“一例貫通”在高三數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

金陳

一、問題提出

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“一個(gè)有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的結(jié)論和見解，可以打開通向一門新的學(xué)科，甚至通向一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門戶.”在高三數(shù)學(xué)的章節(jié)復(fù)習(xí)中，能否避免題海戰(zhàn)術(shù)費(fèi)時(shí)費(fèi)力又低效的做法，另辟蹊徑，找到一種“解一題，通一章”、符合新課標(biāo)“輕負(fù)高質(zhì)”精神的復(fù)習(xí)方法呢？為此，筆者嘗試了“一例貫通”法.

二、概念界定

所謂“一例貫通”，就是指在高三數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)中，針對(duì)新課程對(duì)某一章節(jié)提出的相關(guān)學(xué)習(xí)目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)一個(gè)例題，并對(duì)該題進(jìn)行全方位、多角度的挖掘和轉(zhuǎn)換，從不同的角度來設(shè)計(jì)變式，讓學(xué)生在逐一對(duì)例題和變式的思考和解決中，把零散的知識(shí)點(diǎn)串成線、連成面，以達(dá)到對(duì)該章節(jié)知識(shí)、能力融會(huì)貫通的目的.

三、實(shí)踐操作

（一）“一例貫通”設(shè)計(jì)原則

常規(guī)性原則.習(xí)題的常規(guī)解法，往往能更好地突出教材、課程標(biāo)準(zhǔn)以及考綱所要求的基本數(shù)學(xué)思想和方法.因此，在“一例貫通”例題和變式的設(shè)計(jì)中，不要一味追求新、奇、巧，而忽略了學(xué)生對(duì)常規(guī)習(xí)題及其解法的掌握.

典型性原則.所選擇的例題，要有典型性和可變性.這里的例題相當(dāng)于一個(gè)母題，經(jīng)過變式后能覆蓋本章絕大部分的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)，也能通過該例題及變式的分析和解答，使學(xué)生牢固掌握常用的技能技巧、思維方法以及注意事項(xiàng)等.

梯度性原則.圍繞母題設(shè)計(jì)的變式，要有梯度，要按照“最近發(fā)展區(qū)”理論，盡可能注意到學(xué)生原有知識(shí)和技能方面的儲(chǔ)備，由淺入深、由易到難、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在問題的解決中找到知識(shí)之間的聯(lián)系，并生成新的數(shù)學(xué)思維和能力，從而達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的.

（二）“一例貫通”設(shè)計(jì)步驟

“一例貫通”在章節(jié)復(fù)習(xí)中，一般分“三步走”.

第一，“內(nèi)容學(xué)情一張網(wǎng)”，即盡可能全面地了解課程標(biāo)準(zhǔn)或高考考綱對(duì)本章節(jié)的教學(xué)要求，以確保學(xué)生在對(duì)例題和變式的解決中，掌握本章絕大部分的知識(shí)點(diǎn)；同時(shí)，也要整體了解學(xué)生對(duì)該章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況.

第二，“例題設(shè)計(jì)一個(gè)點(diǎn)”.這里的例題相當(dāng)于一個(gè)原點(diǎn)，具有一定的發(fā)散性和生發(fā)性，圍繞這個(gè)原點(diǎn)能生發(fā)出大量的變式.

第三，“變式生成一把尺”.變式生成的難易要有“度”，要圍繞新課程對(duì)本章節(jié)的教學(xué)要求和具體學(xué)情，由淺入深、層層遞進(jìn)地呈現(xiàn)給學(xué)生.

下面以《線性規(guī)劃》章節(jié)復(fù)習(xí)為例，談一談“一例貫通”的設(shè)計(jì).

第一步：以導(dǎo)學(xué)案的形式提前布置給學(xué)生.

【高考考綱要求】

1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型；

2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；

3.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并加以解決.

【知識(shí)復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax+By+C=0（B不為0）及點(diǎn)P（x0，y0），則：

（1）若B>0，Ax0+By0+C>0，則點(diǎn)P在直線的上方，此時(shí)不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；

（2）若B>0，Ax0+By0+C<0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時(shí)不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域；

（3）若B<0，都把Ax+By+C>0（或<0）中y項(xiàng)的系數(shù)B化為正值.

2.線性規(guī)劃

（1）滿足線性約束條件的解（x，y）叫可行解；所有可行解組成的集合叫可行域.

（2）使目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取得最大值或最小值的解（x，y）叫最優(yōu)解，這里約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是x，y的一次式，所以把這類問題叫線性規(guī)劃.

3.線性規(guī)劃解題步驟

（1）設(shè)出變量，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；

（2）畫出可行域；

（3）觀察平行直線系z(mì)=ax+by的運(yùn)動(dòng)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

4.基礎(chǔ)小練

（1）已知點(diǎn)A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），則表示△ABC的邊界及其內(nèi)部的約束條件是.

（2）已知不等式組x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0.

①求z=x+2y的最大值和最小值；

②求z=yx 的取值范圍；

③求z=x2+y2的最大值和最小值.

（3）若當(dāng)z=ax+y+2取最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，求a的值.

第二步：根據(jù)學(xué)生預(yù)習(xí)情況，精心設(shè)計(jì)母題和生成變式.

【例題】已知關(guān)于x，y的不等式組x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

求z=2x+y+2的最小值.

變式1：已知……（同例題），求z=|2x+y+2|的最小值.

變式2：已知……（同例題），求z=x2+y2+2的最小值.

變式3：已知……（同例題），求z=y+3x+1 的最小值.

變式4：已知……（同例題），求z=2x+y+2x+1 的最小值.

評(píng)注：變式1、2、3、4是目標(biāo)函數(shù)的最值問題，主要考查學(xué)生對(duì)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義的理解，以及轉(zhuǎn)化思想的掌握程度.

變式5：若x，y滿足約束條件x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在（1，3）處取得最大值，求a的取值范圍.

變式6：若A為不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區(qū)域，則a從1連續(xù)變化到3時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過A中那部分區(qū)域的面積為多少？

變式7：已知A為不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區(qū)域，若直線y=kx-2k+2將區(qū)域A分成面積相等的兩部分，求k的值.

評(píng)注：變式5、6、7是目標(biāo)函數(shù)含參問題，要根據(jù)解析幾何知識(shí)，確定求解目標(biāo)的幾何意義，從而結(jié)合解析幾何知識(shí)解決問題，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.適當(dāng)變換目標(biāo)函數(shù)可以使其幾何意義更加明確.

變式8：若滿足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式9：若滿足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成一個(gè)面積為252的平面區(qū)域，求實(shí)數(shù)a的值.

變式10：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x≥1x+y-4≤0bx-by+c≤0

，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y+2的最大值為9，最小值為2，求a∶b∶c的值.

評(píng)注：變式8、9、10是不等式組含參問題，要根據(jù)參數(shù)的變化趨勢(shì)確定區(qū)域的形狀，或根據(jù)區(qū)域面積、目標(biāo)函數(shù)的最值，從而求得參數(shù)范圍.

變式11：已知點(diǎn)A（a，b）在不等式組x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，求點(diǎn)M（a+b，a-b）所在的平面區(qū)域面積，并求a+2b的最大值.

評(píng)注：本題涉及點(diǎn)的軌跡，通過點(diǎn)A與點(diǎn)M的等量關(guān)系，運(yùn)用代換法，得到點(diǎn)M的區(qū)域，從而求得該區(qū)域的面積.

變式12：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)2h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天至少可從配件廠獲得4個(gè)A配件，且生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)的兩倍與生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)之差不超過2個(gè)，按每天工作不超過8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是多少？

評(píng)注：本題是含有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，考查學(xué)生能否從實(shí)際問題中歸納出不等式組，從而可轉(zhuǎn)化成求整點(diǎn)問題.

第三步：總結(jié)反思（包括規(guī)律總結(jié)、方法提煉）.

1.給定平面區(qū)域求解一些非線性目標(biāo)的最值或范圍時(shí)，要根據(jù)解析幾何知識(shí)確定求解目標(biāo)的幾何意義，結(jié)合解析幾何知識(shí)解決問題，或轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題解決（如變式1～4）.

2.線性規(guī)劃問題是在約束條件是線性的、目標(biāo)函數(shù)也是線性的情況下的一類最優(yōu)解問題.在約束條件是線性情況下，線性目標(biāo)函數(shù)只有在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得最值.在解答選擇題或填空題時(shí)，可以根據(jù)可行域的頂點(diǎn)直接進(jìn)行檢驗(yàn)（如變式5～7）.

3.當(dāng)不等式組中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)參數(shù)的變化趨勢(shì)確定區(qū)域的可能形狀；當(dāng)求解目標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件（如變式8～11）.

4.含有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的解題關(guān)鍵是找到制約目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)變量，用這兩個(gè)變量建立可行域和目標(biāo)函數(shù).在解題時(shí)要注意題目中的各種制約關(guān)系，列出全面的制約條件和正確的目標(biāo)函數(shù)（如變式12）.

這樣，學(xué)生基本掌握和鞏固了《線性規(guī)劃》一章所涉及的知識(shí)、能力、方法、解題技巧以及注意事項(xiàng)等.

四、顯著效果

“一例貫通”這種“講一題，通一章”的做法，不僅喚醒了學(xué)生的主體意識(shí)，而且也讓教師通過有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，提升了學(xué)生的應(yīng)變、應(yīng)用能力，有效地避免題海戰(zhàn)術(shù)的盲目性，從而達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的.

（責(zé)任編輯黃春香）