8 順層滑動極限分析上限法

8 順層滑動極限分析上限法

8.1 簡單平面巖質(zhì)邊坡極限分析上限法

8.1.1 簡單平面滑動極限分析屈服機構(gòu)

巖石邊坡在自然界普遍存在，其典型邊坡剖面如圖8-1所示。為了從極限分析理論框架體系推導巖石邊坡穩(wěn)定系數(shù)的極限分析上限解，這里對經(jīng)典的求解方法——剛體極限平衡法，進行了簡單的介紹。前人從剛體極限平衡理論框架體系出發(fā)，比較系統(tǒng)地推導了巖石邊坡平面破壞的穩(wěn)定系數(shù)，其基本假定如下:

（1） 滑動面的走向必須與坡面平行或接近平行；

（2）滑動面必須在邊坡面出露，即滑動面的傾角必須小于坡面傾角；

（3） 巖體中必須存在對干滑動阻力很小的分離面，以定出滑動的側(cè)面邊界；

（4）張裂縫垂直，其走向平行于坡面和滑面；

（5）水沿張裂縫滲入滑動面，張裂縫底與坡趾間的長度內(nèi)水壓力按線性變化至零（三角形分布），如圖8-1所示。

圖8-1 巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析計算模型

考慮后緣裂縫靜水壓力、沿滑面揚壓力、水平地震慣性力、預應力錨索（桿）錨固力，根據(jù)剛體極限平衡法進行計算，可得到潛在滑動面上的穩(wěn)定系數(shù)（總抗滑力和總滑動力之比）表達式為

式中：K為巖石邊坡的穩(wěn)定系數(shù)；W為滑體重量（kN·m-1）；a為水平地震影響系數(shù)(無量綱)；PW為后緣裂縫靜水壓力(kN·m-1)；U為沿滑面揚壓力(kN·m-1)；Rmi為第i道預應力錨索（桿）每延米錨固力(kN·m-1)；α為滑面傾角（°）；c為滑面黏聚力（kPa）；φ為滑面內(nèi)摩擦角（°）；L為滑面長度（m）。

極限分析上限定理指出，如有一種機動許可的速度場存在，則與其對應的外荷載的最小值就是極限荷載的上限，此時，該外荷載所做的功等于屈服機構(gòu)（塑性變形機構(gòu)）中耗散的能。對于巖質(zhì)邊坡，上限定理可表達為：在剛塑性假定條件下，如能找到一種機動許可的速度場，使得外荷載所做的功率等于內(nèi)能耗散率，從而使巖石邊坡產(chǎn)生沿滑面的破壞（極限狀態(tài)），則相應的穩(wěn)定系數(shù)為上限解。

為求取巖石邊坡穩(wěn)定系數(shù)上限解，需要建立一個合適的屈服機構(gòu)來獲得滿足上限定理的機動許可速度場。對于巖石邊坡平面滑動問題，應用極限分析上限法原理，可以提出如圖8-2所示的屈服機構(gòu)(王根龍,等，2011)。

極限分析上限法指出，當滑動體滑動時，外力所做的功率等于內(nèi)力（滑面上的阻力）所消耗的功率。于是，可由滑體處于極限狀態(tài)時兩功率相等的條件，得到簡單平面滑動屈服機構(gòu)的簡化虛功率方程。

式中：左側(cè)為滑面上阻力產(chǎn)生的內(nèi)部耗散能，右側(cè)為外力所做的功率；Γ為巖石邊坡滑面；D為作用在滑面的內(nèi)能耗散；T*為極限狀態(tài)外荷載；v為滑面處的土體應變速度。

8.1.2 簡單平面滑動極限分析上限解

圖8-2 巖石邊坡平面滑動屈服破壞機構(gòu)——速度場

如圖8-2所示，作用在巖石邊坡上的外力包括后緣裂縫靜水壓力、沿滑面揚壓力、重力、地震慣性力、預應力錨索（桿）錨固力，計算公式分別為

（1）后緣裂縫靜水壓力PW

（2） 沿滑面揚壓力U

（3）水平地震慣性力E：

式中：a為水平地震影響系數(shù)，大小為水平地震動峰值加速度與重力加速度g的比值（無量綱），對地震烈度為Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度地區(qū)，水平地震影響系數(shù)a應分別取0.1，0.2和0.4；W為滑體重量(kN/m)。

④ 預應力錨索（桿）錨固力Rm：

式中：Rmi為第i道預應力錨索（桿）在每延米范圍內(nèi)提供的錨固力（kN·m-1）；Rmi1為第i道預應力錨索（桿）在每延米范圍內(nèi)抗拔承載力（kN·m-1）；Rmi2為第i道預應力錨索（桿）在每延米范圍內(nèi)由鋼筋提供的抗拉承載力（kN·m-1）；Rmi3為第i道預應力錨索（桿）在每延米范圍內(nèi)由鋼筋與砂漿提供的抗拔承載力（kN·m-1）；ξ1為錨固體與地層粘結(jié)工作條件系數(shù)，永久性錨索（桿）取1.00， 臨時性錨索（桿）取1.33；ξ2為錨索（桿）抗拉工作條件系數(shù)，永久性錨索（桿）取0.69，臨時性錨索（桿）取0.92；ξ3為鋼筋與砂漿粘結(jié)強度工作條件系數(shù)，永久性錨索（桿）取0.60，臨時性錨索（桿）取0.72；fvi為第i道錨索（桿）中鋼筋抗拉強度設計值（N·mm-2）；fbi為第i道錨索（桿）中鋼筋與錨固砂漿粘結(jié)強度設計值（N·mm-2）；γ0為邊坡工程重要性系數(shù)；γs為荷載分項系數(shù)；Di為第i道錨索（桿）錨固段直徑（mm）；di為第i道錨索（桿）中鋼筋的直徑（mm）；Lia為第i道錨索（桿）有效錨固段長度（m）；ni為第i道錨索（桿）中鋼筋的根數(shù)；Σqsik為第i道錨索（桿）和巖石摩阻比（kPa）；Six為第i道錨索（桿）水平間距（m）。

為了求得滑體上外荷載所做的功率，同時便于進行公式推導，這里將滑體自重荷載W、沿滑面揚壓力U、后緣張裂縫靜水壓力PW、水平地震慣性力E、預應力錨索（桿）錨固力Rm共五個外力，分解后合成為水平力分量Fx和鉛直力分量Fy，其計算公式分別為

這些外力在應變速度場v上所做的總功率計算公式為

滑面上的力有剪切力和法向力，其中剪切力包括兩部分，一部分為黏聚力C，它是已知的，其值為cL；另一部分是摩擦力，其值為Ntanφ，它和法向力N一起，構(gòu)成一個與滑面法線方向夾角為φ的合力P（圖8-2）——“組合摩擦力”。這個組合摩擦力的大小通常是未知的，但它的方向是已知的，即與法線方向夾角為φ。如前所述，塑性速度v與滑面夾角為φ，這樣“組合摩擦力”P與塑性速度v正交，所以P在v上所做的功為零。

通過分析可知，在計算滑面上阻力產(chǎn)生的內(nèi)部耗散能時，只有黏聚力C在應變速度場v上做功，其計算公式為：

對于巖石邊坡，按照極限分析的上限定理構(gòu)建虛功率方程（8-2）時，應該滿足極限破壞狀態(tài)的前提條件。要使巖石邊坡沿滑面過渡到極限破壞狀態(tài)可以有三種方案：① 在邊坡表面施加外荷載T，逐漸增加該荷載直到邊坡產(chǎn)生破壞；② 在坡體上施加一個假想的水平體積力KhW，類似于水平地震力，逐漸增大該力直到邊坡產(chǎn)生破壞；③ 強度折減法，即對邊坡滑面的強度參數(shù)c和tanφ同時除一個折減系數(shù)K，目的使邊坡達到極限破壞狀態(tài)。文中采用第三種方案，經(jīng)過折減后的滑面參數(shù)c'和tanφ'表達式為：

按照極限分析上限法，依照強度折減法原則，將巖石邊坡外力所做的功率公式（8-9）和滑面上阻力所消耗的功率公式（8-10），代入虛功率方程（8-2）式中，消除等號兩邊的應變速度v項，整理后得到巖石邊坡的穩(wěn)定系數(shù)計算公式為

式中：φ' = Αrctan(tanφ/K)，由于上式等號右端出現(xiàn)了K，因此式（8-12）是穩(wěn)定系數(shù)的隱式方程，需要通過迭代的算法求解。在計算時，先假設一個初始的穩(wěn)定系數(shù)K，應用迭代計算直至前后兩次穩(wěn)定系數(shù)K值滿足所要求的計算精度為止。一般來說對于滿足條件的情況，迭代都是收斂的。

在巖石邊坡加固工程中，當給定設計穩(wěn)定系數(shù)K后，可以通過式（8-12）反算錨索（桿）預應力錨固力，其計算公式為

式中：

8.1.3 工程應用

1）引渠內(nèi)側(cè)邊坡工程地質(zhì)條件

錦屏一級水電站壩址位于四川省木里縣和鹽源縣境內(nèi)錦屏山區(qū)雅礱江大河灣洼里下游18km處普斯羅溝與手爬溝之間1.5km長的河段上，電站壩體為混凝土雙曲壩，高305m，是目前世界上在建的最高混凝土拱壩。壩頂高程1 885m，蓄水位為1 880m。錦屏一級水電站是雅礱江水電站規(guī)劃中的龍頭水庫梯級之一，裝機容量3 600MW，經(jīng)濟效益十分顯著。壩址地段屬青藏高原向四川盆地過渡斜坡地帶，由海拔5000～4000m降至2000m。地貌上多屬侵蝕山地，地形上表現(xiàn)為典型的深切“V”字形峽谷。

錦屏一級水電站右岸泄洪洞引渠內(nèi)側(cè)巖質(zhì)邊坡（以下簡稱為引渠內(nèi)側(cè)邊坡）位于普斯羅溝溝口上游側(cè)。該邊坡走向N62°E，傾向N28°W。邊坡工程開挖高程集中在1 777 ～1 925m，共形成六級臺階，并在1 777m高程形成一個平臺，屬于典型的多級臺階狀巖質(zhì)高邊坡。

引渠內(nèi)側(cè)邊坡巖體中主要發(fā)育三組節(jié)理裂隙：

（2）第二組為NE向節(jié)理裂隙，產(chǎn)狀N45～60°E/SE∠70～75°，一般長3～10m，個別大于10m，間距一般3～5m；

（3）第三組為NW向節(jié)理裂隙，產(chǎn)狀N30～40W ° /NE∠70～80°，該組裂隙多以溶蝕裂隙形式出現(xiàn)，長度一般3～5m，個別5～10m，成帶出現(xiàn)，帶間間距5～10m，帶內(nèi)間距0.3～0.5m，充填碎塊、次生黃泥，裂隙壁見溶蝕小坑孔。

2）引渠內(nèi)側(cè)邊坡變形破壞模式

控制引渠內(nèi)側(cè)邊坡變形破壞模式的結(jié)構(gòu)面主要為fyj6斷層、g8SZ-1，gyj7和gyj2層間擠壓錯動帶。這四條結(jié)構(gòu)面規(guī)模為Ⅲ級。值得注意的是，斷層fyj6產(chǎn)狀與第二組節(jié)理裂隙產(chǎn)狀一致，層間擠壓錯動帶g8SZ-1，gyj7和gyj2產(chǎn)狀與第一組層面裂隙產(chǎn)狀一致。

（1）fyj6斷層

產(chǎn)狀 N40～50°E/SE∠70～75°，根據(jù)層面裂隙發(fā)生的一系列牽引現(xiàn)象，分析認為fyj6為正斷層。該斷層出露于普斯羅溝溝口上游壁（圖8-3），主要由碎裂巖、糜棱巖、重結(jié)晶的方解石脈組成，夾少量黃褐色泥，局部斷層帶物質(zhì)后期被地下水帶走，形成2～3cm裂隙。上、下盤主斷面明顯，有強銹，見擦痕。斷層上盤影響帶寬約5m，呈碎裂巖體，同向裂隙密集發(fā)育，間距10～30cm，裂面重度銹染，巖體強風化（見圖8-4）。fyj6斷層構(gòu)成了邊坡后緣拉裂縫。

圖8-3 引渠內(nèi)側(cè)邊坡后緣fyj6斷層（鏡向SW）

圖8-4 fyj6斷層破碎帶（鏡向SW）

（2）g8SZ-1層間擠壓錯動帶

產(chǎn)狀N40～60°E/NW∠30～50°，破碎帶厚約5～20cm，主要由黃色、黑色糜棱巖、碎裂巖組成，局部見綠片巖強風化形成的黃泥，綠片巖、糜棱巖遇水易軟化泥化，性狀差，根據(jù)產(chǎn)狀推測g8SZ-1可能在引渠內(nèi)側(cè)開挖邊坡坡腳（約1 780m高程）附近出露，構(gòu)成控制引渠內(nèi)側(cè)邊坡順層滑動的第一個底滑面。

（3）gyj7層間擠壓錯動帶

產(chǎn)狀N55～60°E/NW∠30～35°，由6條組成，間距1.5～2m，單條寬一般0.5～2cm，主要由強風化綠片巖組成，在上下盤面可見少量糜棱巖，遇水軟化泥化。該組擠壓帶在工程邊坡的1 800～1 815m高程附近出露，構(gòu)成了控制引渠內(nèi)側(cè)邊坡順層滑動的第二個底滑面。

（4）gyj2層間擠壓錯動帶

產(chǎn)狀同gyj7層間擠壓錯動帶，主要由綠片巖、糜棱巖組成，厚度較大，局部達50cm，帶內(nèi)綠片巖已強風化，遇水軟化泥化。地表觀測可見監(jiān)測交通洞洞口下方有一個順層發(fā)育的大光面，推測為gyj2層間擠壓錯動帶上部巖體沿該擠壓帶滑塌后形成，因此總體看來gyj2延伸較長，性狀變化較大。該層間擠壓錯動帶在工程邊坡的1 890～1 900m高程出露，構(gòu)成了控制引渠內(nèi)側(cè)邊坡順層滑動的第三個底滑面。

綜合分析認為，引渠內(nèi)側(cè)邊坡巖體結(jié)構(gòu)為層狀結(jié)構(gòu)，根據(jù)邊坡與巖層產(chǎn)狀關系，該邊坡為順層邊坡，其變形破壞模式為典型順層滑動（見圖8-5）。邊界條件為：① fyj6斷層構(gòu)成了邊坡后緣拉裂縫；② g8SZ-1，gyj7和gyj2層間擠壓錯動帶構(gòu)成控制引渠內(nèi)側(cè)邊坡順層滑動的三個底部滑裂面。

圖8-5 引渠內(nèi)側(cè)邊坡工程地質(zhì)剖面

3）極限分析上限法分析計算

錦屏一級水電站右岸泄洪洞引渠內(nèi)側(cè)邊坡為典型順層滑動變形破壞模式。從計算剖面（見圖8-5）分析可知，可能的滑面組合有三種。考慮到結(jié)構(gòu)面的連通率、起伏差、帶內(nèi)物質(zhì)成分變化等因素，結(jié)構(gòu)面力學參數(shù)取值見表8-1。

分析計算過程中考慮不同的工況條件，在考慮暴雨工況時，計算后緣張裂縫靜水壓力，按照后緣拉裂面充水1/3計算；在考慮地震作用力時，水平地震影響系數(shù)參照壩區(qū)基本地震烈度（Ⅶ度），取值為0.1；當考慮預應力錨索加固工況時，每延米錨固力的選擇因加固范圍不同而異，滑面組合1的錨固力取15000kN·m-1，滑面組合2的錨固力取10000kN·m-1，滑面組合3的錨固力取1000kN·m-1。

采用剛體極限平衡法和極限分析上限法，對引渠內(nèi)側(cè)邊坡進行了穩(wěn)定性計算。通過編寫計算機程序進行分析計算，考慮不同的組合滑面和工況，結(jié)果顯示（表8-2），剛體極限平衡法與文中提出的極限分析上限法計算結(jié)果最大絕對誤差均小于0.035。

表8-1 結(jié)構(gòu)面力學參數(shù)

表8-2 施工期邊坡穩(wěn)定性計算結(jié)果

* 絕對誤差是指剛體極限平衡法計算得到的穩(wěn)定系數(shù)與極限分析上限法計算得到的穩(wěn)定系數(shù)的差值。

8.2 順層巖質(zhì)邊坡極限分析上限法

順層巖質(zhì)邊坡是工程實踐中經(jīng)常遇到也是較容易產(chǎn)生破壞的一類邊坡。順層邊坡是指巖層走向、傾向與邊坡走向、傾向一致或接近的邊坡，其破壞主要表現(xiàn)為剪切滑動和潰曲。

順層邊坡的剪切滑動破壞發(fā)生較多，如京珠高速公路韶關段K98工點路塹為順層邊坡，1999年11月12邊坡開挖，發(fā)生沿軟弱層面滑動的順層滑坡，影響工期15天（葉志華，等，2006）重慶萬州吉安于2004年9月5日發(fā)生順層滑坡，滑坡面積0.7km2，體積約7.6×106m3，滑坡摧毀了當?shù)匾粋€重要的集鎮(zhèn)、公路和在建的高速公路（李守定，等，2005）。剪切滑動的順層巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析通常采用剛體極限平衡法和數(shù)值模擬方法（如有限元、離散元等）（龔文慧，等，2006；李亮輝，等，2004；馮君，等，2005），而從極限分析上限法原理求解順層巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)則是一項新的研究課題，也是本章節(jié)的研究重點。

圖8-6所示，為順層巖質(zhì)邊坡剪切滑移的兩種主要模式。其中，圖8-6（a）為厚層硬巖沿薄層軟巖剪切滑移模式，圖8-6（b）為厚層硬巖沿層面剪切滑移模式。對于此類順層巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性分析評價，通常采用剛體極限平衡法，但以下的幾個問題應該引起注意：

（1）順層巖質(zhì)邊坡的剪切滑移可以形成多個可能的滑動面，這些滑動面將滑體分為多個層狀巖體；

（2）順層巖質(zhì)邊坡各滑體的運動速度可以不同，各滑體的剪切滑移存在相互錯動現(xiàn)象；

（3）厚層硬巖可以被視為剛體，但薄層軟巖和層面并非是剛體，而應該為塑性體。

盡管剛體極限平衡法以其公式簡單、計算方便而被許多工程所應用，但以上的三點剛體極限平衡法均不能得到合理的考慮。據(jù)此分析，剛體極限平衡法用來評價順層巖質(zhì)邊坡的剪切滑動問題存在一定缺陷。

圖8-6 順層巖質(zhì)邊坡地質(zhì)模型

極限分析上限法指出，當滑動體滑動時，外力所做的功率等于內(nèi)力（滑面上的阻力）所消耗的功率。于是，可由滑體處于極限狀態(tài)時兩功率相等的條件，得到順層巖質(zhì)邊坡剪切滑動的虛功率方程。

式中：左側(cè)為順層巖質(zhì)邊坡各滑面的內(nèi)部耗散能；右側(cè)為各滑體在外力作用下產(chǎn)生的外力功率；Di為第i個滑面（帶）的內(nèi)能耗散；Fi為作用于第i個滑體的外力（如自重、地震慣性力）；vi為第i個滑面(帶)處的土體應變速度。

8.2.1 順層滑動模式

圖8-7所示為順層巖質(zhì)邊坡的雙滑面幾何模型（王根龍，等，2010），滑面1和滑面2的厚度分別為h1和h2，長度分別為l1和l2，巖層傾角為α，邊坡坡角為θ。以圖8-7所示的雙滑面順層巖質(zhì)邊坡為例，其可能發(fā)生的剪切破壞模式包括三類，分別為局部滑動模式Ⅰ、整體滑動模式Ⅱ和滑體錯動模式Ⅲ。

圖8-7 順層巖質(zhì)邊坡幾何模型

局部滑動模式Ⅰ代表滑體1沿滑面1發(fā)生剪切滑動破壞，而滑面1下部巖體不發(fā)生滑動破壞。整體滑動模式Ⅱ代表滑體1和滑體2整體沿滑面2產(chǎn)生剪切破壞，且滑面1不發(fā)生錯動?；w錯動模式Ⅲ代表滑體1和滑體2產(chǎn)生錯動滑動破壞，根據(jù)錯動關系又可以分為兩個亞類：Ⅲ-1模式，代表滑體1相對滑體2向下錯動；Ⅲ-2模式，代表滑體2相對滑體1向下錯動。

在運用極限分析上限法原理推導這三個模式的穩(wěn)定系數(shù)公式時，應滿足三個條件：① 硬巖為剛性體（如厚層灰?guī)r、砂巖等），軟巖為塑性區(qū)（如頁巖、泥巖），另外層面和黏土物質(zhì)組成的軟弱夾層也被定義為塑性區(qū)；② 滑面為速度間斷面（塑性變形區(qū)），速度在滑面發(fā)生急劇而連續(xù)的變化；③ 不同滑面法向速度不變，同一滑面切向速度按線性變化。

8.2.2 局部滑動模式Ⅰ和整體滑動模式Ⅱ

局部滑動模式Ⅰ的滑面1上有剪切力和法向力（見圖8-8），其中剪切力包括兩部分，一部分為黏聚力C，它是已知的，其值為c1l1；另一部分是摩擦力，其值為Ntanφ1，它和法向力N一起，構(gòu)成一個與滑面法線方向夾角為φ1的合力P——組合摩擦力。這個組合摩擦力的大小通常是未知的，但它的方向是已知的，即與法線方向夾角為φ1。如前所述，塑性速度v與滑面夾角為φ1，這樣組合摩擦力P與塑性應變速度v正交，所以P在v上所做的功為零。

圖8-8 局部滑動模式Ⅰ

通過分析可知，在計算滑面上阻力產(chǎn)生的內(nèi)部耗散能時，只有黏聚力C在應變速度場v上產(chǎn)生內(nèi)能耗散，其計算公式為

式中：D內(nèi)為滑面1產(chǎn)生的內(nèi)能耗散；c1為滑面1的黏聚力；φ1為滑面1的內(nèi)摩擦角；l1為滑面1的長度；v1為滑面1的塑性應變速度。

作用于滑體1上的外力包括自重和水平地震慣性力兩部分，它們在應變速度場v上所做的外力功率計算公式為

式中：W外為滑體1在應變速度場v1上所做的外功率；W1為滑體1的重量；α為滑面的傾角；a為水平地震影響系數(shù)；其他符號同上。

在應用虛功率方程（8-15）時，應該注意兩個問題：其一是要滿足極限狀態(tài)的條件，這一點可以通過強度折減法得以實現(xiàn)；其二是要求外力功率為正的條件。當α ＞ φ時，外力功率為正的條件顯然滿足，而當α ＜ φ或α = φ時，可能存在外力功率為負的情況，此時虛功率方程將不能夠成立。如果出現(xiàn)外力功率為負的情況，可以終止計算，并認為邊坡衡為穩(wěn)定狀態(tài)。在以下的公式推導過程中，這兩個問題也必須得到考慮。

聯(lián)立式（8-15）～式（8-18），經(jīng)過整理，可以消掉所有的應變速度項，最終得到順層巖質(zhì)邊坡局部滑動模式Ⅰ的穩(wěn)定系數(shù)極限分析上限法表達式為

式中：

對于順層巖質(zhì)邊坡整體滑動模式Ⅱ（圖8-9），由于滑體1和滑體2以相同的速度發(fā)生整體運動，因此滑面1不存在剪切錯動，也就沒有產(chǎn)生內(nèi)能耗散，所以內(nèi)能耗散僅產(chǎn)生于滑面2上。同樣，可以推導得到順層巖質(zhì)邊坡整體滑動模式Ⅱ的穩(wěn)定系數(shù)極限分析上限法表達式為

式中：c2為滑面2的黏聚力；φ2為滑面2的內(nèi)摩擦角；l2為滑面2的長度；W2為滑體2的重量；其他符號同上。且有

圖8-9 整體滑動模式II

8.2.3 滑體錯動模式Ⅲ

順層巖質(zhì)邊坡的滑體錯動模式Ⅲ，存在兩種不同的滑體相互錯動方式，這里以Ⅲ-1模式（上部滑體突出，見圖8-10）為例進行公式推導。滑面2剪切滑動產(chǎn)生的內(nèi)能耗散D內(nèi)-2計算公式為

圖8-10 滑體錯動模式Ⅲ-1

由于滑體1相對于滑體2有向下突出的滑動趨勢，所以有v1＞ v2。根據(jù)不同滑面法向速度不變的條件，可以得到v1和v2的關系式

為了便于后續(xù)公式推導的需要，這里將v2表示為v1的代數(shù)表達式

根據(jù)滑面層間錯動速度（切向速度）線性變化的條件可知，滑面1相對滑體2的速度Δv為：

進一步可以得到滑面1產(chǎn)生的內(nèi)能耗散計算公式為

滑體1和滑體2在自重力和水平地震慣性力作用下，分別在相應的應變速度場v1和v2上所做的外力功率W外-1和W外-2計算公式為：

聯(lián)立式（8-15）、式（8-16）、式（8-23）、式(8-25)、式（8-27）、式（8-28）和式（8-29），消掉所有應變速度項后，整理可以得到滑體錯動模式Ⅲ-1的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算公式為

式中：

且有

對于順層巖質(zhì)邊坡滑體錯動模式Ⅲ-2（下部滑體擠出，見圖8-11），由于滑體2相對于滑體1有向外擠出變形破壞的趨勢，所以有v2＞ v1。此時，滑面1相對于滑體2的速度Δv為

進一步可以得到滑面1產(chǎn)生的內(nèi)能耗散1-內(nèi)D為

按照推導式（8-30）的方法，同理可以得到巖質(zhì)邊坡滑體錯動模式Ⅲ-2的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算公式為

式中：

且有

在采用極限分析上限法推導順層巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定系數(shù)計算公式時（包括局部滑動、整體滑動和滑體錯動三種模式），兩端均有穩(wěn)定系數(shù)K，因此是穩(wěn)定系數(shù)的隱式方程，需要通過迭代的計算方法求解。在計算時，先假設一個初始的穩(wěn)定系數(shù)K，應用迭代計算直至前后兩次穩(wěn)定系數(shù)K值滿足所要求的計算精度為止。一般來說對于滿足條件的情況，迭代都是收斂的。

圖8-11 滑體錯動模式Ⅲ-2

8.3 順層巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性極限分析算例

渝懷線DK385+470～DK385+700段為典型的順層巖質(zhì)邊坡（白云峰，2005）（圖8-12）。該段邊坡地層巖性為寒武系中統(tǒng)平井組（ε2p）厚層白云質(zhì)灰?guī)r夾泥質(zhì)灰?guī)r，巖層產(chǎn)狀85°∠24°。巖層中共有兩層溶蝕性泥灰?guī)r，自上而下分別編號為滑面1和滑面2，位于地表以下5m和8m處，厚度分別為8cm和20cm。被滑面1和滑面2隔離的滑體1和滑體2單寬重量分別為1 1097kN·m-1和6 658 kN·m-1。距坡緣81m的后緣有明顯的張裂縫。邊坡開挖到15m，發(fā)現(xiàn)第二層溶蝕性泥灰?guī)r下覆巖體較為穩(wěn)定，但上部巖體具有滑移的跡象，需要通過穩(wěn)定性分析為進一步邊坡加固治理提供依據(jù)。

該邊坡為典型的順層巖質(zhì)雙層滑面型邊坡，若采用規(guī)范推薦的剛體極限平衡法，則無法考慮中間滑面1對邊坡穩(wěn)定性的影響，而采用文中的方法則可以克服這一缺陷，使穩(wěn)定性評價更加趨于合理。計算用到的滑面基本參數(shù)詳見表8-3。

圖8-12 渝懷線順層巖質(zhì)邊坡工程地質(zhì)剖面

表8-3 渝懷線順層巖質(zhì)邊坡上限法分析滑面參數(shù)

首先，對滑體1的穩(wěn)定性做出判斷，將數(shù)據(jù)代入局部滑動模式Ⅰ的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算公式（8-19）中，得到天然狀態(tài)下穩(wěn)定系數(shù)K1=0.999，說明滑體1處于不穩(wěn)定狀態(tài)。然后，將基本參數(shù)帶入整體滑動模式Ⅱ的的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算公式（8-21）中，得到天然狀態(tài)下穩(wěn)定系數(shù)K2=1.109，說明不考慮滑面1的影響時，滑體2處于穩(wěn)定狀態(tài)。最后，將基本參數(shù)代入滑體錯動模式Ⅲ-1（因為φ1＜ φ2，所以v1＞ v2）的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算公式（8-30）中，得到極限分析上限法的穩(wěn)定系數(shù)K31=0.963，說明滑體1和2均處于不穩(wěn)定狀態(tài)。由于模式Ⅲ-1考慮了滑面1的影響，因此計算結(jié)果要比模式Ⅱ小。筆者認為，這樣的穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果更加符合客觀規(guī)律，對指導生產(chǎn)具有實際的意義。

當考慮水平地震作用力時，可以得到更為詳細的極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果，詳見表8-4。分析可知，當?shù)卣鹆叶葹棰鞫葧r（相應水平地震影響系數(shù)Kc=0.1），不管用哪個模式，都可以得到滑體1和滑體2不穩(wěn)定的結(jié)論，可見地震作用對該邊坡穩(wěn)定性影響較大。

采用規(guī)范推薦的剛體極限平衡法，針對局部滑動模式Ⅰ和整體滑動模式Ⅱ，其計算結(jié)果和極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果完全一致（見表8-5），但對于滑體錯動模式Ⅲ-1，剛體極限平衡法顯然是不適用的，因為它不能考慮層間錯動的影響，所以不能進行計算。此時文中的方法就顯示出了其可以考慮中間滑面的優(yōu)點。結(jié)果表明，考慮中間滑面的不利影響，極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)要比剛體極限平衡法穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果小15%。因此，采用剛體極限平衡法解決順層巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性問題，有時會夸大邊坡的穩(wěn)定性，從而給以后工程的運行留下事故隱患。

表8-4 極限分析上限法穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果

表8-5 兩種方法計算結(jié)果對比

8.4 巖質(zhì)邊坡后緣張裂縫發(fā)生位置的預測方法

巖質(zhì)邊坡發(fā)生滑坡和崩塌之前，總是伴隨著一些變形現(xiàn)象，最明顯的就是后緣或頂部產(chǎn)生的張裂縫（蒲春平，等，2006；高永濤，等，2002；金培杰，2003）。對于公路、鐵路沿線的巖質(zhì)邊坡，如果能在施工期間和運營期間嚴密監(jiān)測后緣張裂縫的發(fā)生位置和變形情況，就能對防止崩塌和滑坡災害起到積極作用。預測后緣張裂縫位置的作用有三點：① 有助于合理布置邊坡變形監(jiān)測點；② 可以初步確定產(chǎn)生滑坡的后緣邊界；③ 對于設置頂部截水溝位置具有指導意義。

預測巖質(zhì)邊坡后緣張裂縫發(fā)生位置的方法一般采用數(shù)值模擬，這種方法的重點是找到坡體后緣的張應力區(qū)，如果張應力大于巖石單軸抗拉強度，則產(chǎn)生張裂縫。但其缺點是建模復雜，并且應用起來比較困難。這里運用極限分析方法，通過潛在滑體處于極限狀態(tài)時兩功率相等的條件，得出了極限分析穩(wěn)定系數(shù)和張裂縫發(fā)生位置的函數(shù)關系。

以圖8-13所示巖質(zhì)邊坡為預測模型（王根龍，等，2007），邊坡高度為H，坡度為θ。邊坡的變形破壞主要受結(jié)構(gòu)面控制，結(jié)構(gòu)面傾角為α，結(jié)構(gòu)面黏聚力為c，內(nèi)摩擦角為φ。頂部張裂縫距坡肩距離為b。受頂部張裂縫的切割，有效滑面長度為L（Hoek 和 Bray，1983）。

根據(jù)圖8-13所示幾何關系，可以推導得到用θ，α，H和b表示的有效滑面長度及滑體重量計算公式為

式中：γ為巖石的重度，單位kN·m-3。當巖質(zhì)邊坡確定后，幾何參數(shù)H，θ和α就是已知量，而b是待求量。因此，式（8-38）和式（8-39）可以簡記為b的函數(shù)。

后緣張裂縫b的最小取值為零，位于坡肩位置；最大取值為bmax=H(1/tanα-1/tanθ)，位于外傾結(jié)構(gòu)面在坡頂?shù)某雎段恢谩?/p>

滑面（結(jié)構(gòu)面）上的力有剪切力和法向力，其中剪切力包括兩部分，一部分為黏聚力C，它是已知的，其值為cL；另一部分是摩擦力，其值為Ntanφ，它和法向力N一起，構(gòu)成一個與滑面法線方向夾角為φ的合力P（圖8-14）——“組合摩擦力”。這個組合摩擦力的大小通常是未知的，但它的方向是已知的，即與法線方向夾角為φ。如前所述，塑性速度v與滑面夾角為φ，這樣組合摩擦力P與塑性速度v正交，所以P在v上所做的功率為零。通過分析可知，在計算滑面上阻力產(chǎn)生的內(nèi)耗散能時，只有黏聚力C在應變速度場v上做功，其計算公式為

邊坡在自重作用下沿應變速度v所做的外力功率為

圖8-13 邊坡后緣張裂縫預測模型

圖8-14 計算分析法計算模型

對于圖8-13所示的預測模型，其虛功率方程式為W外=D內(nèi)。但虛功率方程成立的基本條件是極限狀態(tài)。要使預測模型的巖質(zhì)邊坡達到極限狀態(tài)，一般采用強度折減法。具體做法是對邊坡滑面的強度參數(shù)c和tanφ同時除一個折減系數(shù)K（穩(wěn)定系數(shù)），經(jīng)過折減后的滑面參數(shù)c'和tanφ'表達式為

聯(lián)立式（8-42）、式（8-43）和式（8-44），消掉所有應變速度項，整理后得到滑體穩(wěn)定系數(shù)表達式為

式中：K為能量法穩(wěn)定系數(shù)；φ' 為極限狀態(tài)時的內(nèi)摩擦角折減值，其計算公式為

將式（8-40）和式（8-41）代入式（8-45）中，即可以得到用于預測巖質(zhì)邊坡后緣張裂縫b值的計算公式，其表達式為

當計算后緣張裂縫位置b時，需要在b的取值范圍內(nèi)按照一定的間距逐一取值，當穩(wěn)定系數(shù)最小時，此時對應的b即為待求值。但需要注意的是，上式需要通過迭代的計算方法進行求解，計算精度可以取為10-6。一般來說，對于滿足條件的情況，迭代都是收斂的。

某一巖質(zhì)邊坡，坡高H=30.5m，坡角θ=60°，坡內(nèi)有一外傾結(jié)構(gòu)面，結(jié)構(gòu)面傾角α=30°，巖石重度γ=25.6kN·m-3。結(jié)構(gòu)面的黏聚力c=48.6kPa，內(nèi)摩擦角φ=28°。以下通過文中方法對坡頂產(chǎn)生張裂縫的位置進行分析預測。

首先計算b的取值范圍，得到b的取值區(qū)間為[0，35.2]。以1m為間距，分別將b=0，b=1，b=2，…，b=35，代入式（8-47），可以得到一系列對應的極限分析穩(wěn)定系數(shù)K，計算結(jié)果見表8-6。為了更為直觀的獲得后緣張裂縫與能量法穩(wěn)定系數(shù)的關系，這里對這些離散的點進行了擬合，得到圖8-15所示曲線。從曲線的最低點可以看出，b=13時，邊坡的穩(wěn)定系數(shù)達到了最小，從而得出結(jié)論：距離邊坡肩13m的地方是最有可能出現(xiàn)張裂縫的位置。但由于地質(zhì)體條件的復雜性和眾多不確定性因素的影響，后緣張裂縫位置b較為合理的結(jié)果應該是13m左右。

表8-6 后緣張裂縫位置計算結(jié)果

圖8-15 b值曲線

從極限分析法分析的角度來看，滑面阻力產(chǎn)生的內(nèi)能耗散及滑坡體自重所做的外力功率與后緣張裂縫具有相互牽制的作用。具體表現(xiàn)為：

（1）當b=0m時，滑面長度和滑體重量最小，因而內(nèi)能耗散和外力功率也最??；但此時的張裂縫深度也最大，因而產(chǎn)生張裂縫需要的能量也最大。

（2）當b=35.2m時，后緣張裂縫深度為零，因而不需要消耗能量產(chǎn)生張裂縫；但此時滑面長度和滑體重量卻達到了最大，因而內(nèi)能耗散和外力功率也最大。這也就從理論上解釋了為什么我們在野外觀察到的后緣張裂縫，總是離坡肩有一定的距離。