基于多重分形與奇異值分解的往復(fù)壓縮機(jī)故障特征提取方法研究

趙海洋，徐敏強(qiáng)，王金東

往復(fù)壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜，激勵(lì)源眾多，部件運(yùn)動(dòng)形式多樣等特點(diǎn)，其傳動(dòng)機(jī)構(gòu)往往因?yàn)殚L(zhǎng)期的摩擦、磨損造成軸承間隙故障，導(dǎo)致整機(jī)振動(dòng)超標(biāo)而停機(jī)，影響生產(chǎn)。往復(fù)壓縮機(jī)故障診斷存在如下難點(diǎn):①系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性;②激勵(lì)和響應(yīng)具有非平穩(wěn)特性;③故障信息傳遞路徑復(fù)雜，相互干擾，彼此耦合。以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析通常適用于平穩(wěn)信號(hào)分析，在往復(fù)壓縮機(jī)非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)分析中存在著一定的局限性，很難對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的故障診斷［1－2］。

Mandelbrot提出的多重分形為信號(hào)分析提供了一種幾何結(jié)構(gòu)方法，在揭示復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的非平穩(wěn)性和非線性具有獨(dú)特之處。在分形理論中，分形維數(shù)可以定量地刻畫混沌吸引子的“奇異”程度，定量描述非線性行為［3－4］。然而，單重分形特征只能對(duì)所研究對(duì)象作整體性的、平均性的描述與表征，廣義分形維數(shù)則能更精細(xì)的刻畫信號(hào)的局部尺度行為，可以全面反映信號(hào)的分形特性，更適用于復(fù)雜系統(tǒng)的非線性行為定量描述。往復(fù)壓縮機(jī)振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性、非平穩(wěn)性，適用于多重分形方法對(duì)其進(jìn)行特征描述。多重分形已在往復(fù)機(jī)械故障診斷研究中得到應(yīng)用，文獻(xiàn)［5］提出基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作的廣義分形維數(shù)計(jì)算方法，并對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)故障信號(hào)進(jìn)行診斷分析。文獻(xiàn)［6］應(yīng)用振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻域多重分形方法對(duì)往復(fù)式壓縮機(jī)填料泄漏故障進(jìn)行了實(shí)例分析，能夠較好地區(qū)分故障的嚴(yán)重程度。

相比于單一傳感器，多傳感器可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)可信度，擴(kuò)展觀測(cè)范圍，尤其對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，只對(duì)單個(gè)傳感器信息進(jìn)行分析，往往難以得出有效特征。因此，有必要對(duì)多傳感器的信息進(jìn)行綜合分析，通過(guò)信息融合來(lái)實(shí)現(xiàn)特征提取與故障診斷。往復(fù)壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，故障信息相互干擾，彼此耦合，利用多重分形方法對(duì)多傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析，形成多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣，能更全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。

為了便于實(shí)現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)，通常特征向量是以列向量形式存在的。因此，需對(duì)多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行降維壓縮。奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，矩陣的奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩(wěn)定性、比例不變性和旋轉(zhuǎn)不變性，在數(shù)據(jù)壓縮、信號(hào)處理和模式識(shí)別等許多方面都有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)［7］對(duì)小波包變換系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，依據(jù)矩陣奇異值，定義了振動(dòng)信號(hào)特征參數(shù)。文獻(xiàn)［8］采用奇異值分解分析滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)經(jīng)EMD分解形成的矩陣，提取奇異值作為滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的故障特征向量。

本文應(yīng)用多重分形理論分析多傳感器振動(dòng)信號(hào)，形成廣義分形維數(shù)初始矩陣，利用奇異值分解進(jìn)行矩陣降維壓縮，提取矩陣特征值作為特征向量。將其應(yīng)用于往復(fù)壓縮機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)故障診斷，實(shí)現(xiàn)多位置軸承間隙故障的特征提取與診斷識(shí)別。

1 基于多重分形與奇異值分解的特征提取方法

1.1 多重分形

多重分形是定義在分形結(jié)構(gòu)上由多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測(cè)度構(gòu)成的無(wú)限集合。它用一個(gè)譜函數(shù)來(lái)描述分形不同層次的特征，即刻畫的是分形測(cè)度在支集上的分布情況。

對(duì)于多重分形應(yīng)用盒計(jì)數(shù)法，把研究對(duì)象劃分為N個(gè)不同的區(qū)域(i=1，2…N)，設(shè)區(qū)域尺度的大小為δ，考慮各個(gè)盒子內(nèi)不均勻分布的物理量用概率分布表示:

其中:αi為第i個(gè)盒子中的Holder指數(shù)(標(biāo)度指數(shù))。

定義配分函數(shù)χ(q，δ)，對(duì)概率用q次方進(jìn)行加權(quán)求和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

如果配分函數(shù)和δ有冪函數(shù)關(guān)系，則可從lnχ(q，δ)～lnδ曲線的斜率得到:

式中:τ(q)稱為質(zhì)量指數(shù)。

對(duì)每個(gè)q值，利用最小二乘法擬合估算雙對(duì)數(shù)曲線 lnχ(q，δ)～ lnδ，即可得到 τ(q)和 q 的關(guān)系。質(zhì)量指數(shù)τ(q)和描述多重分形的廣義分形維數(shù)D(q)有如下關(guān)系:

即:

因此，得到描述多重分形的一套參數(shù)為廣義分形維數(shù)譜D(q)－q。它既可用于簡(jiǎn)單分形，也可用于多重分形，當(dāng)q=0時(shí)，D(q)為盒維數(shù)，當(dāng)q=1時(shí)，D(q)為信息維數(shù)，當(dāng)q=2時(shí)，D(q)為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

1.2 奇異值分解

在矩陣?yán)碚撝?，奇異值是矩陣的固有特征，具有較好的穩(wěn)定性，能有效地反映矩陣的特征。奇異值分解定理為:對(duì)于一個(gè)實(shí)矩陣 A∈Rm×n，不管其行列是否相關(guān)，必定存在正交矩陣U∈Rm×m和正交矩陣V∈Rn×n，使得下式成立:

式中:S 是對(duì)角陣，可表示為 S=diag(λ1，λ2，…，λk)，k=min(m，n)，λ1，λ2，…，λk為矩陣 A 的奇異值并按降序排列。

1.3 特征提取方法

廣義分形維數(shù)能更精細(xì)的刻畫信號(hào)的局部尺度行為，在揭示復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的非平穩(wěn)性、非線性等特性方面具有獨(dú)特之處。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，只對(duì)單個(gè)傳感器信息進(jìn)行分析，往往難以得出有效特征，而多傳感器可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)可信度，擴(kuò)展觀測(cè)范圍，更能全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。

往復(fù)壓縮機(jī)具有復(fù)雜的非線性和非平穩(wěn)性，且故障信息傳遞路徑復(fù)雜，基于多傳感器的多重分形方法，形成多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣，可有效結(jié)合多重分形法對(duì)非線性定量描述的細(xì)致性和多傳感器觀測(cè)范圍的擴(kuò)展性，全面細(xì)致的反應(yīng)往復(fù)壓縮機(jī)運(yùn)行狀態(tài)。

奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，可對(duì)多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，得出矩陣的奇異值作為特征向量。由于奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩(wěn)定性，所以，奇異值特征向量與故障狀態(tài)具有一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，是往復(fù)壓縮機(jī)運(yùn)行狀態(tài)的準(zhǔn)確反映。因此，提出基于多重分形與奇異值分解的多傳感器特征提取方法，具體計(jì)算過(guò)程如下:

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理。對(duì)初始數(shù)據(jù)進(jìn)行截取與降噪等處理，降低計(jì)算工作量以及噪聲對(duì)譜值的影響。

(2)計(jì)算各傳感器的廣義分形維數(shù)。用尺度為δ的盒子對(duì)分形集進(jìn)行劃分，定義每個(gè)盒子的奇異概率測(cè)度pi(δ)及配分函數(shù) χ(q，δ)，對(duì)于給定的 q值，計(jì)算并繪制相應(yīng)的lnχ(q，δ)～lnδ雙對(duì)數(shù)曲線，找出曲線的無(wú)標(biāo)度區(qū)，用最小二乘法擬合估算出該段曲線的斜率即質(zhì)量指數(shù)τ(q)，通過(guò)式(4)變換即得廣義分形維數(shù)譜 D(q)－q。

(3)構(gòu)成初始特征矩陣。根據(jù)各傳感器的廣義分形維數(shù)，以各傳感器廣義分形維數(shù)為行向量，按傳感器編號(hào)排列，形成初始特征向量矩陣A，表示為:

矩陣中，M表示廣義分形維數(shù)譜的維數(shù)，N表示傳感器編號(hào)。

(4)特征向量提取。利用奇異值分解理論，對(duì)廣義分形維數(shù)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，取對(duì)角陣S上的部分或全部對(duì)角元素 λ1，λ2，…，λk作為特征向量，即:

T= ［λ1，λ2，…，λk］。

即可對(duì)廣義分形維數(shù)譜矩陣進(jìn)行降維壓縮，實(shí)現(xiàn)故障特征向量的提取。

2 往復(fù)壓縮機(jī)故障診斷

2.1 故障試驗(yàn)研究

以大慶天然氣分公司2D12型雙作用對(duì)動(dòng)式往復(fù)壓縮機(jī)為研究對(duì)象。其主要參數(shù)為:軸功率500 kW、排氣量 70 m3/min、活塞行程 240 mm、電機(jī)轉(zhuǎn)速 496 r/min。試驗(yàn)過(guò)程中，分別在壓縮機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)兩級(jí)連桿的小頭軸承、大頭軸承共四個(gè)位置模擬了間隙大故障。此外，為獲得機(jī)組正常狀態(tài)數(shù)據(jù)樣本還對(duì)正常運(yùn)行的壓縮機(jī)組進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試。根據(jù)壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在曲軸箱正面、上端和右端，各級(jí)氣缸蓋側(cè)，各級(jí)十字頭滑道下端共7個(gè)故障敏感部位設(shè)置測(cè)點(diǎn)，利用加速度傳感器測(cè)試壓縮機(jī)振動(dòng)信號(hào)，測(cè)點(diǎn)布局如圖1所示。同時(shí)，在曲軸箱輸入軸飛輪處利用光電傳感器采集鍵相信號(hào)。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)選用北京東方所的INV306U－6660多通道智能數(shù)據(jù)采集儀，采樣時(shí)間4 s，每一工況下等時(shí)間間隔采樣100次，鑒于往復(fù)壓縮機(jī)激勵(lì)源眾多，運(yùn)行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生高頻振動(dòng)成分，采樣頻率設(shè)置為50 kHz。

圖1 往復(fù)壓縮機(jī)測(cè)點(diǎn)布局Fig.1 Distribution of reciprocating compressor measurement points

2.2 信號(hào)預(yù)處理

根據(jù)采樣時(shí)間和電機(jī)轉(zhuǎn)速可知，一次采樣采集了多個(gè)工作周期的振動(dòng)信號(hào)，由于各周期信號(hào)的相似性，過(guò)多的數(shù)據(jù)僅會(huì)增加計(jì)算量，不會(huì)對(duì)多重分形譜有顯著影響。因此，利用與多通道振動(dòng)信號(hào)同步采集的鍵相信號(hào)，提取兩個(gè)周期的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12 028點(diǎn)。

眾所周知，噪聲會(huì)影響分形維數(shù)的大小，使其無(wú)法準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)的多重分形特征。為了降低噪聲干擾，應(yīng)用小波閾值降噪法對(duì)往復(fù)壓縮機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，具體采用db4小波母函數(shù)，三層分解，啟發(fā)式軟閾值降噪法。其中，一級(jí)十字頭滑道測(cè)點(diǎn)一級(jí)連桿小頭間隙大故障振動(dòng)信號(hào)的處理結(jié)果如圖2所示。

2.3 故障特征提取

對(duì)各工況每個(gè)傳感器的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行截取與降噪，根據(jù)多重分形定義，在q取值范圍－10至10間計(jì)算廣義分形維數(shù)D(q)，即可形成21行7列的廣義分形維數(shù)矩陣。每種工況的廣義分形維數(shù)矩陣可以通過(guò)廣義分形維數(shù)D(q)、q和傳感器編號(hào)N組成的3維譜圖來(lái)表示，各工況的典型3維譜圖如圖3所示。

由圖3可知，雖然各工況同屬軸承間隙大這一性質(zhì)故障，但隨著故障發(fā)生位置的不同，振動(dòng)信號(hào)的傳遞途徑也不同，所以廣義分形維數(shù)矩陣存在明顯差異;再者，對(duì)于任意兩種不同工況，隨著q的不同，同一傳感器廣義分形維數(shù)差異明顯，體現(xiàn)了多重分形刻畫局部尺度的細(xì)致性;此外，對(duì)于任意兩種不同工況，多個(gè)傳感器廣義分形維數(shù)差異顯著，體現(xiàn)了多傳感器觀測(cè)的必要性。

圖2 一級(jí)連桿小頭間隙大故障降噪前后時(shí)域信號(hào)Fig.2 Time-domain signal before and after noise reduction for fault of first connecting rod small end with large clearance

圖3 各工況3維譜圖Fig.3 3D Spectrum of each state

對(duì)廣義分形維數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，提取奇異值，雖然噪聲使矩陣全部奇異值均大于零，但從量級(jí)比較，矩陣的前4階奇異值差異較大，所以取矩陣的前4階奇異值作為故障特征向量。不同位置故障及正常工況的典型特征向量如圖1所示，由圖1可知，各工況特征向量曲線無(wú)交叉，間隔大，具有明顯可分性。

圖4 各故障狀態(tài)典型特征向量Fig.4 Typical feature vector for each fault condition

2.4 故障診斷與分析

支持向量機(jī)(SVM)是以統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)發(fā)展而來(lái)的一種通用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，已在模式識(shí)別、回歸估計(jì)、概率密度函數(shù)估計(jì)等方面得到廣泛應(yīng)用。LibSVM是由臺(tái)灣林智仁副教授開(kāi)發(fā)的SVM工具包，它集成了參數(shù)尋優(yōu)、模型訓(xùn)練和結(jié)果測(cè)試等功能［9］。

對(duì)于SVM，核參數(shù)和誤差懲罰參數(shù)C是影響其性能的主要因素。本文使用廣泛應(yīng)用的徑向基核函數(shù)，具體形式為:K(x，xi)=exp{－γ‖x－xi‖2}，其中，核參數(shù)為γ。選取上述五種工況測(cè)試數(shù)據(jù)各100組，經(jīng)截取和小波閾值降噪后利用多重分形和奇異值分解計(jì)算得出特征向量樣本。分別以每種工況的70組特征向量作為訓(xùn)練樣本，30組特征向量作為測(cè)試樣本。應(yīng)用LibSVM的遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并建立支持向量機(jī)，優(yōu)化結(jié)果為差懲罰參數(shù) C取1.83，核參數(shù) γ取3.55。對(duì)各工況測(cè)試樣本進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果如表1所示。

為檢驗(yàn)該方法的有效性，同樣選取上述五種工況樣本100組。首先，計(jì)算每組樣本中各傳感器振動(dòng)信號(hào)的單重分形指標(biāo)關(guān)聯(lián)維數(shù)作為特征向量，分別以70組特征向量作為訓(xùn)練樣本，另外30組特征向量作為測(cè)試樣本，建立支持向量機(jī)并進(jìn)行診斷測(cè)試。再者，所有工況各取一組樣本，計(jì)算每種工況各個(gè)傳感器的廣義分形維數(shù)，對(duì)于某一工況，以各傳感器在正常工況與故障工況下廣義分形維數(shù)的最大歐氏距離作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，選出對(duì)故障最敏感的傳感器，以其廣義分形維數(shù)作為該故障的單傳感器特征向量，采用同樣方法建立支持向量機(jī)并進(jìn)行診斷測(cè)試。各方法診斷的識(shí)別準(zhǔn)確率如表1所示。

由表1可知，各種特征提取方法均可實(shí)現(xiàn)不同位置故障的識(shí)別，但由于多重分形在局部尺度描述的細(xì)致性以及多傳感器在數(shù)據(jù)獲取的擴(kuò)展性優(yōu)勢(shì)，基于多重分形與奇異值分解方法不但在總體識(shí)別準(zhǔn)確率高于多傳感器單重分形法和單傳感器多重分形法，而且各工況的識(shí)別準(zhǔn)確率均為最高，識(shí)別效果最好，驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。

表1 各方法故障診斷準(zhǔn)確率比較Tab.1 Comparison of fault diagnosis accuracy for each method

3 結(jié)論

(1)多重分形適用于復(fù)雜系統(tǒng)的非線性行為定量描述，多傳感器數(shù)據(jù)采集能更全面反映系統(tǒng)狀態(tài)信息。以此，提出了一種基于多傳感器廣義分形維數(shù)矩陣與奇異值分解壓縮的故障特征提取方法。

(2)將該方法應(yīng)用于往復(fù)壓縮機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)多位置軸承間隙故障的特征提取，不同工況的特征向量可分性明顯，實(shí)現(xiàn)了故障的準(zhǔn)確診斷。

(3)通過(guò)建立支持向量機(jī)進(jìn)行比較分析，該方法相比于多傳感器單重分形關(guān)聯(lián)維數(shù)法和單傳感器多重分形法，更能全面地反映設(shè)備狀態(tài)特征，識(shí)別效果更好，為往復(fù)壓縮機(jī)故障特征提取和故障診斷提供了一種新途徑。

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