磁流變液矩形夾層板的動(dòng)力特性分析

張 沖，魯劉磊

（1.廣州城建職業(yè)學(xué)院建筑工程技術(shù)系，廣東廣州 510925）；2.暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510632）

0 引言

隨著工業(yè)材料的發(fā)展，出現(xiàn)了磁流變液、電流變液、壓電陶瓷等一批智能材料。其中磁流變液的特點(diǎn)更為突出，磁流變液在不加磁場(chǎng)時(shí)為可流動(dòng)的牛頓液體，在磁場(chǎng)作用下，其特性發(fā)生急劇變化，由流體經(jīng)粘彈性體、粘彈性-塑性體等變化為固體，其屈服強(qiáng)度隨外加磁場(chǎng)的增加而增加，移去磁場(chǎng)之后，又恢復(fù)其流動(dòng)特性，整個(gè)過(guò)程是在毫秒量級(jí)的時(shí)間內(nèi)完成[1-4]?；谶@些特性，磁流變液被越來(lái)越多地用于結(jié)構(gòu)的半主動(dòng)振動(dòng)控制。近年來(lái)，大多研究對(duì)象都只是針對(duì)夾層梁結(jié)構(gòu)，而對(duì)于磁流變液應(yīng)用于夾層板的研究很少[5]。

本文針對(duì)工程中常見的夾層結(jié)構(gòu)，通過(guò)理論分析與實(shí)例計(jì)算研究了磁流變液四邊簡(jiǎn)支矩形夾層板結(jié)構(gòu)在不同磁場(chǎng)作用下的動(dòng)力特性變化，分析了磁流變液對(duì)夾層板結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的控制效果及影響。

1 磁流變液矩形夾層板的運(yùn)動(dòng)微分方程

1.1 基本假設(shè)

磁流變液矩形夾層板示意圖如圖1 所示。夾層板的上下表面層為各向同性彈性材料，夾層為磁流變液。本文僅研究上層板與下層板等厚的夾層板結(jié)構(gòu)。由于磁流變液具有一定的粘彈性特點(diǎn)，僅考慮其剪切作用，因此本文在經(jīng)典夾層板理論的基礎(chǔ)上采用如下假設(shè)：

圖1 磁流變液夾層板坐標(biāo)及幾何尺寸

（1）材料服從于Hooke定律；

（2）表板在發(fā)生彎曲變形時(shí)遵守直法線假設(shè)，且各層分界面間無(wú)相對(duì)滑移；

（3）夾心沿板面方向不承受荷載，夾心中面法線在變形后仍為直線；

（4）不考慮表板阻尼，只考慮芯層阻尼效應(yīng)，并以復(fù)剛度形式表述芯層阻尼特性；

（5）不考慮面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程的建立及分析

基于上述假設(shè)，夾層板中任意一點(diǎn)的位移為：

上述各式中各符號(hào)意義：ui，vi，wi（i=1，2，3）分別表示上表層、夾心以及下表層的點(diǎn)沿x，y 和z 方向的位移；u，v，w 分別表示夾層矩形板中面上的點(diǎn)沿x，y 和z 方向的位移；h0表示上下表層中面間的距離；φx，φy分別表示夾心中面法線在xz 和yz 平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。材料的幾何方程為：

上述式中：εxi，εyi，εzi，γxyi，γxzi，γyzi（i=1，2，3）分別表示上表層、夾心層、下表層的應(yīng)變分量。將（1）-（3）式代入（4）和（5）得：

圖2 夾層板變形前后示意圖

將（6）-（8）式代入下述Hooke定律：

其中σx0，σy0，τxy0表示夾層矩形板中面內(nèi)的應(yīng)力分量；σxi，σyi，τxyi，τxz，（i=1，2，3）表示上表層、夾心層、下表層的應(yīng)力分量；E、v為表層材料的彈性模量和泊松比；G2表示夾心層的剪切模量。根據(jù)彈性應(yīng)變能公式：

本文僅考慮上下表層板均為薄板的情況，上層板和下層板的應(yīng)變能可寫為：

本文基于能量法研究磁流變液夾層板運(yùn)動(dòng)微分方程，根據(jù)Hamilton原理可知：

其中U為結(jié)構(gòu)總勢(shì)能，T為結(jié)構(gòu)的總動(dòng)能，W為外力所做的功。

將式（15）-（18）代入（19）可得：

可求得（20）式中分別對(duì)w、φx、φy的奧氏方程[6]：

（21）-（23）式便是夾層板結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)微分方程。由于本文僅討論夾層板的自由振動(dòng)，則f（x，y，t）=0，式（21）可寫為：

[7]的解法，假設(shè)：

（25）式代入（22）、（23）式中，可得

將（25）、（26）式代入（24）式，有：

薄板自由振動(dòng)時(shí)，設(shè)γ（x，y，t）：

將（28）式代入（27）式：

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支夾層板，邊界條件為：

因此根據(jù)（28）式可設(shè)：

將（30）代入（29）可得結(jié)構(gòu)的固有頻率為：

由于所考慮的夾心層為磁流變液，代入的夾心層的剪切模量為磁流變液的復(fù)剪切模量，因此還可以得到結(jié)構(gòu)的損耗因子為：

3 理論與有限元計(jì)算結(jié)果比較

本文對(duì)四邊簡(jiǎn)支磁流變矩形夾層板模型進(jìn)行了理論與有限元計(jì)算，本文研究對(duì)象尺寸：夾層板：200×200×3.53（mm3），其中上表層、磁流變夾層、下表層的厚度分別為0.765 mm，2 mm，0.765 mm。上下表層彈性模量為70 GPa，密度為2 800 kg/m3，泊松比為0.3；磁流變夾層密度為3 450 kg/m3，泊松比0.3，磁場(chǎng)分為5 種：0 Oe、500 Oe、1 000 Oe、1 500 Oe、2 000 Oe；磁流變層的復(fù)剪切模量可根據(jù)西安交通大學(xué)的Qing Sun等人[9]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得并擬合出與磁場(chǎng)之間的一組非線性關(guān)系來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

表1 理論計(jì)算結(jié)果

表2 有限元計(jì)算結(jié)果

圖3 不同外加磁場(chǎng)作用下固有頻率變化曲線圖

采用上面計(jì)算模型尺寸在ANSYS 中利用Solid45 與Visco89 單元[10]分別模擬磁流變液夾層板的上下層板和夾心，并通過(guò)計(jì)算分析夾層板的振動(dòng)特性。通過(guò)理論與有限元計(jì)算分別得到此處磁流變矩形夾層板的固有頻率與損耗因子見表1 和表2。

由圖3 與圖4 可知：理論計(jì)算與有限元分析所得計(jì)算結(jié)果吻合較好。同時(shí)也表明：當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，磁流變液矩形夾層板的各階固有頻率均逐漸增大，說(shuō)明磁流變液的夾層板結(jié)構(gòu)在磁場(chǎng)的作用下，整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼增大，使結(jié)構(gòu)的共振頻率和損耗因子隨之增大。而在同一磁場(chǎng)作用下，隨著模態(tài)階數(shù)的增大，夾層板的固有頻率增大，結(jié)構(gòu)的損耗因子減小。

4 結(jié)論

（1）通過(guò)本文推導(dǎo)的磁流變液夾層板的固有頻率與損耗因子計(jì)算式計(jì)算所得結(jié)果與有限元模擬計(jì)算結(jié)果吻合較好。

（2）在外加磁場(chǎng)的作用下，結(jié)構(gòu)固有頻率隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而增加，結(jié)構(gòu)阻尼因子也隨之增大，這說(shuō)明磁流變液夾層板振動(dòng)在外加磁場(chǎng)的作用下得到有效抑制。在相同磁場(chǎng)的作用下，夾層板的低階模態(tài)損耗因子大于高階模態(tài)損耗因子，表明磁流變液夾層板在外加磁場(chǎng)的作用下，對(duì)低頻振動(dòng)有較好的抑制效果。

圖4 結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化曲線圖

參考文獻(xiàn)：

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