高階單步法的非線性誤差傳遞效應(yīng)分析

欒強(qiáng)利，陳章位，文 祥

(浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027)

擬動(dòng)力試驗(yàn)廣泛應(yīng)用于各類建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能研究，試驗(yàn)過程誤差的大小會(huì)影響到試驗(yàn)結(jié)果的可靠性，因此在試驗(yàn)過程中我們需要對(duì)擬動(dòng)力試驗(yàn)的誤差進(jìn)行有效控制。擬動(dòng)力試驗(yàn)過程中，對(duì)試驗(yàn)誤差的有效控制一方面可以通過采用高精度的試驗(yàn)設(shè)備降低試驗(yàn)誤差，另一方面可以通過選擇合適的數(shù)值積分方法減少試驗(yàn)過程中每一步誤差的累積，因此，一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)值積分方法應(yīng)該具有較小的誤差傳遞效應(yīng)，從而有效控制試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性［1－2］。

高階單步法是由王煥定等［3］于1996年提出，具有高精度、無條件穩(wěn)定的特性，已經(jīng)應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的時(shí)程分析;崔雪娜等［4］在高階單步法的研究基礎(chǔ)上，對(duì)在結(jié)構(gòu)剛度為時(shí)間解析函數(shù)時(shí)高階單步法的適用性進(jìn)行了研究。本文在前人研究的工作基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度解析表達(dá)時(shí)系統(tǒng)剛度及算法參數(shù)β的變化對(duì)高階單步法穩(wěn)定性及其數(shù)值阻尼的影響，另一方面，通過采用兩步累積誤差迭代的方法，研究高階單步法的誤差傳遞效應(yīng)，進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的數(shù)值阻尼對(duì)系統(tǒng)積分累積誤差的影響。

1 高階單步法

非線性動(dòng)力方程可以表示為:

將其寫成狀態(tài)方程的形式為:

其中:

高階單步β法在t=t0+(n+1)Δt時(shí)刻由位移、速度組成的狀態(tài)向量Zn+1可由下式計(jì)算［3］:

考慮到非線性動(dòng)力方程中參數(shù)的時(shí)間相關(guān)性，則

其中:

將式(6)、(7)代入式(5)并進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到:

其中:

對(duì)于離散載荷

將式(13)代入式(8)并整理得:

其中:

根據(jù)式(14)，第n+1時(shí)間步的位移和速度與第n時(shí)間步的位移和速度有關(guān)。

2 高階單步法的穩(wěn)定性及其數(shù)值阻尼分析

2.1 算法的穩(wěn)定性分析

研究高階單步法的穩(wěn)定性及其數(shù)值阻尼在非線性系統(tǒng)中的影響因素，忽略系統(tǒng)的物理阻尼，同時(shí)考慮系統(tǒng)剛度的變化，參考文獻(xiàn)［5－7］提出的剛度非線性系數(shù)模型:

對(duì)于非線性系統(tǒng)其結(jié)構(gòu)剛度k是變化的，為了能夠評(píng)價(jià)系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)剛度的變化，模型中引入非線性系統(tǒng)離散模型的結(jié)構(gòu)剛度變化系數(shù)μn+1，同時(shí)將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度變化解析方程表示為:

進(jìn)一步得到離散系統(tǒng)的剛度變化系數(shù)

當(dāng)剛度變化系數(shù)μn+1＞1時(shí)，結(jié)構(gòu)存在剛度硬化，當(dāng)剛度變化系數(shù)μn+1＜1時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生剛度軟化，當(dāng)μn+1=1時(shí)，結(jié)構(gòu)為剛度常量，本文在研究剛度變化系數(shù)對(duì)算法穩(wěn)定性及其數(shù)值阻尼的影響過程中，剛度變化系數(shù)取值0.8，1.0 和 1.2，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度軟化、剛度常量以及剛度硬化情況。

將系統(tǒng)頻率［8］的概念代入式(17)，整理得到

將式(20)代入式(4)、(7)、(9)和(10)得到

其中:

系統(tǒng)放大矩陣

對(duì)應(yīng)特征方程為

Cij(i，j=1，2)為放大矩陣對(duì)應(yīng)的元素，相應(yīng)的矩陣譜半徑 ρ(C)=max{|λi|，i=1，2}，是關(guān)于 a、δn、δn+1、Δt、β、ω0的函數(shù)。通過數(shù)值分析驗(yàn)證，式(25)的判別式

判別式的結(jié)果與剛度變化系數(shù)μn+1及β等的取值有關(guān)，但總是小于0的，因此放大矩陣的譜半徑可表示為:

根據(jù)文獻(xiàn)［3］得到的結(jié)論，算法無條件穩(wěn)定的條件是β≥0.5，因此首先考慮在 β =0.5時(shí)，剛度變化系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，三種剛度變化模型對(duì)應(yīng)的各自譜半徑隨結(jié)構(gòu)頻率ω0的變化規(guī)律如圖1所示，當(dāng)μn+1=0.8，δn+1=0.8n+1時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度軟化，在 n=2 的情況下進(jìn)行分析，放大矩陣的譜半徑始終大于1，使得計(jì)算結(jié)果發(fā)散，即積分算法不穩(wěn)定;當(dāng) μn+1=1.0，δn+1=1.0時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度為常量，其譜半徑恒等于1，算法臨界穩(wěn)定;當(dāng) μn+1=1.2，δn+1=1.2n+1，時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度硬化，對(duì)應(yīng)譜半徑小于1，算法無條件穩(wěn)定。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)在μn+1=0.8，n=2剛度軟化的情況下，調(diào)節(jié)β值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)β取值為0.518 6時(shí)，算法臨界穩(wěn)定，如圖2所示，此時(shí)對(duì)應(yīng)的其余兩種剛度變化情況，算法均能實(shí)現(xiàn)無條件穩(wěn)定，因此，對(duì)于剛度軟化情況下導(dǎo)致的算法不穩(wěn)定狀態(tài)，可以通過調(diào)節(jié)β的取值實(shí)現(xiàn)算法的穩(wěn)定。在本文研究的預(yù)設(shè)條件下，對(duì)于系統(tǒng)剛度軟化情況，臨界穩(wěn)定狀態(tài) β的取值與 n和 μn+1取值的關(guān)系如表1，表2所示。

表1列出在μn+1=0.8時(shí)，為保證算法的無條件穩(wěn)定，β的最小取值與對(duì)應(yīng)的n取值的關(guān)系，表中n的取值范圍是在0～25之間，臨界穩(wěn)定狀態(tài)下β的變化范圍為0.518 5～0.53，且β的取值隨著n值的增大逐漸增大，當(dāng)n過大時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度接近于零，這種情況在實(shí)際試驗(yàn)過程中是不存在的，因此對(duì)n值在討論范圍之外的情況未作進(jìn)一步討論。表2表示在n=2時(shí)，為保證算法的無條件穩(wěn)定，β的最小取值與對(duì)應(yīng)的μ值之間的關(guān)系，當(dāng)μ在0.4～1.0之間變化時(shí)，β的取值是隨著μ取值的增大逐漸減小的，當(dāng)μ的取值為1.0時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度為常量，β的算法穩(wěn)定臨界取值為0.5，這也驗(yàn)證了文獻(xiàn)［3］中關(guān)于β在結(jié)構(gòu)剛度為常量情況下，其對(duì)于算法穩(wěn)定性的取值條件，即β≥0.5，在μ的取值小于0.4時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度過小，因此未作進(jìn)一步討論。

圖1 β=0.5時(shí)不同剛度變化系數(shù)下ρ－ω0關(guān)系Fig.1 Numerical relationship between ρa(bǔ)ndω0 under different stiffness variation coefficients with β=0.5

圖2 β=0.518 6時(shí)不同剛度變化系數(shù)下ρ－ω0關(guān)系Fig.2 Numerical relationship between ρa(bǔ)ndω0 under different stiffness variation coefficients with β=0.518 6

圖3 μ=0.8，n=20時(shí)不同 β取值下ρ－ω0關(guān)系Fig.3 Numerical realationship betweenρa(bǔ)ndω0 under differentβ with μ =0.8 and n=20

對(duì)于表1中在μ=0.8，n=20時(shí)，不同的β取值對(duì)譜半徑的影響如圖3所示，當(dāng)ω0的取值大于180時(shí)，隨著β取值的增大，譜半徑ρ(C)發(fā)生迅速衰減，實(shí)驗(yàn)證明，同樣的變化規(guī)律發(fā)生在n(n≤25)取不同數(shù)值的情況下，即β值越大，譜半徑ρ(C)衰減越快。

表1 μ=0.8時(shí)臨界β值與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.1 Numerical relationship between the thresholdβand n withμ=0.8

表2 n=2時(shí)臨界β值與μ的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.2 Numerical relationship between the thresholdβandμwith n=2

2.2 算法的數(shù)值阻尼分析

擬動(dòng)力試驗(yàn)過程中的累積誤差是隨著試驗(yàn)結(jié)構(gòu)頻率的增加而不斷增長的，即高頻響應(yīng)對(duì)試驗(yàn)的累積誤差影響較大［9－11］，因此帶有數(shù)值耗散功能即數(shù)值阻尼的積分方法可以用來有效抑制或消除算法中隨結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)增加的累積誤差即降低算法的誤差傳遞效應(yīng)。系統(tǒng)放大矩陣的特征值可以表示為［8］:

其中:

自由振動(dòng)條件下，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可以表示為:

將式(28)代入上式，并令:

則結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)為:

因此，位移響應(yīng)的大小主要取決于式(33)中右端的第一項(xiàng)因子(第二項(xiàng)為有限值)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(33)得到:

其中:

反映了算法對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的阻尼作用。根據(jù)表2中n與β的關(guān)系，考慮n=2，β=0.52時(shí)，數(shù)值阻尼比隨剛度變化系數(shù)μ的變化情況如圖4所示，可見在給定條件下，當(dāng)結(jié)構(gòu)為剛度常量或硬化情況時(shí)，算法中引入了數(shù)值阻尼，而在結(jié)構(gòu)剛度軟化情況時(shí)，算法中并沒有引入足夠的算法阻尼。因此，為了使高階單步法在結(jié)構(gòu)剛度軟化過程中仍具有一定的算法阻尼，需要進(jìn)一步考慮關(guān)于算法數(shù)值阻尼的影響因素，為此，單獨(dú)討論結(jié)構(gòu)剛度軟化情況時(shí)，β取值的變化對(duì)算法數(shù)值阻尼的影響，在n=2，μ=0.8時(shí)，β取值變化對(duì)數(shù)值阻尼比的影響如圖5所示，隨著β取值的增大，系統(tǒng)的阻尼比有逐漸增大的趨勢(shì)，因此對(duì)于結(jié)構(gòu)剛度軟化情況，通過適當(dāng)增大β值，可以有效調(diào)整算法的數(shù)值阻尼。

圖4 n=2，β=0.52時(shí)剛度變化對(duì)數(shù)值阻尼比的影響Fig.4 Numerical damping ratio under different stiffness variation coefficients with n=2 and β=0.52

圖5 n=2，μ=0.8時(shí)β變化對(duì)數(shù)值阻尼比的影響Fig.5 Numerical damping ratio under differentβ with n=2 and μ =0.8

3 系統(tǒng)阻尼對(duì)誤差傳遞效應(yīng)的影響

擬動(dòng)力試驗(yàn)過程中，當(dāng)我們使用高階單步法做位移控制時(shí)，位移步之間存在誤差的傳遞效應(yīng)，一方面是由于試驗(yàn)過程中傳感器的靈敏度為有限值，另一方面是由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算精度為有限位數(shù)，都將導(dǎo)致試驗(yàn)的計(jì)算位移與反饋位移之間存在誤差，擬動(dòng)力試驗(yàn)過程需要對(duì)這些本身帶有誤差的數(shù)據(jù)進(jìn)行不斷的迭代運(yùn)算，因此導(dǎo)致試驗(yàn)誤差的累積，形成累積誤差，對(duì)高階單步法誤差傳遞效應(yīng)的研究，參考文獻(xiàn)［5］中對(duì)算法誤差傳遞效應(yīng)的分析方法，引入下列變量:

dn:第n步精確數(shù)值計(jì)算位移;

den:第n步精確位移，包括之前步的位移誤差;

dan:第n步實(shí)際位移，包括當(dāng)前步與之前步的位移誤差;

edn:第n步產(chǎn)生的位移誤差。

它們之間存在如下的關(guān)系:

根據(jù)式(36)，對(duì)式(14)進(jìn)行重寫，則

令

得到算法的累積誤差

其中:

由于算法的累積誤差與其積分步數(shù)有關(guān)，因此需要以確定的積分步數(shù)對(duì)算法的誤差傳遞效應(yīng)進(jìn)行研究，參考文獻(xiàn)［9－11］，采用兩步累積誤差迭代的方法對(duì)誤差傳遞效應(yīng)進(jìn)行研究，并進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(39)，得到

其中:Dn表示對(duì)當(dāng)前第n+1步之前第n步誤差的誤差傳遞作用，Dn－1表示對(duì)當(dāng)前第n+1步之前第n－1步誤差的誤差傳遞作用，Dn－2表示對(duì)當(dāng)前第n+1步之前第n－2步誤差的誤差傳遞作用。

根據(jù)式(40)，當(dāng)前第n+1步的位移累積誤差為

為進(jìn)一步研究算法對(duì)位移時(shí)程的誤差傳遞效應(yīng)，研究當(dāng) n=2，β =0.52 時(shí)，Dn－2、Dn－1與 Dn對(duì)其各自積分步中位移誤差項(xiàng)的作用，在不同的剛度變化系數(shù)下，Dn－2、Dn－1與 Dn隨系統(tǒng)頻率的變化如圖 6 所示。通過對(duì)圖6中(a)、(b)和(c)的比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前積分時(shí)間步的累積誤差對(duì)過去時(shí)間步的誤差有明顯的抑制作用，但抑制作用的強(qiáng)弱有明顯的不同，Dn－2衰減最快，說明的誤差抑制作用顯著，Dn－1次之，Dn最差，說明過去的積分時(shí)間步距離當(dāng)前步的時(shí)間越久，其對(duì)應(yīng)的誤差傳遞效應(yīng)越弱，即當(dāng)前積分時(shí)間步的累積誤差效果主要取決于過去有限時(shí)間步的步數(shù)。同時(shí)，對(duì)比在不同剛度系數(shù)條件下算法的誤差傳遞效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在剛度軟化過程中，其對(duì)應(yīng)的誤差傳遞效應(yīng)比在剛度常量及硬化過程中的效應(yīng)更強(qiáng)，而在剛度硬化情況下，其對(duì)應(yīng)的誤差傳遞效應(yīng)較小。

前面已經(jīng)證明，在擬動(dòng)力試驗(yàn)過程中，我們可以通過調(diào)節(jié)β的取值，控制算法的數(shù)值阻尼，因此，通過改變?chǔ)轮悼梢詫?shí)現(xiàn)對(duì)試驗(yàn)過程誤差傳遞效應(yīng)的控制，圖7為考慮結(jié)構(gòu)剛度變化系數(shù)為0.8的情況下，取不同的β值對(duì) Dn－2、Dn－1和 Dn的影響，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在確定的結(jié)構(gòu)頻率點(diǎn)處，當(dāng)β(大于0.5)的取值過小時(shí)，系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)較為明顯，尤其是對(duì)Dn的影響較大，隨著β取值的逐漸增大，算法的誤差傳遞效應(yīng)逐漸變小，同時(shí)，對(duì)于確定的 β 值，Dn－2、Dn－1和 Dn對(duì)應(yīng)于不同結(jié)構(gòu)頻率表現(xiàn)出不同的誤差傳遞效應(yīng)，在系統(tǒng)頻率較高時(shí)，由之前的討論可知，系統(tǒng)的阻尼較大，因此，系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)明顯，Dn－2、Dn－1能夠較快地趨于零，Dn趨于某一較小的確定值(由β值決定)。上述結(jié)論是在剛度變化系數(shù)為0.8的情況下得到的，經(jīng)過大量的數(shù)值計(jì)算，可以證明這個(gè)結(jié)論同樣適用于剛度常量及硬化過程。

4 誤差傳遞效應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步說明高階單步法的誤差傳遞效應(yīng)對(duì)擬動(dòng)力試驗(yàn)過程的影響，對(duì)單步積分算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)仿真。數(shù)值實(shí)驗(yàn)采用的地震波為1940 EI Centro地震波，峰值加速度為2 g，為便于結(jié)果分析，取單自由度非線性系統(tǒng)，質(zhì)量為40 000 kg，剛度108kN/m，忽略系統(tǒng)的物理阻尼，同時(shí)考慮引入誤差對(duì)單步積分結(jié)果的影響，研究當(dāng)b取0.9、1.0及1.1時(shí)，結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程響應(yīng)和累積誤差隨系統(tǒng)剛度的變化情況。三種取值條件下系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)剛度變化系數(shù)分別為0.997 90、1.0和1.001 91，相應(yīng)的分析結(jié)果如圖8～10所示，其中(a)圖為位移時(shí)程曲線(理論曲線與實(shí)際曲線)，(b)圖為引入的隨機(jī)誤差，其幅值為0.12 mm，(c)圖為累積誤差曲線。對(duì)比圖8～10中的(a)圖即位移響應(yīng)時(shí)程曲線，發(fā)現(xiàn)三種(剛度軟化、剛度常量和剛度硬化)情況下，引入誤差后結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線(實(shí)際曲線)仍與理論曲線有較好的重疊，說明三種情況下對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)均有較強(qiáng)抗干擾能力，通過對(duì)三種情況下對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)累積誤差分析，可以進(jìn)一步得到上述的結(jié)論。同時(shí)，分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度變化系數(shù)取值(0.997 90)小于1發(fā)生剛度軟化情況時(shí)，對(duì)比其它兩種情況，在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度較小情況下，系統(tǒng)的累積誤差較大，并有逐漸變大的趨勢(shì)，說明系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)較強(qiáng)，而在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度常量及硬化過程中，系統(tǒng)的累積誤差均得到有效的控制，誤差被控制在一個(gè)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，并沒有隨積分步數(shù)的增多持續(xù)增大，誤差傳遞效應(yīng)較小。三種情況下對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相位角Ω=ωΔt的變化如表3所示，在結(jié)構(gòu)軟化過程中，相位角的變化范圍為1.0～0.418，逐漸變小，由之前討論的關(guān)于剛度軟化對(duì)系統(tǒng)數(shù)值阻尼及累積誤差的影響可知，Ω較小(系統(tǒng)頻率較小)時(shí)數(shù)值阻尼較小，誤差傳遞效應(yīng)較強(qiáng)，導(dǎo)致系統(tǒng)累積誤差逐漸增大;另一方面，系統(tǒng)頻率的變小使得系統(tǒng)相較于線性系統(tǒng)(圖9)振動(dòng)周期變長，有限時(shí)間里歷經(jīng)的循環(huán)次數(shù)變少(圖8)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度硬化過程中，系統(tǒng)相位角Ω的變化范圍為1.0～3.14，逐漸增大，數(shù)值阻尼增大，誤差傳遞效應(yīng)變?nèi)?同時(shí)，系統(tǒng)頻率的增大導(dǎo)致系統(tǒng)相較于線性系統(tǒng)(圖9)周期的縮短，因而在有限時(shí)間里系統(tǒng)歷經(jīng)的循環(huán)次數(shù)增多(圖10)，循環(huán)次數(shù)的增多將導(dǎo)致系統(tǒng)累積誤差的增大，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)硬化過程中，由于大阻尼的存在能夠很好的抑制系統(tǒng)誤差的累積，使系統(tǒng)的誤差累積效應(yīng)較小(圖10(c))。

圖6 β =0.52時(shí)不同剛度變化系數(shù)對(duì) Dn－2、Dn－1和 Dn的影響Fig.6 Dn－2，Dn－1 and Dn under different stiffness variation coefficients with β =0.52

圖 7 μ =0.8 時(shí) β 變化對(duì) Dn－2、Dn－1和 Dn的影響Fig.7 Dn－2，Dn－1 and Dn under differentβ with stiffness variation coefficientμ =0.8

圖8 剛度軟化時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)仿真Fig.8 Numerical simulation of pseudodynamic testing of consistent softening system

圖9 剛度常量時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)仿真Fig.9 Numerical simulation of pseudodynamic testing of linear elastic system

圖10 剛度硬化時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)仿真Fig.10 Numerical simulation of pseudodynamic testing of consistent hardening system

表3 i=0和600時(shí)對(duì)應(yīng)的Ω1值Tab.3 Values ofΩ1 for i=0 and 600

表4 i=0和600時(shí)對(duì)應(yīng)的ωi值Tab.4 Values ofωi for i=0 and 600

圖11 剛度軟化時(shí)β對(duì)系統(tǒng)累積誤差的影響Fig.11 Influence on the cumulative error under differentβs for the consistent softening system

在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度軟化過程中，系統(tǒng)的頻率從50 rad/s減小到20.9 rad/s(表4)，由圖5，圖7的理論分析結(jié)果可知，在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)頻率較小時(shí)，算法的數(shù)值阻尼較小，結(jié)果導(dǎo)致系統(tǒng)有較強(qiáng)的誤差累積效應(yīng)。為進(jìn)一步研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度軟化過程中β變化對(duì)系統(tǒng)累積誤差的作用，討論 β 取值分別為0.4，0.5，0.6 和0.7 情況下，系統(tǒng)的累積誤差，結(jié)果如圖11所示，在β取值0.4時(shí)，隨著系統(tǒng)剛度的減小，系統(tǒng)累積誤差有逐漸增大的趨勢(shì)，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，在β取值0.5情況下，由于算法數(shù)值阻尼的增大(圖5)，系統(tǒng)的累積誤差得到有效控制，進(jìn)一步增大β，系統(tǒng)的累積誤差進(jìn)一步減小，對(duì)比圖11中(b)、(c)、(d)發(fā)現(xiàn)隨著β取值的增大，系統(tǒng)的累積誤差有減小的趨勢(shì)，繼續(xù)增大β(大于0.6)，算法對(duì)系統(tǒng)累積誤差的影響已不明顯，系統(tǒng)的累積誤差趨于穩(wěn)定的變化范圍。

5 結(jié)論

本文對(duì)高階單步法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，討論了剛度變化系數(shù)μ和參數(shù)β對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其數(shù)值阻尼的影響，證明在系統(tǒng)軟化過程中β取值過小將導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，而通過適當(dāng)增大β值可以滿足系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)剛度軟化過程中的穩(wěn)定性;同時(shí)，在系統(tǒng)剛度軟化過程中系統(tǒng)的數(shù)值阻尼較小，這不利于系統(tǒng)對(duì)高階模態(tài)響應(yīng)的抑制作用，而通過增大β值能夠使系統(tǒng)即使在剛度軟化的過程中仍具有較好的阻尼特性。系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度變化系數(shù)μ和參數(shù)β的取值比較敏感，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度軟化過程中，系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)比較強(qiáng)烈，導(dǎo)致系統(tǒng)的累積誤差增大，通過適當(dāng)調(diào)節(jié)β的取值可以有效減少系統(tǒng)的累積誤差，削弱系統(tǒng)的誤差傳遞效應(yīng)。

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