中學(xué)生數(shù)學(xué)解題后的反思

俞征

摘 要：中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，是一種非常自然的現(xiàn)象。但教師必須要引導(dǎo)學(xué)生訂正錯(cuò)誤，并增強(qiáng)學(xué)生的糾錯(cuò)能力，盡量減少錯(cuò)誤的產(chǎn)生。以一個(gè)案例作為窗口，分析中學(xué)生產(chǎn)生解題錯(cuò)誤的原因及反思數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤；回顧與反思；教學(xué)過(guò)程

一、案例

在高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必修5《數(shù)列》有關(guān)知識(shí)中，經(jīng)常利用公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，教師每次在講到這個(gè)公式的時(shí)候，都強(qiáng)調(diào)不要忘了n=1的情況，但總會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在做作業(yè)和測(cè)試過(guò)程中做到相關(guān)題目時(shí)不是忘記了這個(gè)公式，就是忽略了n=1的情況。到了高三復(fù)習(xí)階段，這個(gè)問(wèn)題還是不時(shí)出現(xiàn)。在一次測(cè)試中，碰到一類似題目：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2+n+1（n∈N*），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。全班參加考試48人，有33人解錯(cuò)，其中24人的答案是an=2n（n∈N*）。為了分析他們解題錯(cuò)誤的原因，筆者請(qǐng)全班該題解錯(cuò)的學(xué)生說(shuō)出原因，同時(shí)對(duì)于解題正確的學(xué)生追問(wèn)：你為什么想到對(duì)n進(jìn)行討論？以下是具有代表性的部分學(xué)生的情況反饋。

學(xué)生1：這道題中的公式我都不知道是怎么來(lái)的，做的題也不多，所以碰到這道題目時(shí)，腦袋一片空白。

學(xué)生2：這道題目一開始我就以為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以就根本沒(méi)想到這條公式。

學(xué)生3：平時(shí)也沒(méi)注意到還有n=1這種情況的。

學(xué)生4：我心里是知道要分類討論的，可當(dāng)時(shí)不知道格式該怎么寫，然后又不知道怎么想的，就沒(méi)考慮到n=1這種情況了。

……

二、學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因

分析了學(xué)生的反饋情況，筆者感慨萬(wàn)千，相信學(xué)生解題錯(cuò)誤也是很多中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)過(guò)程中非常頭疼的一件事。為了能“對(duì)癥下藥”地糾錯(cuò)，就非常有必要分析解題錯(cuò)誤形成的原因。筆者認(rèn)為，造成高中學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因大致有以下幾個(gè)方面：

1.曲解題意的錯(cuò)誤

理解題意即審題，這是解答數(shù)學(xué)的第一步，也是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是整個(gè)解題過(guò)程的基礎(chǔ)。但這個(gè)環(huán)節(jié)卻常常被學(xué)生所忽視，往往匆匆讀題后就急于下手，這樣解題極易出錯(cuò)。高中生曲解題意的錯(cuò)誤常常表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

（1）概念、定理模糊不清。

（2）錯(cuò)誤地增添潛在假設(shè)。實(shí)際上，在不改變題意的前提下，增加一點(diǎn)條件會(huì)使得問(wèn)題更容易求解，即有效增設(shè)，有時(shí)會(huì)給解題帶來(lái)“柳暗花明又一村”的效果，但是若錯(cuò)誤地增添?xiàng)l件，便會(huì)引起解題錯(cuò)誤。

（3）形式地記憶公式、定理，對(duì)其本質(zhì)缺乏深刻理解，因此生硬地套用公式造成解題錯(cuò)誤。如，大多學(xué)生只記得an=Sn-Sn-1，而忽略了n=1這種情況。

（4）隱含條件沒(méi)有充分挖掘等。

2.解題策略的錯(cuò)誤

在一般的解題過(guò)程中，探索解題途徑是非常重要但也是最困難的一個(gè)環(huán)節(jié)。有時(shí)候，由于解題方向上的偏差，造成思路受阻或解題長(zhǎng)度過(guò)大，產(chǎn)生多余的思維回路，即使做對(duì)了也費(fèi)時(shí)費(fèi)事。解題策略的錯(cuò)誤經(jīng)常表現(xiàn)為缺乏整體觀念、受思維定式的負(fù)面影響等。

三、反思

1.數(shù)學(xué)教學(xué)要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程

在教學(xué)過(guò)程中，大多數(shù)教師在課堂上就教材的數(shù)學(xué)成分反復(fù)講解、舉例說(shuō)明，把教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)、難點(diǎn)以及學(xué)生中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤都嚼爛喂給學(xué)生，以求消除學(xué)生理解這些教材的困難。雖然有些教師在課堂教學(xué)上設(shè)置了探究環(huán)節(jié)，但由于受課堂時(shí)間等因素的制約，這些環(huán)節(jié)也還是以教師牽引式為主，學(xué)生主動(dòng)思考少，更談不上自主發(fā)現(xiàn)，因而也不理解這些知識(shí)與方法的來(lái)龍去脈，有些學(xué)生即使記住了公式也是一知半解。因此，無(wú)論是新課還是復(fù)習(xí)課，教師應(yīng)重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，重視學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)歷與體驗(yàn)，讓其體會(huì)知識(shí)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法與魅力，并提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探究合作能力等，以減少數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的發(fā)生。

2.讓學(xué)生的“錯(cuò)誤”暴露在陽(yáng)光下

“失敗乃成功之母”“錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)”，學(xué)生在解題時(shí)，由于基礎(chǔ)不扎實(shí)或思維上的偏差，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。而很多教師為了避免學(xué)生在口頭回答問(wèn)題、課堂練習(xí)、課后作業(yè)中出錯(cuò)，經(jīng)常會(huì)向?qū)W生提示或先分析題目中容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)。相信教師的出發(fā)點(diǎn)是為了減少學(xué)生在本次練習(xí)中的錯(cuò)誤率，但從本質(zhì)上卻是增加了以后解題出錯(cuò)的可能性。這樣做的另一個(gè)弊端是抹殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，也掩蓋了學(xué)生掌握知識(shí)情況的真實(shí)性。所以教師若能經(jīng)常有效創(chuàng)設(shè)糾錯(cuò)情節(jié)，讓學(xué)生的錯(cuò)誤暴露在自己面前，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因，尋找治錯(cuò)的“良藥”，效果會(huì)比教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)要好很多。

3.重視解題回顧與反思

有些學(xué)生不太注意檢驗(yàn)解題結(jié)果的正確性，常常只要一解完題就如釋重負(fù)，萬(wàn)事大吉了，沒(méi)有養(yǎng)成這種思考與驗(yàn)證的習(xí)慣。這就直接導(dǎo)致了部分學(xué)生在考試過(guò)程中會(huì)做的題得不了分。而實(shí)際情況中，檢查有無(wú)疏漏、差錯(cuò)和筆誤是非常必要的，如，分式方程、應(yīng)用題等都少不了檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)。養(yǎng)成解題回顧與反思的好習(xí)慣，不僅可以使我們避免一些不必要的錯(cuò)誤，而且可以使我們對(duì)問(wèn)題有深刻的認(rèn)識(shí)，并加強(qiáng)我們對(duì)解決問(wèn)題的信任度，取得融會(huì)貫通、舉一反三的效果。作為教師，不但要指導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，更要教學(xué)生如何積累解題回顧與反思經(jīng)驗(yàn)，而有些教師自己本身都忽視了解題檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)。教師應(yīng)在平時(shí)教學(xué)中滲入一些解題檢驗(yàn)方法：復(fù)查核對(duì)、代入檢驗(yàn)、多解對(duì)照、逆向運(yùn)算、觀測(cè)估值、特例檢驗(yàn)、數(shù)形結(jié)合等。

經(jīng)過(guò)以上的分析可以看出，學(xué)生的解題過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的，但我們可以通過(guò)一些措施減少錯(cuò)誤的發(fā)生。而如何有效地控制錯(cuò)誤、減少解題錯(cuò)誤是一個(gè)艱巨的系統(tǒng)工程，要花長(zhǎng)時(shí)間去探索與研究，這還有待于所有教育工作者的共同努力。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.陜西師范大學(xué)出版社，2004-07.

[2]劉新春.一個(gè)解題錯(cuò)誤的案例分析.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（09）.

[3]向正凡.辨析中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤與培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力的研究[D].湖南師范大學(xué).

（作者單位 浙江省舟山市普陀區(qū)六橫中學(xué)）