一題多解應(yīng)該有怎樣的視角

李美林

數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題可以通過(guò)一題多解來(lái)加深對(duì)概念的理解，對(duì)技能的強(qiáng)化，但也容易落入“題海戰(zhàn)術(shù)”的窠臼，如何從條件的特征出發(fā)，從問(wèn)題的本源入手分析解題的方向應(yīng)是教學(xué)的重點(diǎn)，而不是簡(jiǎn)單地進(jìn)行題型練習(xí)，技能鞏固。避免讓一題多解成為解題的“秀工廠”。由于 包含有豐富的數(shù)學(xué)元素，因此從數(shù)學(xué)元素的特點(diǎn)出發(fā)可以合理、自然地提出解題的方案。

法1：（輔助角公式法）從式子的結(jié)構(gòu)特色出發(fā)，將 看成是三角和角公式 的特殊情況，

因?yàn)?。

法2：（單位圓法）根據(jù) 是兩個(gè)有聯(lián)系的實(shí)數(shù)，將它們視為一個(gè)點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，因此從 的解析幾何意義入手。

即：注意到點(diǎn)P的軌跡是四分之一圓，作出單位圓 ，根據(jù)圖形中三角形 的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊”，得 ，∴ 。又因?yàn)?，∴ ，∴ 。

因此 。

法3：（向量法） 作為一個(gè)特殊的數(shù)值，它可以是視為向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果，即為 ，

所以 ，其中

，因此 。

法4：（解析法） 看作是單位圓上 的兩個(gè)點(diǎn)，并通過(guò)整體設(shè)元 ，的將問(wèn)題轉(zhuǎn)化直線與圓的位置關(guān)系相交或相切時(shí)， 的取值范圍。

【解析】設(shè) ，則 ，令 ，所以 ，化簡(jiǎn)得

，令 解得 。因此 。

法5.（導(dǎo)數(shù)法）將 視為關(guān)于 一元函數(shù)，因此可以利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的取值范圍。

【解析】 ，駐點(diǎn)為 ，

0

+ 0 —

極小值1 增 極大值

減 極小值1

因此 。

當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為 并進(jìn)行求導(dǎo)，但較繁瑣。

法6：（三角函數(shù)定義法）從 的原始定義的出發(fā)，即 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在 時(shí)，求 的取值范圍。（與單位圓方法相近）。

【解析】在RT△ABC中， ，則 ，

又三角形中兩邊之和大于第三邊得 ，∴ ，

綜上知

法7：將 視為函數(shù) 上兩個(gè)特殊點(diǎn)，即滿足 =1，利用函數(shù) 是凹函數(shù)，得 （也可以視為均值不等式的一個(gè)應(yīng)用），即解得 ，這時(shí)條件可以改變?yōu)?。 可以借助上述其他解法的方法求解。

法8：（分析法）將問(wèn)題作為不等式證明一種題型，利用分析法，這時(shí)只是簡(jiǎn)單地把對(duì)象看成是“分析法”的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)的是“分析法”技法的應(yīng)用，對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)學(xué)意義并無(wú)太多的關(guān)注。

以下問(wèn)題供大家思考。

1.（2009江西卷理）若函數(shù) ， ，則 的最大值為

A.1 B. C. D.

【解析】因?yàn)?= =

當(dāng) 是，函數(shù)取得最大值為2. 故選B

2.已知函數(shù) .若 ，求 的最大值和最小值；

【解析】