基于機械飛輪干擾補償?shù)男⌒l(wèi)星自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制*

楊寧寧 楊照華 余遠(yuǎn)金

1．北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191 2.慣性技術(shù)重點實驗室，北京 100191 3.新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，北京 100191

隨著計算機技術(shù)發(fā)展和空間技術(shù)應(yīng)用日益廣泛，小衛(wèi)星越來越受到人們的關(guān)注[1]。與普通衛(wèi)星姿態(tài)控制一樣，機械飛輪也是三軸穩(wěn)定小衛(wèi)星首選和必備的關(guān)鍵執(zhí)行機構(gòu)[2-3]。由于傳統(tǒng)的機械飛輪通過滾珠軸承支撐，軸承和潤滑劑會引入摩擦干擾，由輪子的質(zhì)量分布不均勻帶來動不平衡干擾也會直接傳遞給衛(wèi)星結(jié)構(gòu)等，因而機械飛輪同時也是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)最主要的擾動源之一[4]。在以往的研究中，總是忽略機械飛輪動力學(xué)模型及其對控制器的影響[5]，但是小衛(wèi)星由于轉(zhuǎn)動慣量小，微弱的干擾都有可能導(dǎo)致控制性能的下降，所以建立機械飛輪控制系統(tǒng)模型，對機械飛輪干擾力矩進(jìn)行補償是非常有必要的。文獻(xiàn)[6-7]給出了機械飛輪模型，但描述機械飛輪摩擦干擾的數(shù)學(xué)模型比較簡單，且沒有分析和抑制此干擾對衛(wèi)星姿態(tài)控制性能的影響。針對摩擦干擾抑制問題，目前具有代表性的2種解決方法是：1)從控制系統(tǒng)設(shè)計角度入手，設(shè)計魯棒性好的控制器去抑制摩擦干擾對控制系統(tǒng)性能的影響；文獻(xiàn)[8]首先采用stribeck摩擦模型去模擬系統(tǒng)的摩擦干擾，然后針對此模型提出一種模糊PID控制器去降低系統(tǒng)摩擦干擾對控制性能的影響以提高控制系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性；2)對摩擦干擾進(jìn)行補償。文獻(xiàn)[9]直接利用庫倫摩擦模型去補償機械飛輪摩擦干擾，由于真實的摩擦干擾是非常復(fù)雜的，此方法不能很好地把機械飛輪真實的摩擦干擾補償?shù)?，文獻(xiàn)[10]則是采用一種狀態(tài)觀測器去估計系統(tǒng)摩擦干擾的真實值并予以補償。

采用機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，不僅受到飛輪內(nèi)干擾的影響，而且受到空間環(huán)境外干擾和衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量不確定的影響。滑模變結(jié)構(gòu)是一種對干擾和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性具有強魯棒性的控制方法，尤其是它能夠有效解決非線性對象控制問題的優(yōu)點，近年來成為衛(wèi)星姿態(tài)控制方法的研究重點[11-14]。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于等效控制的滑?？刂破骱鸵环N考慮控制輸入受限的自適應(yīng)滑?？刂破?，均實現(xiàn)了衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒控制。文獻(xiàn)[12]針對采用冗余飛輪的撓性衛(wèi)星設(shè)計了一種魯棒自適應(yīng)滑模容錯姿態(tài)控制器，不僅實現(xiàn)了對外部干擾和參數(shù)不確定的魯棒性，對飛輪失效性也存在魯棒性。文獻(xiàn)[13]針對衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題，提出了一種模糊滑模控制器，通過模糊控制，在滿足滑模到達(dá)條件下，通過實時更新加權(quán)因子減小抖振。文獻(xiàn)[14] 提出一種自適應(yīng)滑?？刂破?，通過采用時變的加權(quán)因子增強了控制器對衛(wèi)星系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量不確定的魯棒性，通過采用邊界層的厚度可變的雙曲正切函數(shù)替代符號函數(shù)，既緩和了抖振又能保證達(dá)到很好的控制性能。但是滑模變結(jié)構(gòu)控制器對干擾魯棒性是有上界的，且隨著干擾的增大，會造成控制性能下降。把滑模變結(jié)構(gòu)和干擾補償結(jié)合，滑?？刂朴糜谝种菩l(wèi)星外干擾和衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量的不確定，并對飛輪內(nèi)干擾進(jìn)行補償。這樣，不僅能增強控制器的魯棒性且將改善控制的性能。

本文建立了基于機械飛輪三軸穩(wěn)定衛(wèi)星詳細(xì)的動力學(xué)模型，包括帶飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型和機械飛輪控制系統(tǒng)模型。摩擦模型選用的是Stribeck模型，提出并給出了一種考慮機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器，其中通過設(shè)計狀態(tài)觀測器得到機械飛輪摩擦干擾的估計值實現(xiàn)對其補償，而通過前饋控制實現(xiàn)了對由電機反電動勢帶來的力矩干擾的補償，通過Lyapunov定理證明了此控制律能保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，最后仿真驗證了控制器的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

以往對以飛輪作為執(zhí)行機構(gòu)的衛(wèi)星姿態(tài)控制研究，總是把基于飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程作為系統(tǒng)模型，并且基于此模型設(shè)計姿態(tài)控制器。小衛(wèi)星由于轉(zhuǎn)動慣量小，微弱的干擾都有可能導(dǎo)致衛(wèi)星控制系統(tǒng)的性能下降，所以忽略飛輪模型是不可取的。為了針對基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計一種更有效的姿態(tài)控制器，本節(jié)建立了系統(tǒng)詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型，包括基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型和機械飛輪控制系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)方框圖

1.1 基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型

假設(shè)衛(wèi)星為單剛體結(jié)構(gòu)，并安裝n個機械飛輪。固連于衛(wèi)星本體的坐標(biāo)系記為Oxsyszs，慣性坐標(biāo)系記為Oxiyizi,則整個系統(tǒng)的角動量矢量在Oxsyszs中的表達(dá)式為

H=Iωs+h

(1)

式中，I為整星轉(zhuǎn)動慣量矩陣，ωs為Oxsyszs相對Oxiyizi的絕對角速度向量，h為機械飛輪相對Oxsyszs的相對角動量向量，可寫為

h=CJpΩ

(2)

式中,C=[C1…Ci…Cn]，其中Ci表示第i(i=1,2,…,n)個機械飛輪的旋轉(zhuǎn)軸在Oxsyszs下的方向余弦，取決于機械飛輪在Oxsyszs的安裝方位；Ω=[Ω1…Ωi…Ωn]T為機械飛輪的轉(zhuǎn)速向量；Jp=diag(Jp1…Jpi…Jpn)為機械飛輪軸向轉(zhuǎn)動慣量對角陣。

根據(jù)角動量定理[15]，可得基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程

(3)

考慮三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的姿態(tài)控制，軌道坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，記為Oxoyozo。Oxsyszs相對于Oxoyozo的角速度矢量ωe在Oxsyszs中的表達(dá)式為

(4)

(5)

將式(4)代入式(3)，可得基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程：

(6)

式中,

1.2 機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型

第i個機械飛輪轉(zhuǎn)動方程為[6]

(7)

式中，Ni為電流力矩系數(shù)，Ii為電機的電流，NiIi為驅(qū)動力矩，Tfi為摩擦力矩。兩者力矩又以反作用力矩作用在星體上。

電機的電流方程為[15]

(8)

式中，Ri為電機電阻，Ei為電機控制電壓，為反電勢系數(shù)。

假定飛輪工作在力矩模式下，結(jié)合方程式(7)和(8)可得第i個機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型

(9)

當(dāng)|Ω|<ε，靜摩擦為

當(dāng)|Ω|>ε，動摩擦為

Tf=[Tc+(Tmax-Tc)e-μ|Ω|]sgn(Ω)+kvΩ

式中，T(t)是驅(qū)動力矩，Tmax為最大靜摩擦力矩，Tc為庫倫摩擦力矩，kv為粘性摩擦力矩比例系數(shù)，ε和μ為非常小的、正的常數(shù)。采用Stribeck摩擦模型得到的某型號機械飛輪的摩擦力矩與飛輪轉(zhuǎn)速關(guān)系如圖2所示。

假設(shè)安裝在衛(wèi)星上的機械飛輪是一致的，則n個機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型矢量形式為

(10)

式中，σJpΩ是由電機反電動勢帶來的力矩干擾。

圖2 摩擦力矩-飛輪轉(zhuǎn)速關(guān)系圖

2 基于機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計

2.1 控制目標(biāo)

針對方程式(6)和(10)描述的基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計一種控制律Tcw，使得t→∞時，qve→[0 0 0]T，ωe→[0 0 0]T，姿態(tài)控制閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2 控制器模型

在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，再結(jié)合本文系統(tǒng)模型，得控制器

fk·Tanh[(ωe+kqve)/p2]} )

Tanh(kqve/p2)

(11)

(12)

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

下面應(yīng)用Lyapunov定理證明本文提出的控制律能保證基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

構(gòu)造如下正定的Lyapunov函數(shù)：

對上式求導(dǎo)得

結(jié)合方程式(6)和(10)，上式可化為

結(jié)合控制器模型(11)為

令s=ωe+kqve，再次結(jié)合控制器模型，上式化為

令

同理：

由Lyapunov穩(wěn)定定理和Barbalat’s Lemma[14]可得，只要選取合適的參數(shù)γk，可以滿足，t→∞時，qve→[0 0 0]T，ωe→[0 0 0]T，姿態(tài)控制閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

為了驗證控制器的有效性，假設(shè)將4個相同的機械飛輪安裝在小衛(wèi)星上。采用3正交1斜裝的安裝方式，安裝矩陣為：

表1 某型號機械飛輪參數(shù)

衛(wèi)星受到的外界干擾取為：

仿真中參數(shù)各初始值取為qe(0)=[1 0 0 0]T，ωs(0)=[0.0087 0.0076 0.0087]T(rad/s)，Ω(0)=[-5 -5 -5 -5]T(rad/s)。p02=0.005，k(0)=0.28。

控制器參數(shù)為：α=0.2785，γk=0.001，γp=4，fk=0.025，k1=-1，k2=0.02，K=50。

下面給出仿真結(jié)果圖，其中φ，θ，ψ分別為滾動角、俯仰角和偏航角，由歐拉角與四元數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系求得[18]。

圖3 機械飛輪摩擦力矩真實值Tf

圖4 機械飛輪摩擦力矩估計值

下面分析加入機械飛輪摩擦干擾補償前后，飛輪過零摩擦對飛輪轉(zhuǎn)速和衛(wèi)星姿態(tài)控制的影響。

通過圖7可以看到，加入機械摩擦干擾補償前，飛輪轉(zhuǎn)速過0時，被摩擦力矩捕獲時間長達(dá)200s，低速摩擦對衛(wèi)星姿態(tài)角速度產(chǎn)生最大約0.015(°)/s的姿態(tài)擾動，對衛(wèi)星姿態(tài)角產(chǎn)生0.2°的姿態(tài)擾動。而由圖8可以看到，加入機械摩擦干擾補償后，飛輪轉(zhuǎn)速過0時，被摩擦力矩捕獲時間不到20s，低速摩擦對衛(wèi)星姿態(tài)角速度產(chǎn)生最大的姿態(tài)擾動≤0.005(°)/s，對衛(wèi)星姿態(tài)角產(chǎn)生最大的姿態(tài)擾動≤0.03°。

圖5 機械飛輪干擾力矩補償前

圖6 機械飛輪干擾力矩補償后

圖7 機械摩擦干擾補償前

圖8 機械摩擦干擾補償后

4 結(jié)論

通過仿真，可以看出針對帶機械飛輪的某型衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，本文提出的加入機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應(yīng)滑模控制方法較補償前，使機械飛輪轉(zhuǎn)速過零時間縮短到20s，過零摩擦力矩造成的衛(wèi)星姿態(tài)角、姿態(tài)角速度最大擾動值分別降低了85%和70%，衛(wèi)星姿態(tài)精度和穩(wěn)定度提高了近1個數(shù)量級，很大程度地改善了自適應(yīng)滑模控制器的控制性能。

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