Wilson-Cowan神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解及其穩(wěn)定性

謝莎莎，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

Wilson-Cowan模型是由著名學(xué)者Wilson和Cowan于1972年提出[1]，它是用于描述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同特性神經(jīng)元群體動(dòng)力演化的方程.該模型由兩個(gè)非線性微分方程組成，代表相互作用產(chǎn)生興奮和抑制的兩種神經(jīng)元群體之間的關(guān)系.Wilson-Cowan網(wǎng)絡(luò)受到許多學(xué)者的關(guān)注，如文獻(xiàn) [2]通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)碾p曲函數(shù)并分析參數(shù)的取值范圍，獲得漸近穩(wěn)定極限環(huán)的存在性;文獻(xiàn)[3]利用對(duì)稱特性和龐加萊映射找到周期振動(dòng)區(qū)域的參數(shù)空間，證明Wilson-Cowan存在三個(gè)或多個(gè)周期吸引子;文獻(xiàn)[4]研究Wilson-Cowan網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元相互作用產(chǎn)生興奮或抑制行為，且在周期性輸入下對(duì)神經(jīng)元有完全不同的激活或抑制影響.然而對(duì)Wilson-Cowan網(wǎng)絡(luò)在概周期環(huán)境下解的存在性和穩(wěn)定性還沒(méi)有相關(guān)的報(bào)道.近年來(lái)，Wilson-Cowan神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在圖像處理和聯(lián)想記憶方面的應(yīng)用非常廣泛，研究其內(nèi)在動(dòng)力學(xué)性質(zhì)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用領(lǐng)域具有重要意義.在概周期信號(hào)激勵(lì)下[5-8]，它是否具有唯一的周期或概周期編碼，值得探討.本文應(yīng)用與文獻(xiàn)[6]類似的技巧，利用壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理以及Lyapunov泛函方法，給出了一些Wilson-Cowan網(wǎng)絡(luò)存在唯一概周期解及其指數(shù)型穩(wěn)定的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下Wilson-Cowan神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中:x(t)，y(t)分別表示單位時(shí)間內(nèi)神經(jīng)元興奮和抑制所占比例，假設(shè)x(t)，y(t)是連續(xù)的變量，它們?nèi)≈当硎旧窠?jīng)元群體處理信息的編碼，即狀態(tài)變量;a(t)，d(t)分別表示興奮神經(jīng)元和抑制神經(jīng)元群體隨著時(shí)間自然衰變的函數(shù);rx(t)，ry(t)分別表示興奮和抑制神經(jīng)元的不響應(yīng)期;w(t)，b(t)，c(t)，e(t)表示不同神經(jīng)元群體之間聯(lián)結(jié)的強(qiáng)度，w(t)是自興奮聯(lián)結(jié)權(quán)重，b(t)是從y到x的聯(lián)結(jié)權(quán)重，c(t)是從x到y(tǒng)的聯(lián)結(jié)權(quán)重，e(t)是自抑制聯(lián)結(jié)權(quán)重;I(t)，J(t)表示外部刺激對(duì)神經(jīng)元群體產(chǎn)生興奮或抑制輸入;S(·)表示神經(jīng)元雙曲型的激活響應(yīng)函數(shù).

進(jìn)一步，令a(t)，d(t)，rx(t)，ry(t)，w(t)，c(t)，b(t)，e(t)，I(t)，J(t):R→R+是概周期函數(shù)，并且滿足:

定義1[9]連續(xù)函數(shù)x(t):R→Rn稱為概周期函數(shù)，如果對(duì)任給的ε〉0，存在一個(gè)實(shí)數(shù)l=l(ε)〉0，使得在每個(gè)長(zhǎng)度為l(ε)的區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)δ=δ(ε)，使得

定義2 設(shè)x*(t)=(x(t)，y(t))T是系統(tǒng) (1)的一個(gè)具有初始條件φ*=(x*0，y*0)T的概周期解，如果存在常數(shù)λ〉0和M≥1，對(duì)于系統(tǒng) (1)的具有初始條件φ=(x0，y0)的每一個(gè)解x(t)=(x(t)，y(t))T滿足則稱x*(t)是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

定義3[9]設(shè)Q(t)是定義在R上的n×n連續(xù)矩陣函數(shù)．線性系統(tǒng)˙x=Q(t)x(t)稱為在R上是容許指數(shù)二分的，如果存在常數(shù)k，l〉0投影算子P以及基礎(chǔ)解矩陣X(t)滿足

引理1[9]如果線性系統(tǒng)˙x(t)=Q(t)x(t)是容許指數(shù)二分的，則概周期系統(tǒng)˙x(t)=Q(t)x(t)+g(t)有唯一的概周期解

引理2[9]假設(shè)ci(t)是R上的一個(gè)概周期函數(shù)，并且n，則線性系統(tǒng)˙x(t)=C(t)x(t)是容許指數(shù)二分的，其中C(t)=diag(-c1(t)，-c2(t)，…，-cn(t))．

2 概周期解的存在性與唯一性

首先給出一些本文需要的假設(shè)．1)存在常數(shù)L〉0，使得雙曲激活函數(shù)S∈C(R，R)滿足:

證明 任取φ =(φ1，φ2)T∈B*，考慮系統(tǒng)

由 a(t)≥ a⊥〉 0，d(t)≥ d⊥〉 0，有根據(jù)引理1和引理2，系統(tǒng) (2)存在唯一概周期解

定義映射 F:B*→B，F(xiàn)=(F1(φ)，F(xiàn)2(φ))，其中 F1(φ(t))=xφ(t)，F(xiàn)2(φ(t))=yφ(t)，?(φ1，φ2)T∈B*．顯然是B的閉凸子集．

下面首先證明F將B*映射到B*，結(jié)合假設(shè)1)，2)，獲得

注意到，0〈R〈1，這意味著F是一個(gè)壓縮映射．據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理，則存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)φ*∈B*，使得Fφ*=φ*．故φ*是系統(tǒng) (1)在B*中唯一的概周期解，定理1證畢．

3 概周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

定理2 若條件1)、2)成立，則系統(tǒng) (1)在B*中存在唯一全局指數(shù)型穩(wěn)定的概周期解．

證明 由定理1，系統(tǒng) (1)存在唯一的概周期解(x*(t)，y*(t))T∈B*．令(x(t)，y(t))T是系統(tǒng) (1)具有初始條件ψ=(x0，y0)T的解．令X(t)=x(t)-x*(t)，Y(t)=y(t)-y*(t)，則

構(gòu)造兩個(gè)輔助函數(shù)

由Γ1(ξ)、Γ2(ξ)是[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，可得，

當(dāng) ξ→ +∞，可以選擇一個(gè)正常數(shù) λ ∈[0，λ0]，λ0=min{λ1，λ2}，Γ(λ1)〈 0，Γ(λ2)〈 0，使得

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