一種Pt100溫度傳感器的動態(tài)熱響應模型*

朱 杰，郭 濤*

(1.中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室，太原030051;2.中北大學電子測試技術(shù)國家重點實驗室，太原030051)

溫度傳感器的動態(tài)響應時間是影響測溫速度的主要因素，也是衡量溫度傳感器動態(tài)測試性能的一個重要參數(shù)。在工農(nóng)業(yè)、國防、航天和科研等許多領(lǐng)域，對溫度傳感器的動態(tài)響應時間大小都有具體的要求。研究溫度傳感器動態(tài)測溫過程響應時間的影響因素和數(shù)學模型，對于溫度傳感器動態(tài)過程測量精度和控制系統(tǒng)的實時性具有十分重要的作用和工程價值[1－4]。由于 Pt100溫度傳感器具有精度高，穩(wěn)定性好，測量范圍寬等優(yōu)點，因此，研究Pt100溫度傳感器的動態(tài)響應時間是十分有意義的，對溫度測量領(lǐng)域的研究和應用具有一定的參考價值。

本文主要對Pt100溫度傳感器建模，分析金屬保護膜溫度分布模型和氧化鋁粉層的溫度分布模型，并對此進行了數(shù)值仿真。試驗驗證，從20℃升溫至50℃時的動態(tài)響應時間的仿真模型能夠較為精確的描述測溫的實際工況，試驗結(jié)果與Pt100的動態(tài)響應模型具有良好的一致性。

1 Pt100溫度傳感器建模

Pt100溫度傳感器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)見圖1，制冷系統(tǒng)工質(zhì)在Pt100溫度傳感器外壁流動，工質(zhì)溫度通過金屬保護膜傳到Pt100溫度傳感器內(nèi)部，保護膜內(nèi)部與電阻絲之間采用氧化鋁粉加速溫度的傳遞，最終實現(xiàn)溫度信號的輸出。如圖3所示，金屬保護膜外壁到內(nèi)壁的溫度從T1(x，t)降低到T2(x，t)，溫度再通過氧化鋁粉傳到Pt100溫度傳感器的電阻絲處，此過程溫度從T2(x，t)降到T3(x，t)，本文的建模思想基于如下假設(shè):①在Pt100鉑電阻外表面流動的工質(zhì)的熱流密度恒定，忽略接觸熱阻;②金屬保護膜較薄，可假設(shè)溫度只是一維的長圓柱導熱[5－6];③氧化鋁粉起到加快溫度傳遞的作用，其導熱特性可認定為與空氣直接導熱一致，可以假設(shè)其為二維導熱。

圖1 Pt100溫度傳感器內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖

1.1 金屬保護膜溫度分布模型

根據(jù)假設(shè)①鉑電阻外壁空氣熱流量為qm，空氣溫度為T1(r，t)，傳到內(nèi)壁的溫度為 T2(r，t)，如圖2所示。

圖2 金屬保護膜導熱示意簡圖

根據(jù)假設(shè)②，可建立保護膜的一維動態(tài)溫度場模型:

邊界條件:

溫度無量綱化:

式中:Tf為被測熱流體溫度，Ti為鉑電阻處于室溫下的初始溫度，a為導熱系數(shù)。

其中:

金屬保護膜內(nèi)壁溫度:

式中:h為Pt100外表面換熱系數(shù)，r為瞬時保護膜厚度，r0為保護膜厚度，λ為保護膜導熱系數(shù)。

Xm(r)為其特征函數(shù):

特征值為ξm=βmr0，特征函數(shù)的模為

綜上:可得到金屬保護膜的瞬時傳熱量Q0－r，將其無量綱化得到:

式中:

1.2 氧化鋁粉層的溫度分布模型

1.2.1 氧化鋁粉層的溫度分布模型

圖3中，內(nèi)壁溫度與電阻絲之間的溫度從T2(r，t)降到T3(r，t)，保護膜內(nèi)壁到電阻絲的溫度分布模型由二維非穩(wěn)態(tài)導熱定理可知，換熱管的溫度分布模型為:

圖3 Pt100溫度傳感器內(nèi)部傳熱示意圖

邊界條件:

對方程(6)進行求解，得到氧化鋁粉層的溫度分布模型為:

式中:t為時間，a'為導熱系數(shù)，Xm(x)為特征函數(shù)，βm為特征值，C1，m為待定常數(shù)。

式中:α1(Tf，vf)為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體間的傳熱系數(shù)與流體溫度Tf和速度vf有關(guān)，由于被測熱流體流體外掠Pt100溫度傳感器，可依據(jù)Gnielinski公式可得:

式中:λf(Tf)為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體的導熱系數(shù)，Re(vf)為熱流空氣的雷諾數(shù)，Pr(Tf)為與溫度有關(guān)的動態(tài)普朗特數(shù)，ct為放熱系數(shù):，f為Darcy阻力系數(shù):f=(1.82lgRe－1.64)－2。式(8)中的溫差:ΔT=Tf－Ti，A=πdl為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體接觸的表面積。基于能量守恒定理，式(5)、式(8)聯(lián)立可得:

基于式(9)可求得無量綱化的時間常數(shù):

式(10)表明Pt100溫度傳感器的動態(tài)響應時間與金屬保護膜直徑d3及其導熱系數(shù)λ1、氧化鋁層直徑d2及其導熱系數(shù)λ2以及感應電阻絲絕緣骨架直徑d1有關(guān)。

綜上所述，式(4)、式(5)、式(7)、式(9)、式(10)為非線性方程，不容易獲得精確解，可基于擁有強大計算功能的 MATLAB/Simulink[7－8]對所述非線性方程組求得Pt100對流體進行測溫時的液固耦合瞬態(tài)溫度場，并最終求得Pt100相應時間。

2 數(shù)值仿真

基于Simulink建立動態(tài)仿真模型，如圖4所示。為驗證此Pt100溫度傳感器的動態(tài)響應模型的準確性，設(shè)定額定測量工況見表1。

圖4 Pt100動態(tài)熱響應計算程序框圖

表1 Pt100動態(tài)響應的實驗與仿真初始工況

通過Simulink的動態(tài)仿真，得到了液、固相互耦合的Pt100金屬保護膜與氧化鋁粉的溫度分布情況，如圖5所示。由圖5可知:金屬保護膜大約在12 s溫度達到50℃，并趨于穩(wěn)態(tài);氧化鋁粉的溫度大約在16 s達到50℃并趨于穩(wěn)態(tài)，氧化鋁粉的變化較之金屬保護膜的溫度變化有一定的滯后，并且達到準穩(wěn)態(tài)以后氧化鋁粉的溫度略低于金屬保護膜。

圖5 Pt100溫度傳感器測溫動態(tài)響應溫度分布

為了直觀的描述出Pt100溫度傳感器在測溫過程中的情況，圖6、圖7描述了Pt100在準穩(wěn)態(tài)階段的金屬保護膜以及氧化鋁粉的溫度分布。圖6、圖7的波動誤差均在10－2范圍內(nèi)，可見Pt100在準穩(wěn)態(tài)測溫是較為穩(wěn)定的，并且氧化鋁粉與電阻絲接觸溫度在49.90℃ ～49.907℃之間變化比金屬保護膜內(nèi)壁溫度在49.946℃ ～49.995℃之間變化略低。

圖6 Pt100溫度傳感器金屬保護膜準穩(wěn)態(tài)溫度分布

圖7 Pt100溫度傳感器氧化鋁粉準穩(wěn)態(tài)溫度分布

綜合圖5～圖7分析可得到Pt100溫度傳感器在實際測溫中測到的溫度值小于實際溫度，并且由圖5可以看出Pt100溫度傳感器從初始溫度20℃到50℃的流體溫度需要經(jīng)歷大約16 s，存在一定的滯后性。

基于Pt100熱物性在Simulink下進行動態(tài)仿真，由式(10)得到Pt100溫度傳感器的參數(shù)變化對其動態(tài)響應時間的影響，限于篇幅，僅分析其金屬保護膜直徑的變化對動態(tài)響應時間的影響，如圖8所示。

圖8 金屬保護膜直徑對動態(tài)響應時間常數(shù)的影響

圖8表明Pt100溫度傳感器動態(tài)響應時間隨著金屬保護膜的直徑的增大而增大，當金屬保護膜直徑增大到10 mm時，動態(tài)響應時間突然階躍增大，可以看出金屬保護膜的直徑是影響Pt100溫度傳感器動態(tài)響應時間的一個重要的參數(shù)。

3 實驗驗證

為驗證Pt100溫度傳感器的動態(tài)響應模型，用中北大學研制的精度為0.05℃、動態(tài)響應速度為6 s的高精度溫度傳感器作為標準傳感器來標定實驗環(huán)境，采用四線制接法連接Pt100，其中兩條測試線通過激勵電源，另外兩條引線作為放大電路的輸入傳感引線，Pt100溫度傳感器的激勵電流要盡量的小，過大會使鉑電阻的自熱影響到測試準確度，本文的恒定電流為1.012 5 mA，實驗示意圖如圖9所示。

圖9 Pt100溫度傳感器動態(tài)響應時間實驗示意簡圖

實驗時，首先將Pt100和高精度溫度傳感器放置在由恒溫空調(diào)控制的標定溫度為20℃的室溫環(huán)境下，當Pt100的測量溫度穩(wěn)定后，快速將兩個傳感器放入溫度為50℃的HWS－I型標準水槽中，要求完全插入實驗裝置，盡量使兩個傳感器相近放置，在放入水槽的同時啟動采集裝置，采集10 min的數(shù)據(jù)，然后，將采集的信號通過usb接口送入計算機內(nèi);最后，用VC編制的溫度采集系統(tǒng)分析處理，顯示數(shù)據(jù)[9－12]，圖形處理情況如圖 10 所示(2 min ～10 min后的數(shù)據(jù)趨于穩(wěn)定，圖10中只顯示了0～2 min內(nèi)的圖形數(shù)據(jù))。

圖10 PT100動態(tài)響應實驗值與仿真值分布

通過圖10，可以發(fā)現(xiàn)，仿真的數(shù)值與試驗所得到的滯后的時間基本相等，但是在實際情況中，由于溫度傳感器的落入水槽時的速度及電路采集裝置等系統(tǒng)誤差導致在溫度上升區(qū)間，仿真結(jié)果與實際測量結(jié)果存在一定的誤差。

利用誤差評價原理[13－14]對仿真值和實驗值進行誤差分析，以評價出模型的仿真精度，誤差分析見表2。

表2 仿真模型精度誤差

表2 中，Emax(f)/K、Emin(f)/K、E1(f)/K、E2(f)/K分別為最大、最小絕對誤差、平均誤差、標準差，E1(f)/K、E2(f)/K的值較小，排除實際外界測量因素，可見仿真模型精度較高。并且在準穩(wěn)態(tài)階段的絕對誤差維持在0.1℃左右。

4 結(jié)論

(1)本文從金屬保護膜溫度分布和氧化鋁粉層的溫度分布情況對Pt100的動態(tài)響應模型進行了分析，通過仿真和試驗得出Pt100從20℃到50℃的時間響應常數(shù)大約為16s，平衡后，溫度比50℃略低，精度大約為0.1℃;

(2)通過實驗驗證本文模型能夠較為精確的模擬P t 1 0 0溫度傳感器實際測溫特性;

(3)根據(jù)式(10)可知，可以通過(1)選用熱導率高的材料，(2)縮小金屬保護膜直徑和電阻絲絕緣骨架直徑，來減小溫度傳感器的動態(tài)響應時間，對實際制造過程具有指導意義。

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