集值擬變分不等式的間隙函數(shù)

林清英，黃龍光

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

擬變分不等式最早是由Bensoussan等[1-2]提出的帶約束條件的變分不等式.經(jīng)過四十余年的發(fā)展，擬變分不等式理論研究[3-5]已較深入，并廣泛應(yīng)用于解決各種力學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)問題[6-8].近年來，Dirtrich[9]及Fukushima[10]分別提出構(gòu)造擬變分不等式間隙函數(shù)的方法，從而使利用擬變分不等式解決優(yōu)化問題得以突破.2011年，Aussel等[11]提出Rn空間中擬變分不等式誤差邊界以及存在唯一解條件，同時，他們還進(jìn)一步給出擬變分不等式在廣義納什均衡問題中的應(yīng)用.在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步討論嚴(yán)格凸光滑賦范線性空間中集值擬變分不等式的間隙函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

如無特別說明，本文中X為嚴(yán)格凸光滑賦范線性空間，Y是實(shí)賦范線性空間，X*是X的對偶空間，R表示實(shí)數(shù)集，映射T:X→2X*和S:X→2X為集值映射，D(S)，D(T)分別表示集值映射S，T的定義域.

如下問題稱為X的擬變分不等式QVI(T，S)問題:對任意的y∈S(x0)，找x0∈S(x0)及x0*∈T(x0)使〈x0*，y-x0〉≥0.

定義1[11]設(shè)D(S)?D(T)，若存在函數(shù)φ:D(S)×X→R滿足下列性質(zhì):1)對任意x∈D(S)，φ(x，·)在 D(S)上為嚴(yán)格凸映射;2)對任意 x∈D(S)，?2φ(x，x)=T(x)，則稱序?qū)?(T，S)滿足假設(shè)H.

定義2[11]設(shè)μ〉0，若對任意x，y∈X，存在x*∈T(x)，使得〈x*，y-x〉〉0，那么對任意y*∈T(y)有則稱T為μ-強(qiáng)偽單調(diào)集值映射.

定義3[11]若 FP(S)? {x∈ D(S)|x∈S(x)}，Gr(S)?{(x，y)|x∈D(S)，y∈S(x)}，集值映射S滿足對任意x∈FP(S)有(S(x)，x)?Gr(S)，則稱S為對稱的集值映射，換言之，對任意x∈ FP(S)，y∈ S(x)有 x∈S(y).

定義4[11]設(shè)α〉0，若存在r〉0，L〉0使對任意則S稱為在點(diǎn)x∈D(S)上的局部α-H?lder集值映射.

定義5[12]設(shè)T是線性拓?fù)淇臻gX到線性拓?fù)淇臻gY的映照．如果T把X中的每個有界集映為Y中的有界集，則稱映照T是保持有界集的.

2 構(gòu)造集值擬變分不等式的間隙函數(shù)

基于文獻(xiàn)[11]在有限維線性空間中討論擬變分不等式的間隙函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，本文將相關(guān)性質(zhì)拓展到嚴(yán)格凸光滑賦范線性空間.嚴(yán)格凸光滑賦范線性空間有關(guān)性質(zhì)可見文獻(xiàn) [13].

定理1 設(shè)D(S)?D(T)，T為弱*緊凸值的，若對任意存在，那么對任意β〉0，可定義函數(shù)滿足假設(shè)H.

1)先證φβ(x，y)滿足定義1條件2)，因?yàn)閄是光滑賦范線性空間，所以?2φβ(x，x)=?g(x).

下證:?g(x)=T(x).先證T(x)??g(x).首先，由T為弱*緊凸值的，可知T(x)為弱*緊凸集.其次，對任意z*∈ T(x)，有且從而g(y)-g(x)≥〈z*，y-x〉. 所以z*∈?g(x). 于是T(x)??g(x).再證?g(x)?T(x).對任意 u∈ ?g(x)，g(y)=g(y)-g(x)≥〈u，y-x〉且則對任意y，因此u∈T(x).否則假設(shè)u?T(x)，因?yàn)門(x)為弱*緊凸集，根據(jù)凸集分離定理，存在y0∈X使與式 (1)矛盾.于是?g(x)?T(x).綜上，?g(x)=T(x)，即φβ(x，y)滿足定義1條件2).

2)再證φβ(x，y)滿足定義1條件1).對任意y1，y2∈X(y1≠y2)及λ∈(0，1)，分兩種情況進(jìn)行討論:ⅰ)當(dāng)時，由X的嚴(yán)格凸性可知

推論1 若序?qū)?T，S)滿足與函數(shù)φ有關(guān)的假設(shè)H，且φ是保持有界集的，則T為弱*緊凸值的.

證明 由定義1 性質(zhì)2)可知，?φ2(x，x)=T(x)且 ?φ2(x，x)={v∈ X*|〈v，y-x〉≤ φ(x，y)-φ(x，x)，?y∈ X}. 對任意的可得〈λv1+(1-λ)v2，y-x〉≤φ(x，y)-φ(x，x). 故λv1+(1-λ)v2∈T(x)，即T(x)為凸集. 對任意T(x)中弱* 收斂于 u的序列 {uα}，有 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈uα，y-x〉. 對 α 取極限，φ(x，y)- φ(x，x)≥〈u，yx〉，從而u∈?φ2(x，x)=T(x).因此，T(x)是弱*閉的.對任意u∈?φ2(x，x)=T(x)及y∈x+B(0，1)?X，有φ(x，y)-φ(x，x)≥〈u，y-x〉. 又由φ是保持有界集的，可知對任意y∈x+B(0，1)，存在M 〉0，使即對任意故T(x)為范數(shù)有界.由Banach-Alaoglu定理可知T(x)為弱*緊集，即T為弱*緊凸值的.

引理1 設(shè)序?qū)?T，S)滿足與函數(shù)φ有關(guān)的假設(shè)H，D(S)?int(D(T))，S為凸值的，那么對任意x∈X，x為QVI(T，S)的解當(dāng)且僅當(dāng)x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

證明 充分性.因?yàn)閤為QVI(T，S)的解，所以對任意y∈S(x)，存在x*∈T(x)使〈x*，y-x〉≥0. 又由 ?2φ(x，x)=T(x)得 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈x*，y-x〉≥0．從而 φ(x，y)≥ φ(x，x)，即 x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

必要性. 因?yàn)閤是 φ(x，·)在 S(x)上的全局最小值，所以0∈ ?2φ(x，x). 又由 ?2φ(x，x)=T(x)可知0∈T(x).于是對任意y∈S(x)，存在0∈T(x)使〈0，y-x〉≥0.故x為QVI(T，S)的解.

定理2 設(shè)序?qū)?T，S)滿足與函數(shù)φ有關(guān)的假設(shè)H，D(S)?int(D(T))，S為凸值的，如果對任意x∈D(S)，函數(shù)φ滿足φ(x，x)=0，那么是在 FP(S)上擬變分不等式QVI(T，S)的間隙函數(shù)，即對任意x∈FP(S)有fφ(x)≥0，其中fφ(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x為QVI(T，S)的解.

3 集值擬變分不等式的誤差邊界

為引入集值擬變分不等式誤差邊界，本文將考慮由定理1描述的特殊二元函數(shù)φβ，于是間隙函數(shù)定義為對任意 β 〉 0，fβ:D(S)→R ，有其中φβ:D(S)×X→R是指對任意 (x，y)∈ D(S)× X 有

定理3 設(shè)T為μ-強(qiáng)偽單調(diào)集值映射且T為弱*緊值的，S在不動點(diǎn)處為對稱集值映射，D(S)?D(T)，若∈X是QVI(T，S)的解，那么對任意β〈μ，是QVI(T，S)在S(ˉx)上的唯一解且對任意x∈S)，

推論2設(shè)T為μ-強(qiáng)偽單調(diào)集值映射且T為弱*緊值的，K為X中非空凸集，設(shè)∈X是VI(T，K)的 (唯一)解，則對任意β〈μ和x∈K有其中間隙函數(shù)fβ(x)=

證明設(shè)任意x∈B(ˉx，η)∩S(ˉx)，z∈S(x)，且S為局部α-H?lder集值映射，則于 是，由T是弱*緊值的可知T(x)為弱*緊集，從而存在x*∈T(x)使即

推論3設(shè)T為μ-強(qiáng)偽單調(diào)集值映射且T是弱*緊值的，若ˉx∈D(T)，S為α〉2的局部α-H?lder集值映射，D(S)?D(T). 設(shè)實(shí)數(shù)η∈(0，min{r，1})滿足ρη= μ -LMηα-2-β-2βL-βL2〉0，其中那么是QVI(T，S)在上的唯一解，且對任意

4 廣義納什均衡問題上的應(yīng)用

廣義納什均衡問題 (Generalized Nash Equilibrium Problem，GNEP)是每一個決策者都會依賴其他決策者的一種納什游戲.假設(shè)有p個決策者，決策者v的決策變量為yv∈X.記所有這些變量構(gòu)成的向量y=(y1，y2，……，yp)，y-v表示除玩家v外其他決策者的決策變量按原順序構(gòu)成的向量.有時為強(qiáng)調(diào)第v個決策者的變量，會用(yv，y-v)來代替y.注意(yv，y-v)仍然是向量y，而不是將分量塊yv移到首位.決策者v的策略屬于Yv(y-v)，這個集合明顯依賴于其他決策者的決策變量.給出決策yv的決策者目的是為選擇一種策略yv使得yv解決以下最優(yōu)化問題:存在yv∈Yv(y-v)使(Pv)min θv(yv，y-v)，其中θv(yv，y-v)表示當(dāng)競爭者選擇策略yv時，決策者需要承受的損失.廣義納什均衡問題就是為了找到∈X使對任意當(dāng)支付函數(shù)θv是凸的且關(guān)于第v個變量可微時，在特殊的情況下與擬變分不等式的有關(guān)內(nèi)容已經(jīng)被研究.2009年，Heusinger等指出在擬凸以及滿足Rosen定理的條件下用變分不等式表示廣義納什均衡問題的一種變形，即對任意的v，集合Yv(y-v)表示Yv(y-v):={yv∈X:(yv，y-v)∈X}.受文獻(xiàn) [11]的啟發(fā)，利用擬變分不等式表示廣義納什均衡問題的一種變形，從而利用文中嚴(yán)格凸光滑賦范線性空間中間隙函數(shù)的結(jié)論得到有關(guān)GNEP的相關(guān)理論.

[1]BENSOUSSAN A，LIONS J L.Contr?le impulsionnel et applications quasi-variationnelles stationnaires [J].Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris，1973，276:1279-1284.

[2]BENSOUSSAN A，LIONS J L.Nouvelle formulation de problems decontr?le impulsionnel et applications [J].Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris，1973，276:1189-1192.

[3]SHAMSHAD HUSAIN，SANJEEV GUPTA.Existence of solutions for generalized nonlinear vector quasi-variational-like inequalities with set-valued mappings[J].Faculty of Sciences and Mathematics，2012，26:909-916.

[4]MUHAMMAD ASLAM NOOR，KHALIDA INAYAT NOOR，EISA AL-SAID.Existence results for extended general nonconvex quasi-variational inequalities[J].Nonlinear Analysis，2012，68:503-512.

[5]ABDELLAH BNOUHACHEM，MOHAMED KHALFAOUI，BENAZZA HAFIDA.Some developments in general mixed quasi variational inequalities[J].Advanced Modeling and Optimization，2012，14:451-469.

[6]AUSSEL D，DUTTA J.Generalized Nash equilibrium problem variational inequality and quasiconvexity[J].Operations Research Letters，2008，36:461-464.

[7]VON HEUSINGER A，KANZOW C.Optimization reformulations of the generalized Nash equilibrium problem using nikaido-Isoda-type functions[J].Computational Optimization and Applications，2009，43:353-377.

[8]VIKHTENKO E M，MAKSIMOVA N N，NAMM R V.Modified lagrange functionals to solve the variational and quasivariational inequalities of mechanics[J].Automation and Remote Control，2012，73(4):605-615.

[9]DIETRICH H.A smooth dual gap function solution to a class of quasi-variational inequalities[J].J Math Anal Appl，1999，235:380-393.

[10]FUKUSHIMA M.A class of gap functions for quasi-variational inequality problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization，2007，3(2):165-171.

[11]AUSSEL D，CORREA R，MARECHAL M.Gap functions for quasi-variational inequalities and generalized Nash equilibrium problems[J].J Optim Theory Appl，2011，151:474-488.

[12]夏道行，楊亞立.線性拓?fù)淇臻g引論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986:21-25.

[13]俞鑫泰.Banach空間幾何理論[M].上海:華東師范大學(xué)出版社，1986:223-235.