加強問題解決教學(xué) 發(fā)展應(yīng)用創(chuàng)新意識

馬贊

胡趙云，浙江省衢州市實驗學(xué)校副校長，浙江省特級教師，兼職浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專業(yè)指導(dǎo)委員會初中數(shù)學(xué)學(xué)科組成員，浙江省名師名校長工作室指導(dǎo)教師等。

《中國教師》：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總目標(biāo)中將《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》的“解決問題”修訂調(diào)整為“問題解決”，您是如何理解這一變化的？

胡趙云：“問題解決”與“解決問題”，都是四個字，只是“問題”與“解決”前后順序不同，意味著兩者的意義與價值不同，可以從以下方面理解：

首先，這兩者的含義不一樣?！敖鉀Q問題”的立足點是解決，往往是給出了問題，如何分析與解決這個已給定的問題，而“問題解決”要關(guān)注有沒有問題，如何發(fā)現(xiàn)問題，提出問題或表述問題，然后，想辦法分析問題，解決問題?！敖鉀Q問題”主要指運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題這兩個方面，而“問題解決”包括從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題這四個方面。

其次，這兩者產(chǎn)生的背景不一樣?！敖鉀Q問題”在我國的教學(xué)大綱中早就存在。我記得1986年工作時，讀過《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，其中就有“逐步形成運用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力”。其背景是我們國家百廢待興，急需用所學(xué)的知識解決工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中存在的大量問題。而今天，隨著信息技術(shù)時代的到來，創(chuàng)新已成為民族發(fā)展的靈魂，沒有問題，不能發(fā)現(xiàn)問題，不能提出問題就沒有創(chuàng)新，在這樣的背景下，只會解決問題已經(jīng)不夠了。

再次，這兩者的內(nèi)容設(shè)置、教學(xué)展開方式也有區(qū)別。以問題解決的視角審視課程內(nèi)容的設(shè)置與展開方式時，就會選擇現(xiàn)實的、生活的、數(shù)學(xué)的素材，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、思考、分析、交流、發(fā)現(xiàn)相互之間的聯(lián)系、矛盾與存在的數(shù)學(xué)問題。用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出問題，然后研究分析解決問題的辦法，這與我國傳統(tǒng)的先講數(shù)學(xué)知識，再例題示范，后練習(xí)鞏固的呈現(xiàn)形式有著根本的區(qū)別。

《中國教師》：“問題解決”與“解決問題”中都有“問題”，這個“問題”與傳統(tǒng)的應(yīng)用題有什么不一樣？

胡趙云：“問題”與傳統(tǒng)的應(yīng)用題，這兩者有區(qū)別，它們不是一回事。傳統(tǒng)的應(yīng)用題大多有明顯的人為編造痕跡，如情境作了簡化，數(shù)據(jù)作了優(yōu)化；往往有一定的題型，如行程類、總分類、工程類、濃度類等；解決應(yīng)用題的主要方式是找類型，套公式；答案總是確定的，往往這個應(yīng)用題解完就是終點了，無須反思。而“問題”往往是現(xiàn)實的、生活的、數(shù)學(xué)的、開放的，很難用套題型的方式解決它；發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題往往需要依靠高于數(shù)學(xué)知識層面的能力、觀點、思想、意識；解決問題的策略與結(jié)果未必唯一確定；此問題解決后交流與反思空間大，往往是彼問題的開始?？梢赃@樣說，傳統(tǒng)應(yīng)用題僅僅是運用數(shù)學(xué)知識解決人為編造的、有明確結(jié)果的“問題”，而“問題解決”中的“問題”，不僅鍛煉學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的能力，還鍛煉學(xué)生運用數(shù)學(xué)觀點、意識、思想解決問題的能力，對于學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識的發(fā)展很有價值。

《中國教師》：“問題解決”與課程目標(biāo)“四基”的“基本思想”“基本活動經(jīng)驗”及“核心概念”之間有著什么樣的聯(lián)系？

胡趙云：2011年課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確指出問題解決有以下四個方面：

●初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。

●獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。

●學(xué)會與他人合作交流。

●初步形成評價與反思的意識。

從上述表述可以看出，具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗是實現(xiàn)問題解決目標(biāo)的基礎(chǔ)，重視加強問題解決能有效地增強應(yīng)用意識，發(fā)展創(chuàng)新意識。特別要提出，問題解決經(jīng)驗的積累往往要通過學(xué)生參與的、有效的教學(xué)活動才能實現(xiàn)。而一個人能夠發(fā)現(xiàn)、提出新問題正是創(chuàng)新型人才的基本要求。以基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀等，可以幫助學(xué)生從表面上看來沒有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系或某些矛盾，并將這些聯(lián)系或矛盾提煉出來，用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號以問題的形態(tài)表述出來，即提出問題。同樣，以基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生良好的推理能力、模型思想、運算能力與思維能力等，可以幫助學(xué)生有效地分析問題、尋求解決問題的策略與方法。正如2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)所指出的知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度，“這些目標(biāo)的整體實現(xiàn)，是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志，它對學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義”。

《中國教師》：既然問題解決能力對于發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識很有價值，那么在具體教學(xué)中怎樣做才能實現(xiàn)問題解決的目標(biāo)？請您給一線教師提出一些具體的建議。

胡趙云：首先，教科書的編寫要為問題解決提供好的素材與呈現(xiàn)方式。“教材應(yīng)選用合適的學(xué)習(xí)素材，介紹知識的背景；設(shè)計必要的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過觀摩、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識形成和應(yīng)用”。這樣的方式對“提高解決問題的能力有著重要的作用”。比如，北師大版的初中數(shù)學(xué)教科書“力圖采用‘問題情境—建立模型—解釋，應(yīng)用和拓展的模式展開，對于新知識的學(xué)習(xí)都以對相關(guān)問題情境的研究作為開始”，這就是一個很好的形式。

其次，教師要提升執(zhí)教問題解決的能力。我們的教師習(xí)慣于對給定的問題進(jìn)行分析，予以解決，而對于怎樣選擇合適的情境，怎樣呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，怎樣開展組織教學(xué)才能利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的教學(xué)模式相對陌生。教師要加強這些方面的學(xué)習(xí)、交流與研討。發(fā)揮集體備課的作用是一個不錯的選擇。

再次，在平時課堂教學(xué)中，要關(guān)注以下幾方面。

第一，要積極引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)過程，不要以簡單地、重復(fù)地多題講練代替教學(xué)。在平時課堂教學(xué)中不乏以講題、做題，依靠大量練習(xí)為特征的、簡單的、應(yīng)試性的教學(xué)形式。這種形式自然不利于培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，并且，從應(yīng)試成績的角度來看，也未必是好的方法。

第二，要重視積累現(xiàn)實生活的經(jīng)驗，不要簡單地以題型套公式的方式代替現(xiàn)實問題的教學(xué)。我國各版本的教材都不同程度地沿用了傳統(tǒng)的應(yīng)用題，如果教師能夠采用好的教學(xué)方法使用這些應(yīng)用題的話，在一定程度上，可以培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的能力。這就要求教師在應(yīng)用題教學(xué)中摒棄簡單的歸類題型、套用公式的教學(xué)方式。對于任何形式的應(yīng)用題，教師都要善于讓學(xué)生積累現(xiàn)實的生活經(jīng)驗，理解其中蘊含的數(shù)量關(guān)系，能運用多種方式解決問題、反思問題解決的過程。如教學(xué)課例“打折促銷”[具體見《基礎(chǔ)教育課程》（2012.11）中《學(xué)法指引是學(xué)案設(shè)計永恒的追求》]，就是一個很好的典范。

第三，要重視落實問題解決方法（策略）的多樣性。在課程標(biāo)準(zhǔn)實驗稿中明確要求“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性”，而2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)中也同樣明確要求“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性”，這說明分析解決問題方法的多樣性在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中完整地延續(xù)著。但是在實際教學(xué)中，廣大教師對此缺乏必要的認(rèn)識。例如，2011年浙江省衢州市初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試卷第21題，是一來自課本的略作改編的例題。

某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系。每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少0.5元。要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？

小明的解法如下。

解：設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，平均單株盈利為（3-0.5x）元。

由題意，得（x+3）（3-0.5x）=10，

化簡，整理，得x2-3x+2=0，

解這個方程，得x1=1，x2=2。

答：要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株。

（1）本題涉及的主要數(shù)量有每盆花苗株數(shù)，平均單株盈利，每盆花苗的盈利等，請寫出兩個不同的等量關(guān)系：

（2）請用一種與小明不相同的方法求解上述問題。

結(jié)果得分率為43.13%。事實上，該題可用算術(shù)、列表、圖像及函數(shù)等方法解決。這就需要廣大教師通過鉆研教科書、數(shù)學(xué)教學(xué)理論書籍來豐富自己的學(xué)科專業(yè)知識，培養(yǎng)學(xué)生從多個角度去分析問題和解決問題的能力。

第四，要讓課堂教學(xué)、數(shù)學(xué)知識的形成體現(xiàn)問題解決教學(xué)的全過程。2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)對于課程內(nèi)容的組織明確了三個關(guān)系：“要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系?！边@表明在數(shù)學(xué)知識形成的課堂教學(xué)中要關(guān)注過程、直觀、直接經(jīng)驗的積累，這為在課堂教學(xué)中體現(xiàn)問題解決教學(xué)的全過程提供了依據(jù)。比如“勾股定理”的教學(xué)就是一個讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的好素材。2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求“探索勾股定理”，如何探索，各種版本教材對此處理各有不同，總感覺是很勉強地探索，師生總存在幾個困擾，如：研究直角三角形的邊與邊之間的關(guān)系怎么就想到要研究邊的平方，怎么教師會那么聰明就想到用網(wǎng)格幫助探索，等等。通常在學(xué)完等腰三角形、全等三角形后才學(xué)習(xí)直角三角形。教師不妨按照下列方式組織勾股定理的教學(xué)。

（1）發(fā)現(xiàn)問題

我們知道一個三角形的兩邊及夾角確定，這個三角形就確定了，那么一個直角三角形的兩直角邊確定就表明這個直角三角形已確定，也就是斜邊的長確定了。這能說明什么呢？

這表明一個直角三角形的斜邊長能由兩直角邊的長確定。說明斜邊與兩直角之間有關(guān)系，到底有什么樣的關(guān)系呢？我們怎樣才能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系呢？

（2）提出問題

問題：Rt△ABC中，∠C=90°，問邊a，b，c之間有何關(guān)系？

（3）引導(dǎo)探索

可以讓學(xué)生做一些嘗試與否定的事。過去積累的經(jīng)驗?zāi)軒臀覀冄芯窟@個問題嗎？沒有經(jīng)驗可以借鑒，我們怎么辦？可以舉個具體、特殊、簡單的例子。

第一，從簡單的、特殊的入手。

問題1，已知Rt△ABC，∠C=90°。①若a=b=1，你能表示出含c的等式嗎？

問題1②若a=b=2，能表示出含c的等式嗎？

問題1③若a=1，b=2呢？

第二，引導(dǎo)分析。

問題1①②的條件有什么共同點？問題1①③的條件與①②有什么區(qū)別？

問題1①②的結(jié)果有什么共同點？c2=2，c2=8能讓我們想起什么？（可想起正方形面積）

對于問題1①，如何驗證以c為邊長的正方形的面積是否為2？（用拼圖或用網(wǎng)格幫助）

補問：你能用上述方法驗證問題1②的結(jié)論嗎？

加問：你有哪些方法知道正方形的面積為8？

追問：你能用上述方法幫助解決問題1③嗎？（c2=5）

補問：你有哪些方法知道正方形的面積為5？（學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)下列方法，見圖1、圖2）

問題1④若a=2，b=3。你能求c嗎？（c2=13）

補問：你有哪些方法知道正方形的面積為13？

第三，提煉觀察。

問題2，梳理上述四個問題的邊長，并思考a，b，c之間有什么聯(lián)系？（聯(lián)系：a2+b2=c2）

第四，驗證結(jié)論。

問題3①在網(wǎng)格中能驗證嗎？對于上述問題，用網(wǎng)格，畫一畫 a2，b2（見圖3）。

問題3②在Rt△ABC中，∠C=90°。a=3，b=4，問c=？（方法1，用a2+b2=c2可求得c=5；方法2，用刻度尺量；方法3，用網(wǎng)格驗證。）

第五，結(jié)論一般化。

網(wǎng)格有局限性，對于非整數(shù)邊長的怎么辦？

問題4，對于Rt△ABC，∠C=90°，你能說明 a2+b2=c2正確嗎？

第五，要在綜合與實踐活動中，發(fā)展學(xué)生問題解決的能力。正如弗蘭登塔爾指出，“應(yīng)用是不能從教應(yīng)用中學(xué)會的，數(shù)學(xué)在自然界和社會中的一些應(yīng)用不能只由教科書的作者或教師示范說明，而應(yīng)該留給學(xué)生去再發(fā)現(xiàn)”。綜合與實踐活動正是學(xué)生去再發(fā)現(xiàn)的好去處。學(xué)期教學(xué)計劃中要安排好作業(yè)或利用假期的時間，讓學(xué)生以小組合作方式完成一些或?qū)ｎ}性，或現(xiàn)實性，或生活性，或數(shù)學(xué)的課題學(xué)習(xí)是極為有意義的，如關(guān)注人口老齡化，學(xué)生最喜愛的電視節(jié)目（或運動），制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子，探尋神奇的幻方，制作視力表，池塘里有多少條魚，設(shè)計遮陽篷，等等。在各種各樣的綜合與實踐活動中，學(xué)生必然要面臨現(xiàn)實的、生活的、數(shù)學(xué)的情境，經(jīng)歷觀察、猜想、類比、發(fā)現(xiàn)問題的階段，通過思考、歸納、交流、提出問題，以調(diào)查、演算、制圖、推理、建模等方式分析解決問題，再交流反思，從而在現(xiàn)實中學(xué)會應(yīng)用，在學(xué)會應(yīng)用中發(fā)展創(chuàng)新意識。

（責(zé)任編輯：林靜）