淺談數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的幾個(gè)案例

姚源

摘要：科學(xué)研究法，主動(dòng)獲取知識(shí)，建立生動(dòng)的情景模式，重要的著眼點(diǎn)是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；一種新的學(xué)習(xí)方式的掌握和運(yùn)用，需要依托相應(yīng)的課程載體；開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)研究；教育核心；知識(shí)理論

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ？搖文章編號(hào)：1674-9324（2013）50-0155-03

自20世紀(jì)中葉以來，全球隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的不可或缺的重要組成部分。

但是由于數(shù)學(xué)這門學(xué)科其本身具有特有的抽象、枯燥性，因此很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在心理上很自然的產(chǎn)生出恐懼性，厭學(xué)等態(tài)度，但迫于考試約束和壓迫性，學(xué)生們又不得不硬著頭皮去學(xué)習(xí)，沒有從自己心里產(chǎn)生一種主動(dòng)的求知欲，從而在學(xué)習(xí)過程中處處被動(dòng)，布滿荊棘。使得數(shù)學(xué)教育目標(biāo)和學(xué)習(xí)效果都達(dá)不到預(yù)期目的。所以大力宣傳與普及一種另類的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)有新的認(rèn)識(shí)是勢(shì)在必行的，也是刻不容緩的。

而研究性學(xué)習(xí)就是其中的一類。這類學(xué)習(xí)是學(xué)生們?cè)诶蠋煹闹笇?dǎo)下，從身邊的自然、所處的社會(huì)和自己的生活中選擇和確定專題進(jìn)行研究，以類似科學(xué)研究的方式主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題，并在研究過程中通過多種渠道主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。而學(xué)生所學(xué)知識(shí)的獲取、學(xué)習(xí)能力的提高、好的學(xué)習(xí)行為習(xí)慣的養(yǎng)成，歸根到底是學(xué)生正確學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果。所以，我們的教育需要關(guān)注的重要問題是要讓我們?cè)絹碓蕉嗟膶W(xué)生形成正確的積極的學(xué)習(xí)方式方法。而在現(xiàn)有教育環(huán)境下、教學(xué)條件下，許多老師對(duì)學(xué)生的知識(shí)傳輸方式以“填鴨式”、“灌輸式”為主，而學(xué)生的學(xué)習(xí)又偏重于機(jī)械記憶、淺層理解和簡(jiǎn)單應(yīng)用，僅僅立足于被動(dòng)地接受教師的知識(shí)灌輸。這種學(xué)習(xí)方式十分不利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，而且掌握得也不很扎實(shí)，即使記憶下來，也是暫時(shí)記憶。針對(duì)這一狀況，當(dāng)前教學(xué)改革的一個(gè)重點(diǎn)是通過教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和途徑方法來調(diào)整、幫助學(xué)生改變?cè)械膯渭兘邮苁降膶W(xué)習(xí)方式，改變被動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度，在開展有效的主動(dòng)接受學(xué)習(xí)的同時(shí)，形成一種對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)探求，并重視實(shí)際問題解決的主動(dòng)積極的學(xué)習(xí)方式。

一、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透研究性學(xué)習(xí)

求學(xué)是人們發(fā)自內(nèi)心的對(duì)知識(shí)的渴望和源泉，學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望越高，發(fā)憤圖強(qiáng)的學(xué)習(xí)精神越強(qiáng)烈。老師可以對(duì)課例進(jìn)行實(shí)例操作，讓學(xué)生跟著練習(xí)并自由發(fā)揮，讓課堂氣氛活躍，充滿朝氣勃勃，這樣學(xué)生感到學(xué)習(xí)起來很輕松，同時(shí)腦海思維又不斷擴(kuò)展到了新的畫面。學(xué)生把自己的思想也融合到了課堂上。例如在講解斜三角形應(yīng)用題時(shí)，我建立的情景模式是：“現(xiàn)在通信技術(shù)的發(fā)展可以說是日新月異，手機(jī)的使用已經(jīng)達(dá)到了普及化，無論是公園里晨練的老人還是自習(xí)室上課的學(xué)生，幾乎人手一部手機(jī)?？梢哉f，通信技術(shù)的發(fā)展給人類提供了便捷，但是有時(shí)也會(huì)造成麻煩，因?yàn)槭謾C(jī)通訊是要通過網(wǎng)絡(luò)信號(hào)作媒介才能得以體現(xiàn)。如果某一地區(qū)沒有覆蓋網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，那么你的通信工具只能當(dāng)玩具。所以，信號(hào)的覆蓋顯得格外重要。在某一山區(qū)，通訊公司為了將該地覆蓋信號(hào)，想在山（即三角形BED）高ED上架一座信號(hào)塔。信號(hào)塔太低，盲區(qū)太多；信號(hào)塔太高，則浪費(fèi)材料，且有危險(xiǎn)，所以塔的高度既不能太高，也不能太低，要恰到好處才行。已知條件是山坡BD與水平方向成？墜，從B，C兩點(diǎn)測(cè)得塔的張角分別為？茁，？酌，若BC=a，求理論塔高為多少？”這一問題是這節(jié)課中的解斜三角形的問題，只要掌握解題方法，問題很容易被攻克。在三角形ABD中，利用已知的？茁角和？酌角，可以求出該三角形三個(gè)內(nèi)角，又已知BC長(zhǎng)為a，可以利用正弦定理求出邊AC的長(zhǎng)，再在三角形ACD中求出三個(gè)內(nèi)角，再利用一次正弦定理就可求出塔高AD來。這樣盡管這節(jié)課的內(nèi)容是一些繁雜枯燥的角度和正弦定理的計(jì)算，但是將同學(xué)們所關(guān)心的手機(jī)通信知識(shí)運(yùn)用在課堂中，學(xué)生在課堂上很是興趣盎然。因?yàn)閯偛潘f的情景模式部分，都是發(fā)生在學(xué)生們身邊并且感興趣的事物，青少年學(xué)生求知欲望強(qiáng)，敢說、敢想，喜歡發(fā)表自己的意見，組織討論能很好地發(fā)揮這種心理優(yōu)勢(shì)。有一次在講空間立體幾何中面與面的位置關(guān)系的時(shí)候，我出了這樣一道選擇題：已知其中一個(gè)平面和另外兩個(gè)平面都垂直，則這另外兩個(gè)平面的位置關(guān)系是：A.平行；B.垂直；C，平行或垂直然后讓同學(xué)們思考和討論，教室里的氣氛一下活躍了，爭(zhēng)論的焦點(diǎn)集中在另外兩個(gè)平面是否垂直，兩種意見爭(zhēng)持不下，這時(shí)坐在后面的一個(gè)男同學(xué)用手指了一下墻角，站起來大聲告訴同學(xué)們：“這個(gè)現(xiàn)成的模型說明了另外兩個(gè)平面的確存在垂直的關(guān)系，因?yàn)榈孛婵梢钥闯墒堑谝粋€(gè)平面，而對(duì)著大家的黑板面和靠著窗戶的墻面分別都與地面垂直，這符合題目條件，然后黑板面和靠窗戶的墻面位置關(guān)系顯見，它們也是垂直的，所以答案應(yīng)該是C。說完后我給了肯定的回復(fù)，選C的同學(xué)們興奮極了。最后教師充分肯定了這位同學(xué)的創(chuàng)造精神并理論上證明了這一結(jié)論，使另一部分同學(xué)心服口服。

又例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)和指數(shù)函數(shù)時(shí)，遇到了一道“將紙對(duì)折”的問題，我讓同學(xué)們自己找材料，看誰對(duì)折的次數(shù)多。很多同學(xué)興致勃勃地拿出早就準(zhǔn)備好的紙，有的是作業(yè)本紙，有的是A4打印紙，有的是報(bào)紙，大部分同學(xué)都對(duì)折了6次，少數(shù)同學(xué)對(duì)折了7次就再也折不過去了。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？我用簡(jiǎn)單的指數(shù)運(yùn)算來解釋就可以讓大家理解，解釋完后同學(xué)們豁然開朗，緊接著我又從其他角度引入了該影響問題的因素，紙張的對(duì)折次數(shù)與其面積、厚薄、硬度有關(guān)，細(xì)長(zhǎng)、柔軟、薄些的紙，折的次數(shù)會(huì)比較多。從力學(xué)方面講，每張紙對(duì)折一次，厚度就翻一倍。假如一張紙的厚度為0.01毫米，那么折9次后，紙的厚度約為5毫米。隨著厚度的增加，折了七八次后，折疊起來的紙張就會(huì)很厚了，繼續(xù)對(duì)折就不可能了。而紙折的次數(shù)與個(gè)人力量的大小并無太大聯(lián)系，但同樣厚度的紙，面積越小對(duì)折難度也就越大。因此剛才那位拿報(bào)紙的同學(xué)比其他同學(xué)折的次數(shù)多，原因就在這里。但是9次的結(jié)果并不是不能打破。我們?cè)诰W(wǎng)上搜了一下，有人曾拿50米長(zhǎng)的長(zhǎng)條新聞紙進(jìn)行對(duì)折，最多折了10次，而用1000米長(zhǎng)的長(zhǎng)條新聞紙，最多折了11次。據(jù)說，創(chuàng)折紙次數(shù)世界紀(jì)錄的是個(gè)美國(guó)人——這個(gè)美國(guó)人用4公里長(zhǎng)的廁紙進(jìn)行對(duì)折，結(jié)果折了13次。如果同學(xué)們有興趣，也可以動(dòng)手試試，看能否打破世界紀(jì)錄。聽到這里，大家都拍手叫好。這節(jié)課既豐富了知識(shí)，又夯實(shí)了指數(shù)的運(yùn)算概念和性質(zhì)。

通過實(shí)事證明：在遵循教學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上，采用生動(dòng)活潑的富有啟發(fā)、探索、創(chuàng)新的教學(xué)方法，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是提高課堂教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生研究能力的重要途徑。

二、數(shù)學(xué)開放題與數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

近些年來，開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種熱點(diǎn)題型，它是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)。該題目有的類型為一題多解；有的同一道題答案卻有幾種，只要求思路清晰明了，運(yùn)用手法準(zhǔn)確；還有的是數(shù)形結(jié)合，可謂靈活多樣。為了使數(shù)學(xué)適應(yīng)時(shí)代的需要，我們選擇了數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)切入口，開放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個(gè)性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。關(guān)于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變?cè)O(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對(duì)命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題。近兩年高考題中也出現(xiàn)了開放題的“影子”，如對(duì)■-lx≤0，是選擇■≥0，還是選擇■≥1呢？選擇前者則得kx+1≥0，？圯x≥-■，之后的解題道路荊棘叢生，而選擇后者則有kx+1≥1，？圯x≥0以后的道路則是豁然開朗。

解答數(shù)學(xué)開放性問題的幾種常用策略：（1）分析所給問題、聯(lián)想實(shí)際應(yīng)用、類比解決策略。對(duì)于由給定的條件尋求相應(yīng)的結(jié)論或是由給定的結(jié)論反溯應(yīng)具備的條件的開放性問題，可通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等策略，執(zhí)因索果探求結(jié)論或執(zhí)果索因反索條件。（2）歸納、猜想、證明策略：對(duì)于比較大小或探求公式的開放性問題，可先通過特例引路，猜想結(jié)論，然后進(jìn)行證明：或者由特殊到一般，由低維到高維探求結(jié)論。（3）假設(shè)存在，驗(yàn)證肯定或反證否定策略：對(duì)于判斷符合條件的某種數(shù)學(xué)“對(duì)象”是否存在的開放性問題，可先假設(shè)該數(shù)學(xué)“對(duì)象”存在，然后據(jù)此進(jìn)行推理，若推出合理結(jié)果，則假設(shè)成立。

三、社會(huì)實(shí)踐與數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)理論與社會(huì)、科學(xué)和生活實(shí)際的聯(lián)系，特別關(guān)注環(huán)境問題、現(xiàn)代科技對(duì)當(dāng)代生活的影響以及社會(huì)發(fā)展密切相關(guān)的重大問題。要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，親身參與社會(huì)實(shí)踐性活動(dòng)。同時(shí)研究性學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)為學(xué)生參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)提供條件和可能。

學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的進(jìn)一步研究，無疑會(huì)激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立思考的習(xí)慣。

1.一塊長(zhǎng)方形苗圃，長(zhǎng)460米，寬300米，在它的四周每隔5米種一棵蘋果樹，那么一共要種多少棵？

2.赤壁大道的兩邊每邊原有81線桿，每?jī)筛g的距離是30米，現(xiàn)改成另一種型號(hào)，每?jī)筛嗑?0米，兩邊共需要多少根這樣的電線桿？

3.有一個(gè)花壇，是由四個(gè)相同的小三角形組成的一個(gè)大三角形，每個(gè)小三角形邊上種了10棵花。大三角形的一周種了多少棵花？一共種了多少棵？

4.用8角的郵票，排列在一張正方形紙的周邊，每邊張數(shù)相等，這些郵票共值19元2角。請(qǐng)你算出每邊的張數(shù)。

5.有一個(gè)報(bào)時(shí)鐘，每敲響一下，持續(xù)聲音可持續(xù)3秒。如果敲響6下，從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需43秒。現(xiàn)在敲響12下，從敲響第一下到結(jié)束，一共要多長(zhǎng)時(shí)間？

6.甲、乙兩個(gè)綠化隊(duì)在3千米的公路兩旁栽樹，每隔20米栽一棵白楊樹，在相鄰的香樟樹中間栽一棵槐樹。甲隊(duì)比乙隊(duì)多栽12棵，甲、乙兩隊(duì)各栽了多少棵？

7.在一座橋上，兩側(cè)有20塊廣告牌，每塊長(zhǎng)3米，寬2米，兩塊廣告牌之間相距8米，靠近橋兩端的廣告牌距離橋兩端都是50米，求這座橋長(zhǎng)多少米？

8.某市一次大型的武警警力閱兵，一共有20個(gè)方陣和50輛警車從主席臺(tái)前通過。每輛警車長(zhǎng)4米，警車之間相距5米。每個(gè)方陣長(zhǎng)10米，每?jī)蓚€(gè)方陣相隔3米，方陣和警車之間相隔8米。這個(gè)隊(duì)伍長(zhǎng)多少米？

在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，社會(huì)實(shí)踐是重要的獲取信息和研究素材的渠道，學(xué)生通過對(duì)事物的觀察、了解并親身參與取得了第一手資料，可以用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)予以解決。以下的問題均可作為簡(jiǎn)單有趣的數(shù)學(xué)研究性問題來進(jìn)行討論：對(duì)于上述問題，有些你也許想過，有些你也許從未想過。這些問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)！數(shù)學(xué)與生活是如此的息息相關(guān)，讓我們發(fā)現(xiàn)并研究這些數(shù)學(xué)問題吧！相信你會(huì)其樂無窮。