基于分形迭代的圖像表達(dá)與構(gòu)造方法

祝傳剛

摘 要：分形幾何可以準(zhǔn)確地描述自然界里的復(fù)雜圖形，該文總結(jié)了分形圖像理論并利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了圖像的仿真表達(dá)，提出了利用分形迭代參數(shù)表征圖像的方法，為目標(biāo)匹配提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：分形圖像 迭代函數(shù)系統(tǒng) 仿真

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）02（c）-00-02

幾何學(xué)是研究物體形狀及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一門自然學(xué)科，歐幾里德幾何學(xué)將物體簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線、面，并通過(guò)解析幾何對(duì)點(diǎn)、線、面進(jìn)行公式化表述。大自然中廣泛存在的花草、山脈，河流、閃電、星系等客觀物體，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，變化無(wú)窮，利用傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)無(wú)法描述這些不規(guī)則物體或圖形，只得將這些自然形態(tài)的圖形標(biāo)上“病態(tài)”標(biāo)簽而加以排除，因此，傳統(tǒng)歐幾里得幾何理論做不到“放之四海而皆準(zhǔn)”。1967年，美國(guó)的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇題為《英國(guó)的海岸線究竟有多長(zhǎng)？》的論文。這篇論文對(duì)海岸線的本質(zhì)作了獨(dú)特的分析：當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺來(lái)測(cè)量時(shí)，對(duì)海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來(lái)近似，因此，測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的。如果你用更小的尺子來(lái)刻畫這些細(xì)小之處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無(wú)數(shù)的曲線近似而成的，隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測(cè)得的曲線長(zhǎng)度也就越大，如果尺子小到無(wú)限，測(cè)得的長(zhǎng)度也是無(wú)限。海岸線的長(zhǎng)度是多少取決于尺子的長(zhǎng)短。

Mandelbrot指出：當(dāng)采用不同尺度的尺子去測(cè)量海岸線長(zhǎng)度時(shí)結(jié)果會(huì)不一樣，很顯然，歐幾里得幾何的長(zhǎng)度概念在處理海岸線的長(zhǎng)度時(shí)遇到了困難，1975年，Mandebrot提出用“Fractal”（分形）一詞來(lái)描述這種自然形態(tài)，分形的理論就此萌芽并迅速發(fā)展起來(lái)，曼德布羅特也自然而然地成為了分形理論的奠基人。曼德布羅特對(duì)分形的定義：”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.” 經(jīng)過(guò)發(fā)展，分形幾何理論體系逐步得以確立。從分形研究的發(fā)展進(jìn)程來(lái)看，許多概念諸如自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等逐漸建立起來(lái)，標(biāo)志著分形理論不斷走向繁榮[1]。

在自然科學(xué)中，具備分形特征的例子比比皆是，利用分形幾何理論可以實(shí)現(xiàn)對(duì)分形對(duì)象的準(zhǔn)確描述，并可以利用計(jì)算機(jī)模擬出具備分形特征的物體或圖象，迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）就是描述分形對(duì)象的有力工具[2]。

1 迭代函數(shù)系統(tǒng)的分形理論

定義1：度量空間與定義在其上的一有限個(gè)的壓縮映射族

組成一迭代函數(shù)系，記為IFS。

，若的壓縮比為，則

稱為IFS的壓縮比。

定理1 設(shè)是完備度量空間上的IFS，壓縮比為c的變換定義為：，

則為上的壓縮比為c的壓縮映射，即，則存在不變集，滿足

且，

定理1 中的不變集稱為該IFS的吸引子。

定理2 設(shè)為完備度量空間上的壓縮比為，則帶凝聚的雙曲IFS，變換定義為：

則是完備度量空間上帶有壓縮比為C的壓縮映射，即，且存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)

，則

2 迭代函數(shù)系統(tǒng)仿真

仿射變換是實(shí)現(xiàn)分形計(jì)算的重要方法，維歐幾里得空間中的仿射變換具有下面的形式：，其中是上的線性變換，而b是中的一個(gè)矢量。仿射變換可以使平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮以及反射的組合[3]。

二維仿射變換為：，

其中，a，b，c，d，e，f為仿射變換矩陣元素，謝爾賓斯基三角形的仿射變換矩陣如表1所示，計(jì)算模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 謝爾賓斯基三角形的計(jì)算模擬結(jié)果（迭代次數(shù)分別為1，3，9次）

橛子樹的仿射變換矩陣如表2所示，計(jì)算模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 橛子樹的計(jì)算模擬結(jié)果（迭代次數(shù)分別為9次，18次，90次）

從模擬結(jié)果可以看出，在自仿射變換相關(guān)參數(shù)設(shè)定合理的情況下，計(jì)算模擬程序很好地模擬了謝爾賓斯基三角形和橛子樹的形狀，對(duì)其他分形圖像的模擬也取得了很好的結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

模擬結(jié)果表明，具備分形特征的圖像可以由少數(shù)幾個(gè)合理的參數(shù)進(jìn)行表征，而自然界的圖像雖然不具備嚴(yán)格的自相似性，但都具備統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似性或局部自相似性，因此，可以通過(guò)自仿射變換實(shí)現(xiàn)自然界實(shí)際圖像的壓縮。從軍事角度考慮，這些看似復(fù)雜的圖像，其信息量并不大，可以利用迭代系數(shù)對(duì)圖像目標(biāo)進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別，由于參數(shù)決定了圖像的細(xì)節(jié)，因此基于參數(shù)的圖像目標(biāo)識(shí)別方法為目標(biāo)自動(dòng)識(shí)別提供了一條新途徑。

參考文獻(xiàn)

[1] 曹磊，韋惠.分形幾何的圖像壓縮研究[J].模式識(shí)別與人工智能，1994（2）.

[2] 張梁斌，周必水.自適應(yīng)遺傳算法與分形圖像壓縮結(jié)合的新方法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2006（7）：249-252.

[3] 李丹，張梁斌.基于Jacquin分形法圖像編碼的matlab仿真實(shí)現(xiàn)[J].萬(wàn)里學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（5）：80-84.