基于MATLAB的應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)方程線性回歸分析*

朱 林 李志峰 何建新 毛勤衛(wèi)

(常州計(jì)量測試技術(shù)研究所，常州 213001)

0 引言

硫化物應(yīng)力腐蝕開裂(SSC)是金屬材料在硫化物腐蝕環(huán)境中受一定的應(yīng)力作用產(chǎn)生的開裂形式，由于其導(dǎo)致的破壞往往是沒有明顯預(yù)兆的脆性斷裂，因而危害性很大。工程實(shí)踐中硫化物應(yīng)力腐蝕開裂試驗(yàn)的常用載荷測量方法是通過測量應(yīng)力環(huán)的變形量來計(jì)算載荷，在試驗(yàn)中當(dāng)應(yīng)力環(huán)的量程范圍選擇合適時，應(yīng)力環(huán)產(chǎn)生的載荷與變形量有近似線性的關(guān)系[1]。

目前，我所檢測的該類應(yīng)力環(huán)多為進(jìn)口產(chǎn)品，送檢客戶要求提供類似國外的出廠檢驗(yàn)報(bào)告，這就需要對應(yīng)力環(huán)進(jìn)行線性回歸分析，給出其校準(zhǔn)方程。此校準(zhǔn)方程即為負(fù)載關(guān)于百分表變形量的曲線擬合方程。所謂曲線擬合就是擬合測量數(shù)據(jù)曲線，有時所選擇的曲線通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，但在其他點(diǎn)上，曲線接近它們而不必通過它們。

1 應(yīng)力環(huán)的測量數(shù)據(jù)及最小二乘法的線性回歸分析

1.1 應(yīng)力環(huán)的測量數(shù)據(jù)

按照J(rèn)JG 144—2007《標(biāo)準(zhǔn)測力儀》要求，用力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)和百分表對美國Cortest公司生產(chǎn)的34kN應(yīng)力環(huán)進(jìn)行測量校準(zhǔn)，所獲數(shù)據(jù)見表1。

表1應(yīng)力環(huán)測量數(shù)據(jù)

應(yīng)力環(huán)荷載量與百分表行程具有線性關(guān)系，假設(shè)測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：

(1)

式中：yt為百分表的變形量；xt為載荷值，β0，…，β3為3次多項(xiàng)式擬合曲線的系數(shù)；εi表示其他因素對變形量的影響的總和，一般假設(shè)它們是一組相互獨(dú)立，并服從同一正態(tài)分布N(0,σ)的隨機(jī)變量。

在應(yīng)力環(huán)測量過程中，將負(fù)載看作一般變量而不作為隨機(jī)變量，因而忽略εi的影響。曲線擬合問題主要就是求解出多項(xiàng)式曲線的系數(shù)問題[2]。

1.2 最小二乘法線性回歸分析

通常大多數(shù)試驗(yàn)室采用平均值法作為簡便的回歸分析方法。該方法因簡單、便于理解而深受試驗(yàn)人員青睞，但是又因其精度較低、對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性要求很高等缺點(diǎn)使得回歸分析結(jié)果的準(zhǔn)確性大受影響。且國外應(yīng)力環(huán)的出廠檢驗(yàn)報(bào)告曲線擬合方程為三次多項(xiàng)式方程，因此用平均值法已經(jīng)無法滿足要求，而最小二乘法不僅能滿足多項(xiàng)式擬合要求，且回歸分析精度高、可信賴，因此是應(yīng)力環(huán)線性回歸分析方法的最佳選擇。

所謂最小二乘曲線擬合，就是使誤差平方和最小的多項(xiàng)式擬合，即尋找一條曲線使在誤差平方和最小的準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近。為提高曲線擬合的精度，與輸入輸出的多項(xiàng)式的次數(shù)有關(guān)，根據(jù)國外出廠提供的檢驗(yàn)報(bào)告和我所對該應(yīng)力環(huán)檢驗(yàn)校準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)所得，一般取到輸入的三次項(xiàng)即可，根據(jù)式(1)負(fù)載與變形量的校準(zhǔn)方程有如下的三項(xiàng)式關(guān)系：

yt=β0xt3+β1xt2+β2xt+β3

(2)

如果檢定點(diǎn)為n個，根據(jù)方程(2)則可列出其誤差方程為：

(3)

上述誤差方程組(3)用矩陣表示為：

V=Y-PA

(4)

同樣，由殘差平方和最小這一條件，可得矩陣形式正規(guī)方程：

PTV=0

并得矩陣形式的解為：

A=(PTP)-1PTY

(5)

2 用MATLAB實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)方程的曲線擬合

MATLAB 是一個高級的數(shù)值分析處理與計(jì)算軟件，求解矩陣方程非常方便。運(yùn)用MATLAB軟件處理最小二乘法的曲線擬合問題，既可以直接用最小二乘法的計(jì)算原理編程處理，也可以用MATLAB提供的Polyfit函數(shù)來計(jì)算多項(xiàng)式擬合系數(shù)，函數(shù)Polyfit的輸入量為x、y、n，其中x、y即為需要建立相互關(guān)系的兩個量的測量值，以數(shù)組的形式輸入n為多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出的是多項(xiàng)式系數(shù)的行向量，而得到的多項(xiàng)式是降冪的。以下介紹用Polyfit函數(shù)來解決應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)方程的曲線擬合問題。

[命令]

polyfit

[調(diào)用格式]

p3=polyfit(x,y,n)

[功能]

對于已知的數(shù)據(jù)組x，y進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合的多項(xiàng)式的階數(shù)為n，其中p3為3次多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣。

在MATLAB的命令窗口輸入如下的程序代碼：

x=[0,5,9,13,17,21,25,30,34];

y=[0.000,0.514,0.910,1.308,1.702,2.103,2.507,3.015,3.429];

p3=polyfit(x,y,3);

p=polyval(p3,x);

hold on;

p3=

5.3723e-006-2.3676e-004 1.0267e-001 1.8190e-003，即得到應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)方程為：

(1.02676e-001)xt+1.8190e-003

其擬合曲線圖形如圖1所示。

在圖1中，小圓點(diǎn)表示測量應(yīng)力環(huán)原始數(shù)據(jù)中載荷值與百分表變形量所對應(yīng)的點(diǎn)，斜線為擬合后的曲線，從圖中可以看出運(yùn)用MATLAB擬合出負(fù)載關(guān)于變形量的曲線效果非常好[4-5]，完全滿足了客戶對于進(jìn)口應(yīng)力環(huán)檢測校準(zhǔn)的要求。

圖1 擬合曲線圖形

3 結(jié)語

在MATLAB環(huán)境下解決應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)方程的曲線擬合問題，不僅滿足了客戶對應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)檢驗(yàn)報(bào)告的要求，同時也為計(jì)量人員對應(yīng)力環(huán)的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理提供了一種快捷有效的辦法，此方法值得在計(jì)量校準(zhǔn)工作過程中推廣應(yīng)用。

[1] 黃仲嬰，袁鵬斌，陶廷記，等. 硫化物應(yīng)力腐蝕開裂試驗(yàn)應(yīng)力環(huán)載荷的測量及標(biāo)定[J].理化檢驗(yàn)-物理分冊，2010，46(3):183-185

[2] 麻青春，錢武威. 基于最小二乘法的測力環(huán)線性回歸分析與檢驗(yàn)[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化，2009，202(15):137-139

[3] 杜水友，章皓，鄭永軍，等. 最小二乘法擬合壓力傳感器二次曲線及精度分析[J]. 中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(16):185-187

[4] 呂喜明，李明遠(yuǎn). 最小二乘曲線擬合的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J]. 內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，24 (2):125-127

[5] 羅永會，要秉文，姚少巍. Matlab穩(wěn)健回歸在建立校準(zhǔn)曲線中的應(yīng)用[J].計(jì)量技術(shù)，2008(1):54-55