淺析“一次函數(shù)在疑難問題和生活中的作用”

孫昌余

一次函數(shù)是函數(shù)中應用最普遍，最簡單的一種函數(shù).它涉及了多種函數(shù)方法和思想，比如數(shù)形結合，分類討論這些思想，還有待定系數(shù)法，排除法等方法.

一次函數(shù)包括以下方面的運用：

一、 利用圖像和題目中給出的數(shù)據(jù)進行分析和計算（數(shù)形結合）.

二、 對于有多種答案或方法的題目進行分類計算，在某些特定題目中還可選擇最佳答案（分類討論）.

三、 一次函數(shù)還可以解一些用一般方法解不了或很難解的題型.四、在生活中也能夠解決一些數(shù)據(jù)復雜多變的數(shù)學問題.各種類型的例題可以反映不同的思想：

例1 對于一次函數(shù)y=（2k-5）x+（k-4）.（1）若其圖像經(jīng)過第一，三，四象限，化簡+.（2）若函數(shù)為正比例函數(shù)，且與y=mx的圖像關于x軸對稱，求m的值.

分析 要解此題，需先畫出一次函數(shù)y=（2k-5）x+（k-4）的圖像，如圖1.∵圖像經(jīng)過一，三，四象限，∴2k-5>0，k-4<0，根據(jù)這兩個條件求出k的取值范圍，就可以解第（1）題了.而第（2）題，∵該函數(shù)是正比例函數(shù)，∴k-4=0且2k-5≠0，再求出此時k的值以及函數(shù)解析式∵兩正比例函數(shù)的圖像關于x軸對稱，系數(shù)值互為相反數(shù)，∴m的值等于此函數(shù)解析式中“k”的相反數(shù)的值.

例題1 主要是考察我們對函數(shù)圖像的理解及運用，其中還運用了數(shù)形結合這種比較常用的數(shù)學思想，像這種題型的題目，并不少見，在函數(shù)圖像上得出的結論必須很好地運用在題目中，才能更好地解決題目.

例2 向陽村建起了天然氣供應站，氣站根據(jù)實際情況，每天從零點開始至凌晨4點，只打開進氣閥和供氣閥，20：00——24：00只打開供氣閥，已知氣站每小時進氣量和供氣量是一定的，圖2反映了某天儲氣量y（米2）與x（小時）之間的關系：

（1） 求0：00——20：00之間氣站每小時增加的儲氣量；

（2） 求20：00——24：00時，y與x的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)圖像；

（3） 照此規(guī)律運行，從這天零點起三晝夜內，經(jīng)過多少小時氣站儲氣量達到最大？并求出最大值.

分析 由圖2可知在0：00——4：00之間氣站儲氣量從30m3增加到230m3，那么0：00——4：00之間氣站每小時增加的儲氣量就是增加的氣量和時間的商；同理可得4：00——20：00之間氣站每小時增加的儲氣量，最后再算出氣站每小時的供氣量.

在第（2）小題中，用第（1）小題求出的氣站每小時供氣量算出24：00時的儲氣量，再用待定系數(shù)法設函數(shù)關系式為y=kx+b，最后求出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.

通過第（2）小題算出的24：00時氣站儲氣量再算出每天儲氣量增加的數(shù)量，再由圖3可知，每天20：00時氣站儲氣量達到最大值，因此，三晝夜內，第三天的20：00時，即經(jīng)過了24×2+20=68小時，氣站的儲氣量達到最大，最后用238加上2乘以每天儲氣量增加的數(shù)量所得出的答案就是儲氣量的最大值.

例2體現(xiàn)了一次函數(shù)在生活中的應用，其中最大的特點就是運用了待定系數(shù)法，巧妙地求出所畫函數(shù)圖像上的一個未知點的坐標，并求出函數(shù)解析式.同時也說明了看圖解題時，要注意轉折點以及直線方向上的變化，并從直線上點的坐標分析出一些必要的關系.

例3 我市某鄉(xiāng)A，B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200噸，B村有柑橘300噸.現(xiàn)將這些柑橘運到C，D兩個冷藏倉庫，已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸；從A村運往C，D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B村運往C，D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑橘重量為x噸，A，B兩村運往兩倉庫的柑橘運輸費用分別為yA元和yB元.

（1） 求出yA，yB與x之間的函數(shù)關系式；

（2） 試討論A，B兩村中，哪個村的運輸費用較少；

（3） 考慮到B村的經(jīng)濟承受能力，B村的柑橘運費不得超過4830元，在這種情況下，怎樣調運，才能使兩村運費之和最小？求出這個最小值.

分析 這道題所涉及的數(shù)據(jù)多，需要列表格（如上表），由題意得，A村運往C倉庫x噸柑橘，運往D倉庫就是（200-x）噸；C倉庫已有x噸柑橘，還需（240-x）噸，所以B村要運往C倉庫（240-x）噸柑橘，而D倉庫已有（200-x）噸柑橘，B村還需運往此處（60+x）噸.

根據(jù)表格列出函數(shù)關系式：yA=20x+25（200-x）=-5x+5000（0≤x≤200）；yB=15（240-x）+18（60+x）=3x+4680（0≤x≤200）.再對A，B兩村的運費高低進行分類：yA=yB；yAyB.分別計算三種情況下各自x的值.由第（3）小題的題意得yB≤4830，接著用代入法把yB=3x+4680代入yB≤4830求出x的取值范圍.設兩村運費之和為y，y= yA+yB=-2x+9680，由于y隨x的增大而減小，所以當x的值最大時，兩村運費之和最小.

例題3 也是一道一次函數(shù)運用在生活中，并且充分體現(xiàn)分類思想的典型例題.遇到這種問題，特別是在討論函數(shù)關系式，條件過多而又復雜時，可以利用表格法使條件進一步明了.這道題還需注意的一個地方是：在利用一次函數(shù)的單調性解決實際問題時，要注意x的取值范圍.

總得來說，一次函數(shù)是指由一個變量和一些常量，通過任何方式（有限的或無限的）形成的解析表達式，它是通過一些其它的量經(jīng)過一系列的運算而得到的.一次函數(shù)不僅能解決疑難問題，還能運用在一些生活問題中，比如當時間一定時，路程是速度的一次函數(shù)；當單價一定時，總價是數(shù)量的一次函數(shù)等等.一次函數(shù)就是這么一個奇怪的東西，只有認真，深入地去研究它，才能發(fā)現(xiàn)它所蘊藏的秘密.