3）[6]，如圖1所示。

圖1 柔性工裝示意圖[7]

柔性單元在工裝底座上以陣列形式分布，對(duì)應(yīng)著主基準(zhǔn)面的N個(gè)定位點(diǎn)，用于實(shí)現(xiàn)薄壁曲面件的定位和保形。柔性單元采用模塊化方法設(shè)計(jì)，其數(shù)量可根據(jù)工件的尺寸進(jìn)行調(diào)整，使柔性工裝能夠滿足不同薄壁曲面件零件的加工需求。

2 薄壁曲面件的包圍盒

考慮到包圍盒的緊密性，采用方向包圍盒（Oriented Bounding Box，OBB）。一個(gè)給定對(duì)象的OBB定義為包含該對(duì)象且相對(duì)于坐標(biāo)方向任意的最小正六面體，OBB的最大特點(diǎn)是方向的任意性，可根據(jù)對(duì)象的形狀特點(diǎn)盡可能緊密的包圍對(duì)象。在其包裹狀態(tài)下，可以較好的實(shí)現(xiàn)薄壁曲面件的初定位。

2.1 協(xié)方差方法求解OBB包圍盒

OBB計(jì)算的關(guān)鍵是尋找到最佳方向并確定在該方向上的包圍盒的最小尺寸。文獻(xiàn)[8]提出了對(duì)曲面控制頂點(diǎn)求解包圍盒的方法，但包圍盒的尺寸較大，包裹性較差。這里直接求解薄壁曲面件的曲面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)的包圍盒，根據(jù)曲面的參數(shù)化方程式，對(duì)參數(shù)u，v進(jìn)行取值，設(shè)Pi,j為曲面上對(duì)應(yīng)參數(shù)ui，vj的一個(gè)點(diǎn)，則曲面上點(diǎn)集的協(xié)方差矩陣為：

式中，k,l=1,2,3，μ為曲面的重心點(diǎn)。協(xié)方差矩陣C的3個(gè)特征向量是正交的，歸一化可作為一個(gè)基底R(shí)用于確定OBB的方向。R的表示形式為：

式中n1，n2，n3為協(xié)方差矩陣的歸一化特征向量，表示OBB的三個(gè)方向。如圖2所示為某曲面的OBB包圍盒，n1、n2、n3分別為包圍盒的3個(gè)方向，P點(diǎn)為包圍盒的一個(gè)頂點(diǎn)。

圖2 曲面的包圍盒

2.2 基于包圍盒的預(yù)定位

對(duì)包圍盒進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其n1、n2、n3的三個(gè)方向分別和圖2所示的工裝中Z、X、Y軸相對(duì)應(yīng)，求取變換矩陣中的3個(gè)角度參數(shù)α1、β1、γ1。其表達(dá)式分別為：

其中，n2’為矢量n2經(jīng)過(guò)α1、β1旋轉(zhuǎn)變換后的矢量。找出各方向的極值點(diǎn)（xmin，ymin，zmin）（xmax，ymax，zmax），得到其包圍盒OBB。各角度值1α、1β、1γ，為初定位的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣T1中的角度值。

2.3 基于包圍盒迭代法的精定位

上述過(guò)程求取的OBB可以滿足曲面的預(yù)定位要求，但不是最優(yōu)的結(jié)果。可通過(guò)迭代算法進(jìn)行精定位，迭代過(guò)程的實(shí)質(zhì)是在工裝平面內(nèi)最大投影面的面積最小化問(wèn)題，具體步驟為：

1）將方向包圍盒繞Y軸旋轉(zhuǎn)變換，使變換后的薄壁曲面件的方向包圍盒在XY平面內(nèi)的投影面積最大。在投影面積最大時(shí)，其旋轉(zhuǎn)角度定義為

2β；

2）將方向包圍盒繞X軸旋轉(zhuǎn)變換，使變換后的薄壁曲面件的方向包圍盒在XY平面內(nèi)的投影面積最大。在投影面積最大時(shí)，其旋轉(zhuǎn)角度定義為

2α；

3）將方向包圍盒繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換，使變換后的薄壁曲面件的方向包圍盒在XY平面內(nèi)的投影面積最小。在投影面積最小時(shí)，其旋轉(zhuǎn)角度定義為γ2。

經(jīng)過(guò)步驟1）和2）后包圍盒在XY平面內(nèi)的投影面積最大，此時(shí)曲面類零件與柔性單元相接觸的數(shù)量最多。但對(duì)于陣列式的柔性工裝而言，此時(shí)參與工作的柔性單元的行列數(shù)量較多，不是一個(gè)最優(yōu)結(jié)果，經(jīng)過(guò)步驟3）處理后可以有效減少參與工作的柔性單元行列數(shù)量，在柔性單元行列數(shù)量相同的情況下，能夠滿足更大尺寸的曲面類零件的需求。

在上述步驟中包圍盒繞各軸旋轉(zhuǎn)獲得投影面積最小值時(shí)的角度值α2、β2、γ2，為精定位旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣T2中的角度值。

3 工裝坐標(biāo)系下的曲面方程

薄壁曲面件經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)變換后包圍盒頂點(diǎn)P的坐標(biāo)值為（xP、yP、zP），使點(diǎn)P和工裝上的參考點(diǎn)D（xD、yD、zD）（工裝上的某個(gè)指定點(diǎn)）重合，可求變換矩陣中的3個(gè)平移參數(shù)l、mn，其表達(dá)式為：

柔性工裝坐標(biāo)系為ΣM，薄壁曲面件的坐標(biāo)系為ΣS，則薄壁曲面件在柔性工裝坐標(biāo)系中定位過(guò)程可由轉(zhuǎn)換矩陣T來(lái)描述，具體可寫成為：

式中，Ti（i=1,2）和T3分別表示為：

式中，字母c表示cos函數(shù)，字母s表示sin函數(shù)。

薄壁曲面件的外形常采用B樣條曲面進(jìn)行描述，其表達(dá)式為：

式中：u，v 為參變量， U = [ 1 u u2u3]，V =[1 v v2v3]，M為常數(shù)矩陣，G為控制頂點(diǎn)矩陣。B樣條曲面的幾何信息完全包含在控制頂點(diǎn)矩陣G中，所以薄壁曲面件在工裝坐標(biāo)系中的方程可通過(guò)零件數(shù)模的控制頂點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，即工裝內(nèi)的薄壁曲面件曲面方程可表示為：

式中， 'G GT= 。

4 算法驗(yàn)證

根據(jù)前面所述，利用MATLAB對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行驗(yàn)證。已知某薄壁曲面件的擬合等距曲面控制頂點(diǎn)G為：

取工裝上參考點(diǎn)D的位置坐標(biāo)為（0,0,0），根據(jù)柔性工裝和柔性單元的結(jié)構(gòu)尺寸，取柔性單元的初始位置坐標(biāo)為（100mm,100mm），X向間距為200mm，Y向間距為200mm。分別采用OBB方法和OBB迭代方法對(duì)該曲面進(jìn)行分析，兩種不同方法的結(jié)果如表1所示。

由分析結(jié)果可見(jiàn)，在采用OBB迭代方法后，曲面零件的包圍盒在XY平面投影減小的比例較大，但柔性單元在Z向的高度總和變化不大。經(jīng)過(guò)OBB迭代后，支撐薄壁曲面件的柔性單元的行列數(shù)量均有減少，使同一個(gè)薄壁曲面件在工裝內(nèi)的覆蓋面積更小，同一個(gè)柔性工裝能最大限度的滿足大尺寸零件的需求。

5 結(jié)論

基于陣列式的柔性工裝可有效解決傳統(tǒng)的薄壁曲面件加工工裝的不足之處，滿足薄壁曲面件加工過(guò)程中對(duì)工裝柔性化的需求。本文對(duì)陣列式柔性工裝的薄壁曲面件定位算法進(jìn)行了分析和研究，結(jié)論如下：

1）薄壁曲面件的準(zhǔn)確定位和保形問(wèn)題可以通過(guò)陣列式柔性工裝來(lái)解決；

2）基于N-2-1的定位方法可以有效解決薄壁曲面件的定位并實(shí)現(xiàn)零件外形的保持；

3）通過(guò)包圍盒及其迭代法實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換矩陣的求解，迭代次數(shù)少，方法直觀，易于實(shí)現(xiàn)。

在薄壁曲面件準(zhǔn)確定位和保形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的工作主要在擬合曲面的誤差分析以及柔性單元的布局優(yōu)化等。

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