體上一類反三角分塊矩陣群逆的注記

李斌，卜長(zhǎng)江

(哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引理

證明 由A的分解形式，設(shè)

則

由AX=XA可得X3=X4=O，且ΔX1=X1Δ.

所證成立.

引理3 設(shè)A、X分別有引理1、引理2中的分解形式，且rank(A)=rank(AX)，那么:1)X1可逆;2)令 F=XAA#，則 F#存在，且滿足 XA2F#=A2，F(xiàn)#A A#=F#.

證明 由A、X的分解形式，可得:

rank(AX)=rank(A)=rank(Δ)=r，因此有

r=rank(Δ)=rank(ΔX1)≤ rank(X1)≤r，所以X1可逆.

引理 4 如果 rank(A)=rank(AX)，那么rank(A2)=rank(A2X).

證明 由已知得 R(A)=R(AX)，那么AR(A)=AR(AX)，即 R(A2)=R(A2X)，因此rank(A2)=rank(A2X).

2 定理

1)M#存在的充分必要條件是 rank(B)=rank(BS);

證明:

所以M#存在?rank(M)=rank(M2)?rank(B)=rank(BS);

2)因?yàn)?rank(B)=rank(BS)，R(BS)?R(B)，所以R(BS)=R(B)，那么

故rank(S2)=rank(S)，即S#存在.

下面求導(dǎo)M#.由A、X的分解形式，可得

那么由引理3得

結(jié)合式(1)～(3)得

因此所證成立.

3 實(shí)例

那么利用定理1的公式計(jì)算得

4 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)X滿足定理1中條件時(shí)，顯然X不一定可逆，甚至X的群逆也不一定存在，但由文中定理可以知道此時(shí)M#仍然是可能存在的，而在原有的定理中，要求X可逆，因此本文定理大大地拓展了M#存在的條件，并且在新條件下給出了M#的表達(dá)形式.

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