以一元二次方程復(fù)習(xí)為例談初中生的思維能力培養(yǎng)

鐘云亮

摘 要：一元二次方程的學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，在對這部分內(nèi)容進行的學(xué)習(xí)的時候，很多學(xué)生往往由于考慮的不夠周全出現(xiàn)錯誤。針對一元二次方程的復(fù)習(xí)，對學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)進行簡單分析。

關(guān)鍵詞：一元二次方程；復(fù)習(xí)；初中數(shù)學(xué)；思維能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一元二次方程這一章節(jié)是重點內(nèi)容，在學(xué)習(xí)的時候不但要傳授給學(xué)生方法，還要對學(xué)生的思維能力進行培養(yǎng)，本文主要從一元二次方程這一章的復(fù)習(xí)方法進行分析，討論提高學(xué)生思維能力的方法。

一、培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性

一元二次方程章節(jié)的復(fù)習(xí)目的在于對所學(xué)知識進行消化、鞏固，以加深學(xué)生的記憶和理解，對學(xué)習(xí)過程中的知識遺漏進行彌補。所以，最為關(guān)鍵的就是對知識的梳理，尤其對培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性有很大的幫助。

1.定義

例1.以下式子中，哪些屬于一元二次方程？

（1）x（x-1）x2；（2）x2+■+4=0；（3）x（x-1）=5。

解：（3）式為一元二次方程。

2.解法

（1）直接平方法

例2.求方程（x+3）2=4的解。

解：直接開平方可得x+3=±2，所以，x=±2-3，即x1=-1，x2=-5。

（2）配方法

例3.求方程x2-4x+1=0的解。

解：配方可得：x2-4x+22=-1+22，即（x-2）2=3，所以x-2=±■，即x1=■+2，x2=-■+2。

（3）公式法

例4.求方程x2-4x+1=0的解。

解：因為Δ=（-4）2-4×1×1=12，所以，x=■=■，即x1=2+■，x2=2-■。

（4）因式分解法

例5.求方程x2-2x=0的解。

解：提公因式可得：x（x-2）=0，所以，x1=0，x2=2。

3.根的判別式

當(dāng)Δ>0時，方程存在兩個不等的實根；當(dāng)Δ=0時，方程存在兩個相等的實根；當(dāng)Δ<0時，方程沒有實根；則當(dāng)Δ≥0時，方程存在實數(shù)根。

4.根與系數(shù)的關(guān)系

例6.已知方程x2-4x+1=0，求x1+x2，x1·x2的值。

解：x1+x2=-■=-■=4，x1·x2=■=■=1。

二、培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性

在教學(xué)中，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生在思考問題的時候丟三落四，不是不深入就是不全面。所以，在教學(xué)中，教師要注意設(shè)置一些具有陷阱的問題，一來可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，二來也使學(xué)生考慮問題的周密性思維得到培養(yǎng)。

例7.如果關(guān)于x的方程（m-3）x|m|-1+4x+5=0是一元二次方程，求m及x12+x22的值。

解：根據(jù)題意可以得到|m|-1=2，m-3≠0可解得m=-3，帶入原方程可得：6x2-4x-5=0。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

x1+x2=-■=-■=■，x1·x2=■=■=-■，

所以，x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2=（■）2-2×（-■）=■。

例8.如果關(guān)于x的方程■是一元二次方程，判斷根的情況并求a的取值。

解：根據(jù)題意可以知道a2-2=22-a≠0，可得a=-2，帶入原方程可得到：4x2+5x+6=0。

因為a=4，b=5，c=6，

所以，Δ=b2-4ac=52-4×4×6=25-96<0

因此，方程沒有實數(shù)根。

三、培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

在一元二次方程復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同方向、不同角度對同一個問題去分析、去思考、去研究，從而得到多種解題方法，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且也能對學(xué)生思維的發(fā)散性進行培養(yǎng)。

例9.求方程3x（x-1）=2x-2的解。

解：方法一：求根公式法

原方程可以轉(zhuǎn)化為：3x2-5x+2=0。

因為：a=3，b=-5，c=2，

所以，Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×2=1，

所以，x=■=■=■，

所以，x1=1，x2=■。

方法二：配方法

原方程可以轉(zhuǎn)化為3x2-5x=-2。

因為：x2-■+（■）2=-■+（■）2，所以，（x-■）2=■，

所以，x-■=±■，則：x1=1，x2=■。

方法三：交叉相乘法

原方程可以轉(zhuǎn)化為3x2-5x+2=0，（3x-2）（x-1）=0，

則有3x-2=0或者x-1=0，所以：x1=1，x2=■。

方法四：提公因式法

原方程可以轉(zhuǎn)化為3x（x-1）=2（x-1），則3x（x-1）-2（x-1）=0，

提公因式可得：（x-1）（3x-2）=0，則有（x-1）=0或（3x-2）=0，

所以：x1=1，x2=■。

總而言之，只要數(shù)學(xué)教師對新課標(biāo)認真地學(xué)習(xí)和總結(jié)，對新教材進行深入地鉆研，運用新的教育教學(xué)理念，根據(jù)學(xué)生的年齡層次、心理特征以及認知規(guī)律，做好以上方面的工作，就能夠培養(yǎng)其思維能力，使教育教學(xué)的目標(biāo)得以實現(xiàn)。

參考文獻：

[1]秦道崇.淺析分解因式法解一元二次方程[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2012（22）.

[2]劉頓.一元二次方程根與系數(shù)作用大[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)：初中版，2012（24）.

（作者單位 四川省江油市重華學(xué)校）