(2+1)維KP方程的三類精確解

夏鴻鳴

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741001)

(2+1)維KP方程的三類精確解

夏鴻鳴

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741001)

研究了(2+1)維KP方程的孤子解問題.應(yīng)用Riccati方程映射法,得到了(2+1)維KP方程的新的顯式精確解的結(jié)構(gòu).根據(jù)得到的精確解結(jié)構(gòu),構(gòu)造出了該方程的三類精確解.

Riccati方程映射法;KP方程;精確解

1 引言

孤子是非線性領(lǐng)域的一個(gè)十分重要的現(xiàn)象.近年來,許多學(xué)者對此進(jìn)行了廣泛的研究,提出了相干孤子結(jié)構(gòu)注入線孤子、環(huán)孤子、方孤子、明孤子、暗孤子等[1],而且,人們還利用反散射方法[2]、B¨acklund變換[3]、雙線性方法[4]、齊次平衡法[5]、Riccati方程映射法[6]和分離變量法[1]等幾十種方法求出了許多非線性數(shù)理方程的孤子解的精確顯式表達(dá)式,為研究孤子的各種性質(zhì)提供了極大的方便.在這些方法中,Riccati方程映射法是近年來發(fā)展起來的一種直接假設(shè)方法,這種方法簡便易行,能夠求出許多方程的各種形式的精確顯式孤子解.

KP方程在(2+1)維方程中占有非常重要的地位,1970年由Kadomtsev和Petviashvili提出,用以描述弱色散和非線性介質(zhì)中的擾動[7].KP方程具有N孤子解[8]、無窮多對稱[9]和守恒律、Painlev′e性質(zhì)和B¨acklund變換[10]等.本文運(yùn)用Riccati方程映射法,研究(2+1)維KP方程的精確解的結(jié)構(gòu).

2 Riccati方程映射法

對于一般的非線性數(shù)理方程

就可以確定所求方程的解.

3 (2+1)維KP方程的孤子解

(∫ )-1

4 討論

觀察圖1可知,u1反映了鐘狀孤立波和扭狀孤立波的相互作用.同理可得,(13)、(14)、(15)式表示三類類周期波解,(16)式表示一類分離變量解.

圖1 由(17)式得到的兩個(gè)孤子彈性作用的時(shí)間演化圖

5 小結(jié)

本文使用Riccati方程映射法研究(2+1)維KP方程的解的結(jié)構(gòu),得到了三類解的精確顯式表達(dá)形式,主要包括了一類孤立波解、三類類周期波解和一類分離變量解,這些結(jié)果與以往的文獻(xiàn)不同.由于表達(dá)式中函數(shù)的任意性,使(2+1)維KP方程的精確解特別是孤子解的形式更加豐富.當(dāng)選取不同的函數(shù)時(shí),還有可能構(gòu)建多種局域結(jié)構(gòu),如分形結(jié)構(gòu)、混沌結(jié)構(gòu)等,從而使孤子理論的研究引向深入.這些問題將進(jìn)一步研究.

[1]樓森岳,唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[2]Ablowitz M J.Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Incerse Scattering[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[3]谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科技出版社,1990.

[4]Hirota R.Solitons[M].Berlin:Springer Press,1980.

[5]王明亮,李志斌.齊次平衡原則及其應(yīng)用[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào),1999,35(3):8-15.

[6]Zheng Chunlong.Comments on“The generalizing Riccati equation mapping method in nonlinear evolution equation:application to(2+1)-dimensional Boiti-Leon-Pempinelle equation”[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,39:1493-1495.

[7]Kadomtsev B B,Petviashvili V I.On the stability of solitary waves in weakly dispersive media[J].Sov.Phys. Dokl.,1970,15:539-541.

[8]Satsuma J.N-soliton solution of the two-dimensional KdV equation[J].J.Phys.Soc.Japan,1976,40:286-290.

[9]Chen H H,Lee Y C.On a new hierarchy of symmetries for the KP equation[J].Physica D,1983,110:439-445.

[10]Weiss J.The painleve property for partial diferential equationsⅡ:Backlund transformation,Lax pairs, and the Schwarzian derivative[J].J.Math.Phys.,1983,24:1405-1413.

Three types exact solution of(2+1)-dimensional KP equation

Xia Hongming

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui741001,China)

In this paper,the soliton solution of(2+1)-dimensional KP equation is investigated,where a new structure of the explicit exact solutions for this equation is obtained by applying Riccati equation mapping method and variable separation method.As a result,three types soliton solutions of the equation are established.

Riccati equation mapping method,KP equation,exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2013)06-0577-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.005

2013-11-10.

夏鴻鳴(1968-),碩士,副教授,研究方向：非線性數(shù)理方程.

2010 MSC:35Q53