一種投影預(yù)處理算法在局部CT圖像重建中的應(yīng)用

張衛(wèi)貞

（太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,山西太原 030024）

0 引言

工業(yè)CT作為一種先進(jìn)的無(wú)損檢測(cè)手段，自70年代末期以來(lái)得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，使得觀察復(fù)雜構(gòu)件的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和缺陷成為可能。但由于被檢工件通常較大，而且有噪聲的存在（通常為高斯白噪聲），使得人們?cè)絹?lái)越傾向于通過(guò)研究被檢工件的局部投影數(shù)據(jù)來(lái)實(shí)現(xiàn)工件感興趣區(qū)域的局部重建。為此，本文在局部CT圖像重建前,采用一種基于小波變換的Wiener 濾波投影預(yù)處理算法,采取這種方法可以在保證獲得較理想投影數(shù)據(jù)的前提下對(duì)工件感興趣區(qū)域?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)重建和檢查，而且其檢測(cè)過(guò)程也符合實(shí)際應(yīng)用的需要。

1 小波分析

1.1 小波局部性分析

由于利用FBP算法（濾波反投影算法）重建CT圖像時(shí)需要用到全部的投影數(shù)據(jù)。本文利用小波分析具有可局部分析的優(yōu)點(diǎn)，利用ROI（感興趣區(qū)域）的投影數(shù)據(jù)可以對(duì)一個(gè)大工件進(jìn)行局部性分析。小波的局部性質(zhì)[1]分析：

定理1.1 設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[-A ,A]外的值為零，且滿足∫tnf(t) = 0 ,n=0,1,...N，那么對(duì)于|s|＞A，有下式成立 ：

通過(guò)定理可以看出，若函數(shù)f(t)具有高階的消失矩，那么該函數(shù)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換將會(huì)在有限的區(qū)間內(nèi)迅速衰減到零。若一個(gè)函數(shù)f(t)是一個(gè)緊支撐且具有高階消失矩的函數(shù)，那么經(jīng)過(guò)希爾伯特變換，變換之后的支撐區(qū)間將會(huì)在有限區(qū)域內(nèi)迅速衰減到零。

1.2 小波選取

在不同應(yīng)用領(lǐng)域，小波基的選取準(zhǔn)則也不盡相同。工程應(yīng)用中，小波基函數(shù)的選取在小波分析中占有重要地位。小波基的選取需根據(jù)具體問(wèn)題中所要反映的具體特征，使得通過(guò)小波變換能更方便地刻畫(huà)待處理信號(hào)的不同特征。美國(guó)學(xué)者Daubechies構(gòu)造的正交小波“Coiflets”，該小波簡(jiǎn)記為CoifN，N=1,2,…,5。在db小波中Daubechies小波僅考慮了使小波函數(shù)ψ(t)具有消失矩N 階，而沒(méi)考慮尺度函數(shù)。R.Coifman于1989年Daubechies提出建議希望能構(gòu)造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies接受這一建議，并構(gòu)造出了這一類以Coifman的名字命名的小波。CoifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為6N-1，也是接近對(duì)稱的。的消失矩是2N，ψ(t) 的消失矩是2N-1，我們?cè)趯?shí)際的局部重建算法中，將選用Coif3小波。該小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)ψ(t)分別具有5階和6階的消失矩，而其支撐長(zhǎng)度均為17。

1.3 小波多分辨率分析

Mallat給出了多分辯率分析的定義：

給定不同的分辨率水平j(luò)的信號(hào)，通過(guò)在尺度和小波兩個(gè)正交的子空間上分解,得到的圖像分別反映圖像的低頻概貌信息、高頻細(xì)節(jié)信息，最后利用小波逆變換可得到對(duì)應(yīng)的多分辨率重建圖像。

2 Wiener濾波降噪原理

圖像去噪是數(shù)字圖像處理中的重要環(huán)節(jié)和步驟。降噪效果的好壞直接影響到后續(xù)的圖像處理工作。圖像信號(hào)在產(chǎn)生、傳輸過(guò)程中都可能會(huì)受到噪聲的污染。重建過(guò)程中，工件投影數(shù)據(jù)存在一定的噪聲，通常為高斯白噪聲，Wiener維納濾波使原始圖像和其恢復(fù)圖像之間的均方誤差最小的復(fù)原方法，是一種自適應(yīng)濾波器，根據(jù)局部方差來(lái)調(diào)整濾波器效果。對(duì)于去除高斯噪聲效果明顯。為此，我們選擇Matlab圖像處理工具箱中Wiener2濾波函數(shù)，該函數(shù)利用圖像的局部方差來(lái)調(diào)整濾波器的輸出，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像噪聲的自適應(yīng)濾除。

Wiener2函數(shù)采用的算法是首先對(duì)每一個(gè)像素估計(jì)出在以該像素為中心的窗η內(nèi)估計(jì)局部矩陣和方差，M和N為濾波窗的長(zhǎng)和寬。

式中f(n1,n2)是像素點(diǎn) (n1,n2)的灰度值(含噪時(shí))；u是像素點(diǎn) (n1,n2)的局部灰度均值，局部的大小就是點(diǎn) (n1,n2)鄰域的大??；σ2是像素點(diǎn)(n1,n2)的局部方差；v2是圖像中噪聲的方差；是像素點(diǎn) (n1,n2)去噪后的灰度估計(jì)值[2]。

3 算法描述與實(shí)現(xiàn)

1.利用0～179°每隔1個(gè)角度的Shepp-Logan頭顱投影數(shù)據(jù)（367*90）低分辨率重建，得到的低分辨率圖像如圖3.2（a）所示,通過(guò)圖像觀察可發(fā)現(xiàn)頭顱局部區(qū)域有兩個(gè)大小不同的亮點(diǎn)存在,選出有亮點(diǎn)存在區(qū)域的像素點(diǎn)。

2.對(duì)存在亮點(diǎn)區(qū)域像素點(diǎn) (n1,n2)的含噪投影數(shù)據(jù)進(jìn)行小波3級(jí)分解，并對(duì)高頻部分進(jìn)行Wiener2濾波去噪，最后對(duì)亮點(diǎn)存在區(qū)域投影數(shù)據(jù)小波逆變換，得到小波局部重建圖像x?，算法框圖如圖3.1：

圖3.1 基于小波變換的wiener濾波降噪框圖

從圖3.1可看出，該方法采用小波變換與Wiener濾波相結(jié)合的方法，將這兩種方法的多分辨率、稀疏性、去相關(guān)性、選基靈活性等的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合在一起用于圖像處理。

另外，該算法僅對(duì)亮點(diǎn)局部投影小波分解后的高頻部分進(jìn)行維納濾波降噪處理。由于白噪聲頻譜很寬,在對(duì)亮點(diǎn)局部含噪投影數(shù)據(jù)采用低通濾波器濾波時(shí),必然會(huì)使圖像的高頻信息受到一定損失，因此該算法可以有效的保留圖像的細(xì)節(jié)信息。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

圖3.2 Shepp Logan頭顱實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論與分析

為了對(duì)亮點(diǎn)局部重建圖像進(jìn)行分析，本文利用規(guī)范化圖像平方根誤差e，即對(duì)一個(gè)N×N的圖像:

其中，f為對(duì)應(yīng)原始圖像的像素點(diǎn)值，為重建圖像第i行和第j列的像素點(diǎn)值，為原始圖像平均像素點(diǎn)值。對(duì)亮點(diǎn)局部重建圖像區(qū)域，利用式(4.1)所定義的規(guī)范化圖像平方根誤差e，計(jì)算所得的e值為0.0498。

從圖3.2所示的局部重建圖像和亮點(diǎn)局部重建區(qū)域平方根誤差分析可以得出，對(duì)于只對(duì)大工件局部感興趣的含噪投影，我們可以根據(jù)低分辨率圖像所能分辨出的感興趣區(qū)域，只對(duì)感興趣區(qū)域的投影進(jìn)行降噪處理及重建，通過(guò)仿真分析可知，該方法不僅省去了處理全部投影數(shù)據(jù)的時(shí)間，而且對(duì)于局部感興趣區(qū)域的重建結(jié)果，相對(duì)原圖像誤差較小。

[1]劉冰.SPECT局部重建算法研究[D].北京理工大學(xué)碩士論文.2008.6.

[2]Crouse M S,Baraniuk R G,Nowak R D.Hidden Markov models for wavelet-based signal processing[A].Pric 30th Asilomar Conf[C].Pacific Grove,CA,1996，1029-1035.