從“解決問(wèn)題的策略”中談模型思想的教學(xué)

時(shí)珊珊

【關(guān)鍵詞】解決問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）02A-

0045-02

關(guān)于數(shù)學(xué)模型，有著不同的描述，但不管怎樣的表述，數(shù)學(xué)模型的核心是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)首次將模型思想作為核心概念予以呈現(xiàn)，而且是作為10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念，它的出現(xiàn)一方面是對(duì)“四基”之一的“數(shù)學(xué)基本思想”作出的回應(yīng)，一方面也顯示著數(shù)學(xué)走向深刻的重要。然而盡管從出現(xiàn)之日起，已有三年有余，但許多一線教師對(duì)于它的基本內(nèi)涵、教育價(jià)值、實(shí)踐路徑等方面還是茫然若失。為此，本文就以“解決問(wèn)題的策略”為例談“模型思想”的教學(xué)。

一、從生活問(wèn)題引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生初步感受模型的雛形

數(shù)學(xué)模型是一種抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種屬性決定了還處于心智發(fā)展階段的小學(xué)生難以從抽象的角度去理解模型（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）的意義，也難以從數(shù)學(xué)的角度去提煉、建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這樣的狀況下，就迫切需要我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生的“認(rèn)知圖式”出發(fā)，讓學(xué)生在生活積累的基礎(chǔ)上，從形象到抽象，從具體與模型，初步感悟數(shù)學(xué)模型的意義與步驟。

例如“解決問(wèn)題的策略”中的“倒推模型”的感悟。倒推是一種逆向思維，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。在對(duì)“倒推”這一模型的分析中，我們可以看出：它有三個(gè)核心要素：原來(lái)狀態(tài)、變化過(guò)程與結(jié)果。盡管這三個(gè)要素的表述簡(jiǎn)潔明了，但小學(xué)生很難內(nèi)化到自己的數(shù)學(xué)思維邏輯中。為此，筆者在教學(xué)時(shí)，首先創(chuàng)設(shè)“放學(xué)回家”這一學(xué)生熟知的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在生活情境中“理順”返回的思路，幫助學(xué)生初步感受“逆向思維”與“順向思維”的不同。接著將其遷移到例題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)文本提供的信息，抓住關(guān)鍵要素——“變與不變的量”，先根據(jù)“變化的結(jié)果”推算出甲乙兩杯現(xiàn)有的果汁量，再由“變化的過(guò)程”還原“原來(lái)甲乙兩杯果汁量”，最后得出“原來(lái)的狀態(tài)”——各有多少果汁量。這樣學(xué)生在運(yùn)用數(shù)字與符號(hào)的還原過(guò)程中，建立了數(shù)學(xué)符號(hào)與提示信息之間的聯(lián)系，初步感受“原來(lái)狀態(tài)、變化過(guò)程和結(jié)果”的結(jié)構(gòu)模型（如下圖）。

二、從數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)入數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生逐漸掌握模型的建構(gòu)

建模是模型思想中的關(guān)鍵步驟，是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)方法的橋梁。當(dāng)學(xué)生初步感受模型的雛形后，就要引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握模型建構(gòu)的步驟，幫助學(xué)生根據(jù)所提供的信息，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)、思想和方法逐步建立數(shù)學(xué)模型。

例如“解決問(wèn)題的策略”中“列舉模型”的建構(gòu)。例題：王大叔用18根1米長(zhǎng)的柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形羊圈，有多少種不同的圍法？筆者的教學(xué)步驟是這樣的：

（1）首先要幫助學(xué)生分析題目要求——“有多少種不同的圍法？”解決此題就意味著要羅列出所有的可能出現(xiàn)的結(jié)果，這就迫切需求一種策略——一一列舉;（2）引導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行“列舉”，長(zhǎng)方形不外乎長(zhǎng)、寬兩個(gè)要素，長(zhǎng)與寬的不同，就有不同的圍法，那么在周長(zhǎng)是18米的前提下，“長(zhǎng)與寬”可能有幾種情況呢？先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行單個(gè)列舉：“假如寬是1米，那么長(zhǎng)是8米;假如寬是2米，那么長(zhǎng)是7米……”然后進(jìn)行“逐一列舉”，直到把所有符合條件的都列舉出來(lái)（如下表）。（3）篩查

列舉。引導(dǎo)學(xué)生剔除重復(fù)的列舉，當(dāng)列舉到“寬是5米”的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，“長(zhǎng)4米、寬5米”的長(zhǎng)方形與“長(zhǎng)5米、寬4米”的長(zhǎng)方形形狀一樣，顯然這樣的長(zhǎng)方形是重復(fù)的，最后得出四種圍法（如下表）。

通過(guò)三步將“一一列舉”呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生漸漸掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

三、從數(shù)學(xué)模型走進(jìn)生活世界，讓學(xué)生全面領(lǐng)會(huì)模型的運(yùn)用

弗賴登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)?！笔茄?，數(shù)學(xué)是從生活中來(lái)，又到生活中去，這既是數(shù)學(xué)的源頭，又是數(shù)學(xué)的使命。我們教師只有幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到實(shí)踐生活中，才能真正地促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，才能真正地發(fā)展他們的數(shù)學(xué)能力。

例如“解決問(wèn)題的策略”中“轉(zhuǎn)化模型”的生活運(yùn)用。轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的一種策略，就是將復(fù)雜的問(wèn)題變成較簡(jiǎn)單的問(wèn)題的一種手段，即通過(guò)“統(tǒng)一單位數(shù)據(jù)”的增加、減少、置換等手段來(lái)實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”，進(jìn)而解決問(wèn)題。通過(guò)教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本理解這一模型的操作運(yùn)用思路，但只有將這一模型運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，才能真正幫助學(xué)生全面地領(lǐng)會(huì)這一模型的價(jià)值。首先運(yùn)用“轉(zhuǎn)化模型”來(lái)解決常見(jiàn)問(wèn)題，如“解決一張紙的厚度、一枚硬幣的體積、一個(gè)燈泡的容積;其次要運(yùn)用這一模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，如：有16支足球隊(duì)參加比賽，比賽采用單場(chǎng)淘汰制，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍？這樣通過(guò)實(shí)踐運(yùn)用，一方面可以加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化模型的認(rèn)識(shí)，一方面還可以幫助學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與生活的相互關(guān)系。

總之，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與運(yùn)用在“解決問(wèn)題的策略”中只是一個(gè)開(kāi)始，我們只有在“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率”等領(lǐng)域全面進(jìn)行滲透，才能讓數(shù)學(xué)模型真正成為學(xué)生的內(nèi)在能力，從而服務(wù)于生活。

（責(zé)編 黃珍平）