關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人基于奇異攝動(dòng)法的軌跡跟蹤非奇異模糊Terminal滑?？刂萍叭嵝哉駝?dòng)抑制

梁 捷 ，陳 力

(1.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108;2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，綿陽 621000)

空間機(jī)器人因其在衛(wèi)星維修和回收、航天器維護(hù)和修理、空間站的構(gòu)建和裝配，以及代替宇航員執(zhí)行危險(xiǎn)任務(wù)中發(fā)揮的重要作用而受到人們的廣泛關(guān)注，有關(guān)空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制研究也受到各國(guó)研究人員的密切重視，并已取得了一定的成果［1-16］。隨著空間技術(shù)的發(fā)展對(duì)空間機(jī)器人的要求越來越高，柔性空間機(jī)器人因其反應(yīng)速度快、效率高、執(zhí)行機(jī)構(gòu)少、質(zhì)量輕、成本低等優(yōu)點(diǎn)而備受關(guān)注。但值得關(guān)注的是，大多數(shù)的研究?jī)H僅考慮了空間機(jī)器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中柔性臂的存在［1，9］，卻忽視了關(guān)節(jié)柔性的存在，即:機(jī)械臂與裝備在關(guān)節(jié)處的驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的電機(jī)之間不存在絕對(duì)剛性的連接，這使得機(jī)械臂的關(guān)節(jié)也呈現(xiàn)出柔性的特征。對(duì)空間機(jī)器人來說，關(guān)節(jié)柔性一方面可以緩沖空間機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生的意外碰撞，降低空間機(jī)器人的損傷。另一方面會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動(dòng)與驅(qū)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)的電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)角度之間存在著轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，從而影響到控制系統(tǒng)的精度;同時(shí)，關(guān)節(jié)的柔性特性還會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂在高精度和高速的運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生振動(dòng)。因此，若在漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和控制方法設(shè)計(jì)過程中忽略關(guān)節(jié)柔性的存在，其控制精度和穩(wěn)定性將受到很大影響。雖然目前已有科研人員對(duì)關(guān)節(jié)柔性系統(tǒng)進(jìn)行了研究［17］，但多數(shù)的研究是針對(duì)關(guān)節(jié)柔性的地面機(jī)器人的，而針對(duì)關(guān)節(jié)柔性空間機(jī)器人的研究還比較少。尤其對(duì)于關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)，其本體呈現(xiàn)自由漂浮的狀態(tài)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有強(qiáng)耦合性和非線性，這使得慣常應(yīng)用于關(guān)節(jié)柔性的地面機(jī)器人的一些較成熟的控制方法難以得到直接應(yīng)用于推廣。同時(shí)，受到負(fù)載變化、參數(shù)攝動(dòng)、燃料消耗等不確定因素的影響，漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型往往是不確定的。因此，對(duì)關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人的研究難度更大、挑戰(zhàn)性更高。

基于以上情況，本文針對(duì)具有關(guān)節(jié)柔性和不確定系統(tǒng)參數(shù)的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)，建立其動(dòng)力學(xué)模型，并利用奇異攝動(dòng)理論的雙時(shí)間刻度分解，將系統(tǒng)分解為相對(duì)獨(dú)立的表示系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)的慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)和表示系統(tǒng)柔性運(yùn)動(dòng)的快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)。分別針對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制方案來保證系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性。

1 關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)奇異攝動(dòng)模型

不失一般性，以做平面運(yùn)動(dòng)且本體位姿均不受控制的關(guān)節(jié)柔性漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)為例，幾何模型如圖1所示。該系統(tǒng)由自由漂浮的空間站本體W0，兩個(gè)彈性關(guān)節(jié)Oi(i=1，2)和兩個(gè)剛性機(jī)械臂W1、W2及剛性機(jī)械臂W2末端爪手抓持著的剛性載荷WP組成。

建立慣性坐標(biāo)系(OXY)及分體Wi(i=0，1，2)的連動(dòng)坐標(biāo)系(Oixiyi)，并假設(shè)系統(tǒng)沿(X，Y)平面作平面運(yùn)動(dòng);此外，圖中q0為空間站本體姿態(tài)的實(shí)際轉(zhuǎn)角，qai(i=1，2)各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)角，qi(i=1，2)為連桿Wi的實(shí)際轉(zhuǎn)角。

圖1 關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Free-floating space robot with flexible joints

文中所使用的符號(hào)約定如下:m0、I0、l0分別為本體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其質(zhì)心到第1個(gè)關(guān)節(jié)鉸中心的距離;mi、Ii、li分別為剛性機(jī)械臂 Wi(i=1，2)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其長(zhǎng)度;mP、IP分別為末端剛性載荷WP的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;由于載荷WP是由機(jī)械臂W2末端爪手抓持著，因此可將機(jī)械臂W2與載荷WP看成一聯(lián)合體，該聯(lián)合體的總質(zhì)量和總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m2P、I2P;Iai為柔性關(guān)節(jié)i(i=1，2)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、Ki(i=1，2)為各關(guān)節(jié)鉸的扭轉(zhuǎn)剛度;r0、r1分別為載體及連桿1質(zhì)心的位置矢量，r2為連桿2與末端負(fù)載聯(lián)合體質(zhì)心的位置矢量，rC、rP分別為系統(tǒng)總質(zhì)心及負(fù)載質(zhì)心的位置矢量。各分體Wi(i=0，1)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為vi，機(jī)械臂W2與載荷WP的聯(lián)合體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為vp=v2，關(guān)節(jié)Oi(i=1，2)處電機(jī)轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度為vai。

1.1 柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型

根據(jù)文獻(xiàn)［18］的假設(shè)，柔性關(guān)節(jié)可簡(jiǎn)化為圖2所示剛度系數(shù)為k的無慣量線性扭簧，這意味著電機(jī)轉(zhuǎn)子與機(jī)械臂之間的聯(lián)接為柔性，當(dāng)關(guān)節(jié)Oi處的電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度qai時(shí)，受其驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂Wi由于扭簧彈性力的作用，其轉(zhuǎn)動(dòng)角度為:qi=qai-ai，其中ai為柔性關(guān)節(jié)引起的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。電機(jī)轉(zhuǎn)子與機(jī)械臂之間彈性作用力的大小為ki(qai-qi)。此時(shí)，若仍然采用常規(guī)的方法(即將關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)和機(jī)械臂視為純剛性連接的整體)進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模擬和控制方案設(shè)計(jì)，必將不斷累積剛-柔性轉(zhuǎn)角誤差ai，從而影響系統(tǒng)的控制品質(zhì)?；谝陨嫌懻摚趯?duì)關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，必須分別討論空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)和電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)。

圖2 柔性關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simple model of flexible-joint

1.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的建立

由系統(tǒng)總質(zhì)心定義及位置幾何關(guān)系，可導(dǎo)出

其中:Lij(i=0，1，2;j=0，1，2)均為系統(tǒng)慣性參數(shù)的組合函數(shù)，ej為xj軸的基矢量。

由于考慮了關(guān)節(jié)柔性的存在，因此，系統(tǒng)的總動(dòng)能T應(yīng)該由空間機(jī)器人的動(dòng)能Tr和電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)能Ta之和組成。而由于電機(jī)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量可忽略不計(jì)［18］，故電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)能主要為其自轉(zhuǎn)動(dòng)能。于是系統(tǒng)的總動(dòng)能可表示為:

在宇宙環(huán)境中，忽略微弱的重力作用，系統(tǒng)的總勢(shì)能僅為柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化扭簧的彈性變形勢(shì)能，即:

其中:常數(shù)ki(i=1，2)為線性彈簧的等效扭轉(zhuǎn)剛度。

由于本體位置、姿態(tài)均不受控的關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)為無外力作用的自由漂浮無根多體系統(tǒng)，系統(tǒng)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系(OXY)滿足動(dòng)量、動(dòng)量矩守恒關(guān)系。不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)的初始動(dòng)量、動(dòng)量矩為零，即=0，于是系統(tǒng)的動(dòng)量、動(dòng)量矩守恒關(guān)系可表示為:

利用式(1)～(5)及拉格朗日法，可解得載體位置、姿態(tài)均不受控的關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)完全驅(qū)動(dòng)形式的動(dòng)力學(xué)方程:

M(q0，q)q··+h(q0，q，q·，q·a)－K(q－qa)=0(7)其中:式(6)為電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程，式(7)為空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程;Ia=diag(Ia1，Ia2)為驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的對(duì)角正定慣量矩陣;q=［q1q2］為空間機(jī)器人的轉(zhuǎn)角矩陣;qa=［qa1qa2］為驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角矩陣;M(q0，q)∈?2×2為空間機(jī)器人的正定、對(duì)稱慣性矩陣;h(q0，q)包含科氏力、離心力的2階列向量;K=diag［k1k2］為對(duì)角形式的系統(tǒng)剛度矩陣，ki(i=1，2)為各關(guān)節(jié)的線性扭轉(zhuǎn)剛度;τ= [τ1τ2]為由于關(guān)節(jié)柔性所產(chǎn)生的連桿驅(qū)動(dòng)力矩列向量。

1.3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的奇異攝動(dòng)模型

由于關(guān)節(jié)柔性的存在會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度和并引起系統(tǒng)彈性振動(dòng)，同時(shí)還會(huì)給系統(tǒng)帶來剛-柔性轉(zhuǎn)角誤差。因此，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)期望運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤和關(guān)節(jié)柔性振動(dòng)的主動(dòng)抑制，本文基于奇異攝動(dòng)法，將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(6)和式(7)近似地分解為相互獨(dú)立的表示系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)部分的慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)和表示系統(tǒng)柔性運(yùn)動(dòng)部分的快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)，并分別為子系統(tǒng)設(shè)計(jì)合適的控制算法。其中，慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律τs用來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)期望運(yùn)動(dòng)軌跡的漸近跟蹤;快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律τf用來抑制柔性關(guān)節(jié)引起的系統(tǒng)柔性振動(dòng)，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。于是系統(tǒng)總控制律表示為:

假設(shè)存在很小的正比例因子ε和正定對(duì)角陣K1=ε2K。并定義q為慢變量，彈性力z=K(q-qa)為快變量。則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(6)和式(7)可重新寫為

設(shè)計(jì)快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)基于速度差值的反饋控制律:

其中:Kf=K2/ε，K2為正定對(duì)角陣。從上式可看出，通過反饋回的速度差值來不斷調(diào)節(jié)Kf來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。

將式(8)和式(11)代入式(9)，可得快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

由K=K1/ε2可知:當(dāng)ε→0時(shí)，K→∞，電機(jī)轉(zhuǎn)子和剛性桿之間的聯(lián)接可近似等效為剛性，即qa=q、z=0。于是，由式(6)和式(7)可解得慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

其中:hs(q0，q，q·)為令h(q0，q，q·，q·a)中q·a=q·后所得到的簡(jiǎn)化列向量。

為了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的需要，將方程式(13)作準(zhǔn)線性化處理［19］，寫作:

這種準(zhǔn)線性化處理只是式子表現(xiàn)形式發(fā)生了變化，沒有產(chǎn)生任何模型精度損失。綜上所述，式(12)和式(14)描述的即為關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)數(shù)學(xué)模型。下面將基于式(14)所描述的慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)計(jì)慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律 τs。

2 慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

由于本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，空間機(jī)器人系統(tǒng)的某些慣性參數(shù)(如燃料消耗會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)質(zhì)量變化、機(jī)械臂的長(zhǎng)度、負(fù)載的質(zhì)量等)是難以精確確定或未知的，同時(shí)被捕獲的敵方各類衛(wèi)星系統(tǒng)的慣性參數(shù)通常也是未知的，因此方程式(14)中M(q0，q)、Cs(q0，q，q·)q·可表示為:

其中，M0(q0，q)、Cs0(q0，q，分別為M(q0，q)、Cs(q0，q在標(biāo)稱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)下的估計(jì)，ΔM(q0，q)和ΔCs(q0，q，為系統(tǒng)參數(shù)不精確估計(jì)所引起的建模誤差。因此，基于以上討論，建立了適用于關(guān)節(jié)柔性的空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

其中:τs為針對(duì)該數(shù)學(xué)模型的控制器，將在下一節(jié)中進(jìn)行設(shè)計(jì)。

近年來，Terminal滑?？刂破饔捎谙鄬?duì)于傳統(tǒng)線性滑模控制器具有更高的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度以及能在有限時(shí)間內(nèi)收斂等優(yōu)點(diǎn)而研究引起了人們的重視［20］。但現(xiàn)有的Terminal滑?？刂浦写嬖谄娈悈^(qū)域的缺點(diǎn)［21］。針對(duì)以上Terminal滑模控制存在的不足，本節(jié)利用適用于關(guān)節(jié)柔性的空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型式(17)，提出了一種非奇異模糊Terminal滑?？刂品桨福瑏慝@得關(guān)節(jié)柔性的空間機(jī)器人系統(tǒng)慣性參數(shù)存在未知的情況下，上述控制系統(tǒng)對(duì)期望軌跡漸近穩(wěn)定的跟蹤控制效果。

2.1 非奇異Terminal滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

令qd=［qd1qd2］T為慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)期望輸出向量，則其與實(shí)際輸出向量q=［q1q2］T之間的誤差向量為:e=q-qd，速度誤差向量為

為了解決普通Terminal滑?？刂频钠娈悊栴}，提出了非奇異Terminal滑?？刂?，非奇異滑模面為:

其中:滑模面常數(shù) λ =diag［λ1，λ2］;p、q 為奇數(shù)，且1＜p/q＜2。

非奇異Terminal滑?？刂破髟O(shè)計(jì)為:

其中:?＞0是正常數(shù)。需要指出的是，雖然上述控制器能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定并使跟蹤誤差在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零，但其設(shè)計(jì)存在的明顯不足是:該控制器要求建模誤差ΔM(q0，q)和ΔCs(q0，q，q·)q·的上界E是已知的，而這在實(shí)際的慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制中很難做到，所以出于充分補(bǔ)償建模誤差的需要，設(shè)計(jì)時(shí)一般選擇的E值都較大，這樣又加劇了非奇異Terminal滑?？刂破鞯亩墩?。因此，文中針對(duì)上述控制器設(shè)計(jì)的缺陷，附加設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊自適應(yīng)控制器，該控制器能夠根據(jù)滑模面s和s·自動(dòng)調(diào)整E值補(bǔ)償系統(tǒng)的建模誤差，從而大大減小了控制器的抖振，并保證了系統(tǒng)穩(wěn)定?？刂破髟O(shè)計(jì)如下。

2.2 基于非奇異Terminal滑模面的模糊自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

對(duì)于一個(gè)模糊推理系統(tǒng)(該系統(tǒng)具有p個(gè)輸入、1個(gè)輸出、n條If-then模糊規(guī)則)，若采用模糊單值產(chǎn)生器，乘積推理規(guī)則，加權(quán)平均去模糊化方法，則模糊邏輯系統(tǒng)的輸出為:

其中:n為模糊系統(tǒng)第i條模糊規(guī)則有關(guān)的輸入向量個(gè)數(shù)，且有1≤n≤p;模糊系統(tǒng)第i條模糊規(guī)則中第l個(gè)輸入的隸屬度函數(shù)為μAli(xi)，且有 1≤l≤n;Φ =［Φ1，Φ2，…，ΦM］T為模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)矢量;ξ(x)=［ξ1(x)，ξ2(x)，…，ξM(x)］T為模糊基函數(shù)矢量，ξi=

文獻(xiàn)［22］用Stone-Weierstrass定理證明了模糊邏輯系統(tǒng)f(x)能夠以任意精度逼近緊致集上的任意連續(xù)實(shí)函數(shù)h(x)，并提出了模糊基函數(shù)(FBF)的概念。因此，可用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)關(guān)節(jié)柔性的空間機(jī)器人慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)建模誤差進(jìn)行辨識(shí)。文中模糊自適應(yīng)控制就是設(shè)計(jì)如式(21)所示的模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)律Φ·，使得模糊系統(tǒng)隨著被控對(duì)象的變化而變化。

設(shè)慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)系統(tǒng)關(guān)節(jié)i(i=0，1，2)的建模誤差ρi(t)存在上界，即‖ρi(t)‖≤Ei，則定義自適應(yīng)模糊控制器的最優(yōu)逼近參數(shù)是:

定義最小逼近誤差:

則由式(23)，模糊自適應(yīng)控制器的最優(yōu)輸出可表示為:

因此，模糊自適應(yīng)控制器的最優(yōu)參數(shù)與實(shí)時(shí)參數(shù)的誤差可表示為:

其中:ri為自適應(yīng)系數(shù)。

定理 針對(duì)式(17)描述的關(guān)節(jié)柔性的空間機(jī)器人慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)，采用式(19)的非奇異Terminal滑模面及式(26)的參數(shù)Φ～i的自適應(yīng)調(diào)節(jié)律，控制輸入規(guī)律:

可保證系統(tǒng)的跟蹤誤差e、e·一致最終有界。其中:

其中:fi(si)為關(guān)節(jié)i(i=0，1，2)的模糊自適應(yīng)控制器輸出。

證明 選擇如下正定函數(shù)V作為準(zhǔn)Lyapunov函數(shù)

將正定函數(shù)V對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到:

將式(21)和式(24)代入上式，有:i(i=0，1，2)的模糊自適應(yīng)控制器輸出fi(si)與逼近函數(shù)的誤差wi可以任意小，因此可忽略，得到:

因此，所設(shè)計(jì)的基于非奇異Terminal滑模面的模糊自適應(yīng)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 仿真算例與分析

針對(duì)圖1所示的關(guān)節(jié)柔性的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)，利用本文所提的控制方案式(11)、式(27)及式(26)給出的自適應(yīng)調(diào)節(jié)規(guī)律進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)機(jī)械臂Bi(i=1，2)沿xi軸的長(zhǎng)度為3 m，關(guān)節(jié)O1與空間站本體質(zhì)心O0的距離為1.5 m，機(jī)械臂B1的質(zhì)心與關(guān)節(jié)O1的距離為2 m。機(jī)械臂B2和末端載荷WP的聯(lián)合體質(zhì)心與關(guān)節(jié)O2的距離為1.5 m。各分體質(zhì)量和慣量矩分別為:m0=40 kg，m1=2 kg，m2=1 kg;I0=34.17 kg·m2，I1=1.5 kg·m2，I2=0.75 kg·m2;目標(biāo)物體的質(zhì)量為mP=2 kg，中心慣量張量為IP=1 kg·m2。第一個(gè)柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其關(guān)節(jié)剛度分別為 I1m=0.09 kg·m2和 k1=200.0 N·m/rad;第二個(gè)柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度分別為 I2m=0.04 kg·m2和 k2=100.0 N·m/rad;仿真時(shí)，假定機(jī)械臂末端載荷WP的質(zhì)量及中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩為不確定系統(tǒng)慣性參數(shù)，其不確定范圍為3.0 kg≥mP≥0.0 kg，5.0 kg·m2≥IP≥0.0 kg·m2。并假設(shè)空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角的期望軌跡為:

同時(shí)，控制系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)選取如下:λ=diag［65，65］，q=3，p=5，r0=r1=r2=0.1，K2=diag［0.35，0.35］，ε =0.01，Kf=diag［35.0，35.0］。

將電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人的期望轉(zhuǎn)角之間的差值表示為:ea=qa-qd。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初始值為:q0=0.05，q= [0 .2 2.2 ]，qa= [0 .2 2.2]，單 位 均 為(rad)。仿真時(shí)間:t=15 s。

仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。其中圖3為空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角的期望運(yùn)動(dòng)軌跡(實(shí)線)與實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡(虛線)的對(duì)比圖;圖4為空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)的跟蹤誤差圖;圖5為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人期望轉(zhuǎn)角的差值的跟蹤軌跡圖;圖6為關(guān)閉模糊自適應(yīng)控制器u1情況下空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)的軌跡圖;圖7為關(guān)閉快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律τf情況下，電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人期望轉(zhuǎn)角的差值的跟蹤軌跡圖。

由文獻(xiàn)［22］中的Stone-Weierstrass定理可知，關(guān)節(jié)

圖3 空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 The motion trajectories of space robot

圖4 空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)的跟蹤誤差eFig.4 The tracking error e

圖5 電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人期望轉(zhuǎn)角的差值eaFig.5 The difference ea

圖6 關(guān)閉模糊自適應(yīng)控制器u1情況下空間機(jī)器人轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 The motion trajectories of space robot when the fuzzy adaptive controller is closed

圖7 關(guān)閉快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律τf情況下電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人期望轉(zhuǎn)角的差值e aFig.6 The motion trajectories of space robot when τf is closed

由圖3～圖5可以看出，在本文設(shè)計(jì)的控制方案控制下，電機(jī)轉(zhuǎn)子和空間機(jī)器人的轉(zhuǎn)角實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡都能夠精確且穩(wěn)定地跟蹤上同一期望運(yùn)動(dòng)軌跡。這說明本文提出的控制方案能夠消除因關(guān)節(jié)的柔性而引起的系統(tǒng)“剛-柔轉(zhuǎn)角誤差”，補(bǔ)償系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。圖6可看出，關(guān)閉模糊自適應(yīng)控制器u1情況下，控制系統(tǒng)精度變差且運(yùn)動(dòng)過程中存在抖振，這個(gè)抖振正是由非奇異Terminal滑?？刂谱陨碓斐傻?，從而證明了模糊自適應(yīng)控制器u1可有效補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性。從圖7可看出，關(guān)閉快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)控制律τf情況下(即未對(duì)由關(guān)節(jié)的柔性引起的系統(tǒng)彈性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制)，電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與空間機(jī)器人期望轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角的差值ea在2s左右就已經(jīng)變得很大，控制失效，因此關(guān)節(jié)的柔性對(duì)空間機(jī)器人的影響是非常大的，也說明了本文提出的快時(shí)標(biāo)控制器對(duì)彈性振動(dòng)采取的主動(dòng)抑制是非常必要和有效的。

4 結(jié)論

本文討論了考慮關(guān)節(jié)柔性、參數(shù)不確定的漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模過程，并基于奇異攝動(dòng)法建立了系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)模型，提出了慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的控制方法和快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的速度差值反饋控制方法組成的混合控制方法。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的控制方法能夠抑制關(guān)節(jié)柔性引起的系統(tǒng)彈性振動(dòng)，保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性;同時(shí)還能夠有效消除關(guān)節(jié)柔性帶來的系統(tǒng)“系統(tǒng)剛-柔性轉(zhuǎn)角誤差”，補(bǔ)償系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，實(shí)現(xiàn)漂浮基空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的漸近跟蹤。由于在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)過程中充分利用了帶柔性鉸空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性，與文獻(xiàn)［11-14］的控制方法相比，提出的方法在控制過程中不需要反饋、測(cè)量漂浮基的位置、移動(dòng)速度、移動(dòng)加速度以及載體姿態(tài)轉(zhuǎn)角的角速度、角加速度，從而使得提到的控制方案更切合于實(shí)時(shí)、在線應(yīng)用。

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