GPS高程測量技術(shù)在水利工程施工測量中的應用

張德軍

【摘 要】隨著科學技術(shù)的發(fā)展，GPS高程測量已經(jīng)漸漸地取代了傳統(tǒng)的控制測量方法。本文對GPS高程測量的原理和方法進行了探討，建立了高程轉(zhuǎn)換的數(shù)學模型，并結(jié)合實例，介紹了GPS高程測量技術(shù)在水利工程施工測量中的應用，為今后在水利工程測量中推廣和應用GPS高程測量技術(shù)得出一些有益的結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】GPS高程測量；數(shù)學模型；擬合高程；精度

1 高程系統(tǒng)

（1）正高系統(tǒng)是以大地水準面為基準面的高程系統(tǒng)。某點的正高是該點到通過該點的鉛垂線與大地水準面的交點之間的距離，正高用符號Hg表示。

（2）正常高系統(tǒng)是以似大地水準面為基準的高程系統(tǒng)。某點的正常高是該點到通過該點的鉛垂線與似大地水準面的交點之間的距離，正常高用Hr表示。

（3）大地高系統(tǒng)是以參考橢球面為基準面的高程系統(tǒng)。某點的大地高是該點到通過該點的參考橢球的法線與參考橢球面的交點間的距離。大地高也稱為橢球高，大地高一般用符號H表示。大地高是一個純幾何量，不具有物理意義，同一個點，在不同的基準下，具有不同的大地高。

2 GPS測高的原理與方法

采用的高程系統(tǒng)是以重力場定義的似大地水準面為基準面的高程系統(tǒng)。GPS測定的高差是以WGS84橢球為基準面的，獲得的是大地高而不是正常高，這就需要將GPS測定的大地高轉(zhuǎn)換為正常高系統(tǒng)。經(jīng)過GPS網(wǎng)的三維平差，可獲得各點的大地高H，如果在GPS點中的一些點上同時進行水準測量可得出這些點的正常高Hr，則這些點的高程異常可按下式求出：

ζ=H-Hr（1）

從式（1）可知，在實際運用中，依據(jù)GPS和水準測量共測點所得的高程異常ζ，再根據(jù)這些點上的高程異常與坐標的關(guān)系，用最小二乘法擬合測區(qū)的似大地水準面，在測區(qū)內(nèi)利用擬合出的似大地水準面內(nèi)插出其他GPS點的高程異常值，從而求出各個未知點的正常高，這就是使用GPS測定高程的基本方法。

3 高程擬合與數(shù)學模型

3.1 解析內(nèi)插法

當GPS點以線狀布設(shè)時，認為沿線似大地水準面為連續(xù)且光滑的一條曲線，在曲線上采用解析方法內(nèi)插求定待定點的正常高。依據(jù)GPS和水準聯(lián)測重合點的平面坐標和高程異常，擬合出測線方向上的似大地水準面曲線，以求解測線上未知點的高程異常。

3.1.1 多項式曲線擬合法

建立以測線方向為x軸，垂直測線方向為y軸，假設(shè)ζ與x間存在的函數(shù)關(guān)系如下：

（2）

式中：ζi—高程異常；

a0、a1、a2、…am—擬合系數(shù)；

xi—測線上重合點的坐標；

m—重合點的個數(shù)；

εi—殘差。

在Σεi2=min的條件下，求解出擬合系數(shù)ai，然后依據(jù)xi求出線路上未知點的Hr。多項式曲線擬合法計算簡單，但在工程應用中插值點的函數(shù)不具備連續(xù)性而受到限制。

3.1.2 三次樣條曲線擬合法

當測線長，已知點多，ζ變化大時，多項式曲線擬合按Σεi2=min解算的ai誤差增大；而且己知點一般不可能布設(shè)在線路中線上，往往偏離線路中線數(shù)公里之外，這樣的GPS數(shù)據(jù)點實質(zhì)上并不呈線狀，為了避免高次插值的振蕩現(xiàn)象和保證插值點上的連續(xù)性，通常采用三次樣條函數(shù)做為擬合模型進行分段擬合。

設(shè)過n個已知點，高程異常為ζi和其坐標xi在區(qū)間〔xi，xi+1〕（i=1、2、…n-1）上建立三次樣條函數(shù)關(guān)系：

式中：x—待定點坐標；

xi，xi+1—待定點兩端的已知坐標；

ζi（xi，xi+1）—一階差商；

ζi（x，xi，xi+1）—二階差商。

三次樣條曲線實際上是由一段一段的三次多項式曲線拼接而成的連續(xù)曲線，在連接點處，不僅保證了曲線函數(shù)自身的連續(xù)性，而且其一階導數(shù)和二階導數(shù)也是連續(xù)的。這樣既保留了多項式在表達式的簡捷性，又克服了單個多項式不靈活、不穩(wěn)定、不連續(xù)的缺點，所以在長線路測線似大地水準面擬合中得到了應用。

3.2 曲面擬合法

多項式曲面擬合法是GPS高程測量中最常見的幾何方法之一，它有平面相關(guān)模型、二次曲面模型及三次曲面模型等，通常選取二階多項式函數(shù)，其數(shù)學模型為：

式中：ζi—高程異常；

a0、…a5—擬合系數(shù)；

xi、yi—平面坐標；

εi—殘差。

式（4）表示的二階函數(shù)模型特性僅僅是只有一個凹面或凸面，對于出現(xiàn)多個凹凸面時，此模型擬合的高程異常將出現(xiàn)較大殘差，目前主要通過試算法判斷是否采用分區(qū)曲面擬合方法。所以，曲面擬合法僅適用于高程異常在一定范圍內(nèi)變化平緩的前提下，將高程異常近似地看作在一定的范圍內(nèi)各點坐標的曲面函數(shù)。

4 工程實例

實例1：某供水工程總干渠全長約90km，整體線路以隧洞連接為主。在洞進、洞出口附近布設(shè)了三等水準點，在施測D級GPS平面控制網(wǎng)的同時，盡可能的聯(lián)測已知水準點，由于測區(qū)呈線狀結(jié)構(gòu)且每條隧洞軸之間存在著方向上的偏角，為此，采用三次樣條曲線擬合法進行了高程擬合，依據(jù)表1中參與擬合計算已知點的擬合殘差v，進而按 計算GPS高程擬合的內(nèi)符合精度為μ0=±6.5cm；依據(jù)表2中檢核點擬合殘差，按 計算GPS高程擬合的外符合精度為σ0=±7.7cm。

在本測區(qū)擬合檢核點距離參與擬合的已知點均在5～8km之間，不妨以5km計算，則按40 mm求定限差為±8.9cm，由GPS高程擬合的外符合精度和校核殘差可知，在高山區(qū)GPS高程擬合精度基本上達到了五等水準精度要求，完全能夠滿足線路選線、定測及地形圖圖根點控制精度。

實例2：某揚水灌區(qū)水利工程，灌區(qū)東西長約50km，南北寬約9km，區(qū)內(nèi)總面積3.39萬hm2，凈灌面積3.06萬hm2。灌區(qū)地形較平坦，東高西低、南高北低，整體向西北傾斜。本測區(qū)呈現(xiàn)面狀地形，適合于曲面擬合特征，因此采用GPS曲面擬合方法進行未知點高程擬合方法。在測區(qū)按四等水準測量技術(shù)布設(shè)了300多公里長的多環(huán)水準線路，在布設(shè)E級GPS平面控制網(wǎng)的同時聯(lián)測了28座水準點。在GPS平差中，選用其中15座水準點作為已知點參與擬合，其他13座水準點作為外部校核點。通過已知點擬合殘差，按照 計算得內(nèi)符合擬合精度為μ0=±2.4cm。

依據(jù)外部校核點的殘差，按照 計算得外符合擬合精度為σ0=±3.2cm。在本測區(qū)擬合檢核點距離參與擬合的已知點均在6～7km之間，若以6km計算，則按20 mm求定限差為±4.9cm，由檢核點的外符合精度和校核殘差可知，擬合精度等價于四等水準的精度，完全能夠滿足本工程測圖控制網(wǎng)的水準精度。

5 結(jié)論

利用GPS測量相對高差，其精度一般能達到幾厘米及十幾厘米，采用適當?shù)姆椒▽PS高程轉(zhuǎn)化為水準高程并達到一定精度是可行的?？紤]到地形地貌和工程需求，合理布設(shè)控制網(wǎng)，采用相應的擬合方案和數(shù)學模型進行計算，在平緩地區(qū)和測區(qū)范圍不大的區(qū)域，如果聯(lián)測的已知水準點較多，解算的GPS水準高程可以替代四等水準；不加地形改正的情況下，在高原山區(qū)一般能達到五等水準精度，完全能夠滿足工程線路選線、定線及測圖的精度要求。

參考文獻

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