具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

焦建民

（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞 721013）

時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于各類實(shí)際系統(tǒng)之中，是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的重要因素，因此，對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的研究一直是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，并取得了許多研究成果。如文獻(xiàn)[1-2]和[3-6]分別研究了連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)和離散時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)一些穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[1-6]所考慮的系統(tǒng)中，狀態(tài)時(shí)滯是一種單一的形式，文獻(xiàn)[7]指出：在一些實(shí)際問題中，如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，信號(hào)從一點(diǎn)傳輸?shù)搅硪稽c(diǎn)，可能要經(jīng)過一些網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中會(huì)導(dǎo)致具有不同特性的時(shí)滯出現(xiàn)，這些時(shí)滯不能合并在一起進(jìn)行研究。因此，文獻(xiàn)[7]提出了具有時(shí)滯和的系統(tǒng)，并給出了系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[8-10]進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果，給出了一些保守性更小的穩(wěn)定性條件。然而，文獻(xiàn)[7-10]所考慮的系統(tǒng)均為具有時(shí)滯和的連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)，相關(guān)研究成果還很少見。本文針對(duì)具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)，基本Lyapunov穩(wěn)定性理論，應(yīng)用線性矩陣不等式（LMI）處理方法，研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，并利用仿真實(shí)例驗(yàn)證了所給結(jié)果的有效性。

本文采用以下記號(hào)：對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣X和Y，X≥Y（X＞Y）表示X-Y為半正定（正定）矩陣；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；“*”表示對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線以上塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣；I和O分別表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣和零矩陣。

1 問題描述

考慮如下具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)：

其中，x（k）∈R″為系統(tǒng)狀態(tài)；φ（k）系統(tǒng)初始條件；A，B為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；d1（k），d2（k）表示系統(tǒng)時(shí)變時(shí)滯，滿足：

其中，d1，d2為已知正整數(shù)。為敘述方便，后文記：

引理1[3]給定矩陣R＞0，正整數(shù)d2≥d1＞0及向量函數(shù)x：[d1，d2]→Rn，下面的不等式成立：

2 主要結(jié)果

定理1給定正整數(shù)d2≥d1＞0，對(duì)滿足（2）的時(shí)變時(shí)滯d1（k），d2（k），系統(tǒng)（1）是穩(wěn)定的充分條件是，存在適當(dāng)維數(shù)的矩 陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，R＞0及M1，M2，M3，使 得 下 面 的LMIs（3）和（4）成立：

3 數(shù)值實(shí)例

考慮離散時(shí)滯系統(tǒng)（1），設(shè)其系數(shù)矩陣為：

當(dāng)給定時(shí)滯d1（k）上界d1＝10，應(yīng)用定理1可得，使得系統(tǒng)（1）滿足穩(wěn)定的時(shí)滯d2（k）上界d2的最大值為7；類似的，當(dāng)給定時(shí)滯d2（k）上界d2＝5，應(yīng)用定理1可得，使得系統(tǒng)（1）滿足穩(wěn)定的時(shí)滯d1（k）上界d1的最大值為12，可以看出，本文的定理1是有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中針對(duì)一類具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)，通過構(gòu)造合理的Lyapunov泛函，并保留了Lyapunov泛函差分中的有用信息，得到了基于LMI的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性充分條件，并應(yīng)用數(shù)值算例驗(yàn)證了所得到的有效性、可行性，為具有時(shí)滯和的離散系統(tǒng)控制問題的進(jìn)一步研究提供了參考。

[1]HE Yong，WANG Qing-guo，LIN Chong，et al.Delay-rangedependent stability for systems with time-varying delay[J].Automatica，2007，43（2）：371－376.

[2]Park P G，Ko J W，Jeong C.Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J].Automatica，2011，47（1）：235－238.

[3]GAO Hui-jun，CHEN Tong-wen.New results on stability of discrete-time systems with time-varying state delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（2）：328－334.

[4]ZHANG Bao-yong，XU Sheng-yuan，ZOU Yun.Improved stability criterion and its applications in delayed controller design for discrete-time systems[J].Automatica，2008，44（11）：2963－2967.

[5]FANG Mei.Delay-dependent stability analysis for discrete singular systems with time-varying delays[J].Acta Automatica Sinica，2010，36（5）：751－755.

[6]JIAO Jian-min.Robust stability and stabilization of discrete singular systems with interval time-varying delay and linear fractional uncertainty[J].Internal Journal of Automation and Computing，2012，9（1）：8－15.

[7]Lam J，GAO Hui-jun，WANG Chang-hong.Stability analysis for continuous systems with two additive time-varying delay components.System and Control Letters，2007，56（1）：16－24.

[8]Dey R，Ray G，Ghosh S，et al.Stability analysis for continous systems with additive time-varying delay：a less conservative results[J].Applied Mathematics and Computation，2010，215（10）：3740－3745.

[9]Hamed B，Chaabane M，Kalem W.Absolute stability of nonlinear systems with two additive time-varying delay components[J].Internal Journal of Automation and Computing，2011，8（4）：391－402.

[10]SHAO Han-yong，HAN Qing-long.On stabilization for systems with two additive time-varying input delays arising form networked control systems[J].Journal of The Franklin Institute，2012，349（6）：2033－2046.