打造自然的數(shù)學課堂

王德昌

關于好課的標準，仁者見仁，智者見智.但有一點是共同的，那就是：好課應該是真實的課，好課應該是自然的課.要打造好課，首先，應著力打造自然的課堂.

1新課的引入要自然

“數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一想它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其它概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味”（人教版新課標教材《主編寄語》）

引入新課是數(shù)學課堂教學的重要環(huán)節(jié)，其基本要求是：通過設置恰當?shù)膯栴}情境，迅速激活學生思維，以積極主動的狀態(tài)投入到新課的學習.

研究和實踐表明：只有當學習內(nèi)容對學生具有潛在意義且學生具有有意義學習心向時，有意義學習才能發(fā)生.如何使學生對即將開始的新課具有有意義學習心向呢？要盡可能通過具體豐富的實例或巧妙的問題，使學生認識即將開始學習的新知識在數(shù)學發(fā)展或日常生活中的重要性，或者新課的學習是數(shù)學發(fā)展的必然需要.如：學習數(shù)系的擴充，由一元二次方程的根的存在性入手，講圓錐曲線從展示生活中的豐富多彩的圓錐曲線的美和應用入手，講三角函數(shù)由勻速圓周運動入手，講概率論由街頭賭博故事入手等都是很好的引入方式.

2問題的提出要自然

問題是數(shù)學的心臟，問題是開啟學生思維之門的鑰匙.好的問題，應該體現(xiàn)關注知識的內(nèi)在聯(lián)系；好的問題，應該順應學生的認知心理；好的問題應該是自然而然產(chǎn)生的；好的問題，最好應該是學生自己提出的.應特別注重在新舊知識的連結點處設置問題，創(chuàng)設問題情境.如學習雙曲線的簡單幾何性質(zhì)前，學生已學習了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，初步掌握了通過曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本思想方法.教學《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》時，可先引導學生回顧如下問題：我們是從哪些方面研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)的？ 這些性質(zhì)分別是怎樣研究的？分別得出了怎樣的結論？

再如：通過如下問題引導學生由樣本數(shù)據(jù)的均值得出隨機變量的均值的概念.

問題1：求1，1，1，1，2，2，2，3，3，4的均值.

列出1×4+2×3+3×2+4×110=1×410+2×310+3×210+4×110；

問題2：如何用概率的視角解釋上述算式中的410，310，210，110？

問題3：類比上述均值的算法，已知隨機變量的分布列，你能否得到其均值的算法？

3問題的解決要自然數(shù)學教學最大的功能應是：培養(yǎng)、提高學生的思維能力以及分析問題、解決問題的能力.要達到這一功能，教師必須善于啟發(fā)、引導學生通過自主探究獲得解決問題的思路和方法.實際上，絕大多數(shù)數(shù)學問題的解決，都有章可循！課堂教學中，教師要尊重學生思維，立足基礎知識和基本思想方法，引導學生自然而然地得到解決問題的方法和措施.要堅決杜絕人為色彩過于濃厚的變戲法似的讓學生無法領會的所謂技巧！

案例1代點相減法如何想到？

已知橢圓x29+y24=1，點P（1，1）為橢圓內(nèi)一點，直線l與橢圓交于兩點A，B，且點P是線段AB的中點，求直線l的方程.

面對上述問題，多數(shù)數(shù)學教師會向?qū)W生介紹“代點相減法”，這是必要的！但也有不少老師僅停留在直接向?qū)W生介紹的層面上，對這一方法的來龍去脈未予理會或雖知道要講來龍去脈但不知從何講起.實際上，只要想一想：解析幾何的特色是將幾何問題坐標化，解答上述問題時，設出交點的坐標，目標是出現(xiàn)中點坐標和斜率表達式，并不關注具體的坐標是什么，這樣才有設而不求！

案例2關于變更主元法. x2+ax>2x+a+1在a∈[-1，1]上恒成立，求x的取值范圍.

上述問題，經(jīng)常被作為教師向?qū)W生介紹“變更主元法”的例子.筆者認為：變更主元，這一名字就讓人感覺不自然！為什么呢？“王侯將相，寧有種乎！”誰說x一定是所謂“主元”了！實際上，所謂“主元”、“次元”不過是主觀所為！只要仔細讀一下題目，就不難發(fā)現(xiàn)：本題是a在指定范圍內(nèi)變化，求x的取值范圍問題.最自然的想法是將a視為自變量，于是就自然產(chǎn)生了將式子進行整理，整理成關于a的不等式恒成立問題.其解法水到渠成！

解問題即關于a的不等式（x-1）a+x2-2x-1>0在a∈[-1，1]時恒成立，

4新知的發(fā)現(xiàn)要自然實際需要和數(shù)學知識的內(nèi)部聯(lián)系，促成了數(shù)學學科的不斷發(fā)展.“溫故而知新”，數(shù)學新知常藏在舊知之中！數(shù)學教學中，教師要特別善于引導學生透過舊知發(fā)現(xiàn)新知，讓新知來得自然些！如：橢圓的第二定義 “平面內(nèi)，到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比是一個常數(shù)e（0

5思想方法的滲透要自然

數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括，具有高度的概括性、隸屬性、層次性、遷移性等特點. 數(shù)學教學中，要特別注重對基本的數(shù)學思想方法的挖掘和滲透，使學生真正做到既用具體方法解決問題，又用相應思想統(tǒng)攝思維、引領思考.在直白和滲透的關系上要更加注重潛移默化的滲透.

如《數(shù)列》一章有豐富的數(shù)學思想方法，為引導學生體會、掌握、運用這些思想方法.可以通過提出如下各類的問題，放手讓學生探究、交流，討論其解決的關鍵和經(jīng)驗，進而師生共同討論，上升到數(shù)學思想的高度，用以指導數(shù)列學習.

類型一：通過觀察數(shù)列的前若干項，寫出數(shù)列的一個通項公式（滲透由特殊到一般的歸納思想）.

類型二：處理等差數(shù)列和等比數(shù)列問題時，通過已知條件建立方程（組）解出a1、d（q）（滲透方程思想）.

類型三：借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列增減性，借助二次函數(shù)圖象和性質(zhì)處理等差數(shù)列的前n項和的最值問題（滲透函數(shù)的思想）.

類型四：求等比數(shù)列的前n項和時，對公比q是否等于1進行討論（滲透分類討論思想）.類型五：已知an+1=pan+q（p，q為常數(shù)），求an.可將已知關系式變形為an+1+qp-1=p（an+qp-1），借助等比數(shù)列的知識先求出an+qp-1，再求出an（滲透轉(zhuǎn)化思想）.

6教學環(huán)節(jié)的過渡要自然.

一節(jié)好課，應該是符合學生認知規(guī)律的課；一節(jié)好課，應該是層次清晰、結構合理的課.如何做到層次清晰、結構合理，教學諸環(huán)節(jié)的過渡和轉(zhuǎn)換很關鍵.可以通過設計承上啟下式的過渡語實現(xiàn)教學環(huán)節(jié)的自然過渡.