割補(bǔ)法在立體幾何中的運(yùn)用

萬光付

通過將某一圖形分割或補(bǔ)充為比較簡單的圖形或特殊的圖形來研究的方法稱為割補(bǔ)法。在高中立體幾何的棱柱的側(cè)面積公式的證明，棱錐的體積公式的推證中，已經(jīng)接觸過這—解題的思想方法，它是解決空間問題常用的方法。對于某些較復(fù)雜的問題或擬柱體問題，如果割補(bǔ)法運(yùn)用得當(dāng)，可以把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，從而可以簡化運(yùn)算及論證過程。下面結(jié)合例子談?wù)劯钛a(bǔ)法在解題中的應(yīng)用。

一、利用割補(bǔ)法求兩異面直線所成的角

例1，已知直線L上有兩定點(diǎn)A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角為120°，求AB、CD所成的角。

分析：根據(jù)條件所得的圖形不夠直觀，難以得出交角，故把它補(bǔ)成—個(gè)直三棱柱，如圖1：

由CF||AB可得：

DCF就是兩異面直線AB、CD所成的角。通過解三角形即可求得AB、CD所成的角。

注：此題通過把原圖補(bǔ)成—個(gè)直三棱柱，相當(dāng)于把AB平移到CF，則兩異面直線所成的角就明顯了。

例2，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是非a、b、c、d（a>b），求AC與BD所成的角的余弦。

分析：在長方體ABCD-A1B1C1D1的相鄰處補(bǔ)上一個(gè)全等的長方體，如圖2：

連結(jié)C1B2，AB2，則B2C1//BD，可得： AClB2就是ACl與BD所成的角。在 AB2C1中

AB2= C1B2=

Cl A=

cos AClB2=

注：在原幾何體中亭吐一只類似的幾何體，就能起到線段的平移作用。

二、利用割補(bǔ)法求體積

例3，如圖3 在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長3的正方形，EF//AB，EF= ，EF與平面AC的距離為2，則該多面體的體積為（ ） （A） （B） 5 （C） 6 （D）

法一，分析：多面體ABCDEF是屬于擬柱體類的幾何體，把它補(bǔ)成—個(gè)三棱柱，則

V多面體ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG

= ×3×2×3- × ×3×2× =

正確答案為D

法二，分析：如圖4，連結(jié)BE，CE，則平面BEC把這一多面體分割為四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF，

V多面體ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF

由于VE-ABCD= ×9×2=6

V多面體ABCDEF>6

從而確定正確答案為D。

一般擬柱體的求積問題，通常通過割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的求積問題。

三、割補(bǔ)法在證明中的應(yīng)用

例4，如圖5，正四棱錐S-ABCD的側(cè)面都是正三角形，求證它的相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角是側(cè)面與底面所成的二面角的二倍。

分析：作SO 底面ABCD，取AB的中點(diǎn)E，SD的中點(diǎn)F，連結(jié)OE，AF，CF，易證 SEO是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角， AFC是兩側(cè)面所成的二面角的平面角。

為了證明 AFC=2 SEO，延長SO到S'，取S'O=SO，連結(jié)S'A，S'B，S'C，S'D，相當(dāng)于把正四棱錐S-ABCD補(bǔ)成了一個(gè)正八面體，則 SES'=2 SEO，故只須證明 SES'= AFC即可，即只須證明 SES' AFC即可。

例5，正三棱柱ABC—AlBlCl中，ABl，BCl，CAl分別是側(cè)面的對角線，已知AB1 BC1，求證：AB1 AC1

分析：如圖6，以面ABl為側(cè)面補(bǔ)一個(gè)與原三棱柱全等的三棱柱ABD—AlBlDl，則四棱柱ABCD—AlBlClDl是一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，連結(jié)BD1，DlC1，則A1B1 C1D1，由三垂線定理易證：

AB1 C1D1，又 AB1 BCl， AB1上面BDl C1

AB1 BD1，而A1C// BD1， AB1 A1C