數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用分析

柳曉燕

【摘要】初中數(shù)學(xué)中，方程和函數(shù)是密切相關(guān)的，解方程f（x）=0就是求函數(shù)y=f（x）當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值；求綜合方程f（x）=g（x）的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)；合參數(shù)的方程f（x， y，t）=0和參數(shù)方程更是具有函數(shù)因素，屬能隨參數(shù)的變化而變化的動(dòng)態(tài)方程。它所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)不是一些孤立的點(diǎn)，而是具有某種共性的幾何曲線。正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫(kù)。本文通過(guò)探討初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想，并結(jié)合具體數(shù)學(xué)實(shí)例說(shuō)明方程函數(shù)思想中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】方程 函數(shù) 初中數(shù)學(xué)

在初中數(shù)學(xué)中，方程與函數(shù)是很重要的知識(shí)，對(duì)各種方程和函數(shù)作系統(tǒng)的學(xué)習(xí)研究對(duì)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。方程函數(shù)思想是解決現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要思維方式。函數(shù)思想在中考中的應(yīng)用主要是函數(shù)的概念，性質(zhì)及圖象的應(yīng)用，包括顯化、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、建立函數(shù)關(guān)系解題四個(gè)方面。

方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程、不等式或它們的混合組，通過(guò)解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問(wèn)題獲解。包括待定系數(shù)法、換元法、轉(zhuǎn)換法和構(gòu)造方程法四個(gè)方面。

例1：

已知函數(shù)y=x3的圖象，求解方程x3-x2+1=0。

分析：由于題目中的方程式出現(xiàn)x三次方和平方并存的局面，同時(shí)沒(méi)有x，單純運(yùn)用方程式理論對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)不易解決，而如果可以將已知條件中的函數(shù)圖象與方程結(jié)合出來(lái)，卻完全可以達(dá)到事半功倍的效果。

錯(cuò)誤解法：完全運(yùn)用方程的思想。

x3-x2+1=0 → x2（x-1）+1=0 → x2（x-1）=-1

進(jìn)行初步分析，當(dāng)x=0時(shí)，-1不等于0，此式不成立，而等式的右邊是-1，左邊出現(xiàn)了x2這個(gè)目前完全大于0的數(shù)，所以可以得出：

X=0不成立，x2>0 → x-1=-1 → x=0 ？ 這里你沒(méi)有看錯(cuò)，先前我們假定x不等于0的條件現(xiàn)在卻被我們證明了其等于0，這必然證明了我們的結(jié)論是錯(cuò)誤的。但是問(wèn)題出在哪里了呢？此刻我們應(yīng)當(dāng)收拾心情，仔細(xì)觀察一下，將函數(shù)的思想帶入其中。

正確解法：

同樣，將方程式布局整理一番。

x3-x2+1=0 → x3= x2-1，這時(shí)我們運(yùn)用函數(shù)的思想。將等式兩邊的x3，x2-1同時(shí)設(shè)為函數(shù)式y(tǒng)= x3，y= x2-1。我們便得到兩個(gè)函數(shù)式，根據(jù)已知中我們得知的y= x3的圖像，在坐標(biāo)圖上作出y= x2-1的圖象，取兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，即為問(wèn)題的答案。不僅方便，而且直觀形象，也大大降低了解題的風(fēng)險(xiǎn)。這里，我們可以清楚地看出方程函數(shù)思想結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

例2：

某城市生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水的3倍還多0.6億立方米，問(wèn)生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和家庭用水各多少立方米？

分析：這是一道簡(jiǎn)便通俗的題目。本題中所涉及的是等量關(guān)系，可以運(yùn)用方程，也可以運(yùn)用基本函數(shù)知識(shí)來(lái)解答。本題的設(shè)置是旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維定性，培養(yǎng)方程函數(shù)相結(jié)合的思想。

解法一：設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水x億立方米，則居民家庭用水（5.8-x）億立方米，依題意，可得

5.8-x=3x-0.6 解得x=1.3 5.8-x=4.5

答：生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)用水為1.3億立方米，而居民家庭用水為4.5億立方米。

解法二：設(shè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)用水x億立方米，居民家庭用水y立方米，依題意，可得

x+y=5.8→y=5.8 - x

y=3x+0.6→y=3x+ 0.6

通過(guò)作出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，然后取其圖象的交點(diǎn)，得出結(jié)論。

從以上幾個(gè)小例子可以觀察出，方程與函數(shù)的思想在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著極其重要的地位，但是只要我們用心抓住題目中的數(shù)量關(guān)系，弄清楚方程與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，靈活運(yùn)用，問(wèn)題都會(huì)迎刃而解。

綜上所述，函數(shù)思想指導(dǎo)我們運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想則是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)解方程或不等式來(lái)使問(wèn)題獲解，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題。

我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的。方程函數(shù)思想是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵，函數(shù)和方程相輔相成、共同促進(jìn)人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入了解和掌握，學(xué)好數(shù)學(xué)，我們始終都要掌握這樣一種融合各種知識(shí)、各類方法的意識(shí)能力，教師努力思考，不斷理解演練，才能在教學(xué)道路上教出特色，方能激發(fā)初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)：

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