淺談構造法在解題中的運用

章顯軍

摘 要：新課改明確要求教師必須在教學中逐步培養(yǎng)學生創(chuàng)新的意識和精神，因此構造和創(chuàng)新是數(shù)學教育始終培養(yǎng)的綜合目標，構造能力也是學生必須具備的數(shù)學素養(yǎng)。這就要求學生掌握滲透于數(shù)學知識中的數(shù)學思想方法，使他們能用數(shù)學知識和方法解決問題。構造法是屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構造”?！皹嬙旆ā弊鳛橐环N重要的化歸手段，在數(shù)學解題中有著重要的作用。從“構造函數(shù)”“構造方程”等常見構造多個角度舉例說明應用構造法解題的基本構思途徑。

關鍵詞：構造法；函數(shù)；方程；解題

一、構造函數(shù)

例1.設x，y為實數(shù)，且滿足關系式：

（x-1）3+1997（x-1）=-1（y-1）3+1997（y-1）=1

則x+y= 。

分析：此題若用常規(guī)解方程方法，分別求出x和y的值后再求x+y則非常困難，因為三次方程解法我們并不熟悉。如果我們注意到方程組中兩個方程的結(jié)構非常相似，即（x-1）3+1997（x-1）= （1-y）3+1997（1-y）=1，我們應該能夠想到構造函數(shù)f（t）=t3+1997t，所以f′（t）=3t2+1997>0。

解：構造函數(shù)f′（t）=3t2+1997，所以f′（t）=3t2+1997>0恒成立，

因此，函數(shù)f（t）=t3+1997t在R上為增函數(shù)，所以f（x-1）=f（1-y）=1，所以x-1=1-y，即x+y=2。

指出：此題利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的關系巧妙地得到兩個未知量的等量關系，從而使問題迎刃而解。

二、構造方程

例2.已知p3+q3=2，求證：p+q≤2。

分析：此題條件是等式，結(jié)論是不等式，若直接從等式過渡到不等式比較困難，若我們把p+q看作一個整體變量，則pq就可以用這個變量表示，由韋達定理可以構造一個一元二次方程，這個一元二次方程的兩個根分別為p和q，再根據(jù)判別式可求出p+q的范圍。

解：設p+q=k，因為p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）=2>0，

而p2-pq+q2>0恒成立，

則p+q=k>0，根據(jù)條件易求得：pq=■

構造方程x2-kx+■=0，易知方程的兩個根就是p和q，

所以判別式Δ=k2-■≥0，解得：k≤2，即p+q≤2。

指出：此題通過構造方程設法構造一個一元二次方程，使p和q以其系數(shù)或常數(shù)項的面目出現(xiàn)，再由Δ≥0得到不等式。

三、構造圖形

例3.已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。

分析：初看此題，不等式中含有三個變量，直接證明，比較棘手。我們仔細觀察發(fā)現(xiàn)不等式的左邊是三個兩項積的和，兩項的乘積聯(lián)系幾何中的知識就很容易聯(lián)想到三角形的面積。

證明：構造等邊三角形ABC，且邊長為1，設P、Q、R分別為AB、BC、AC上的動點（不包括端點），設AP=x，BQ=z，CR=y，如圖所示：根據(jù)三角形面積公式可得：

■

則S△APR=■AP·ARsin60°=■x（1-y）

S△CQR=■CR·CQsin60°=■y（1-z）

S△BPQ=■BQ·BPsin60°=■z（1-x）

又因為S△APR+S△CQR+S△BPQ

所以■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）<■

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

總之，構造法是一種富有創(chuàng)造性的思維活動，一種數(shù)學方法形式的構造決不是單一的思維方式，而是多種思維方式交叉融匯在一起共同作用的結(jié)果。構造的形式多種多樣，還有構造向量、構造數(shù)列等，這里我們不再一一列舉了。通過對以上例題的分析，不難看出，構造法對增強解題能力、培養(yǎng)思維品質(zhì)有著不可低估的作用。數(shù)學的魅力在于追求簡單，而解題中的巧妙構造，往往有化繁瑣為簡潔之功效，是對數(shù)學美最好不過的一次注釋。

參考文獻：

[1]管宏斌.構造對偶式的八種途徑.數(shù)學教學，2005（07）.

[2]邵光華.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學.北京：北京師范大學出版社，1999.

[3]宋玉連.構造法在解題中的應用芻議.連云港教育學院學報，1999（2）.

（作者單位 浙江省蒼南縣錢庫高級中學）