矩形中的折疊問題

李春蓉　張杏華

矩形按不同的方式進(jìn)行折疊，就會產(chǎn)生各種各樣的幾何問題。這些問題綜合了三角形、四邊形等多邊形的諸多知識，而且往往會融入對稱思想，解法靈活、趣味性強(qiáng)，有利于考查同學(xué)們的動手能力、空間想象力和幾何變換思維，因此越來越受到中考命題者的青睞。

如圖1，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，已知折痕[AE=55cm]，且[tan∠EFC=34]，

（1）△AFB與△FEC有什么關(guān)系？

（2）求矩形ABCD的周長。

分析與解

[已知條件＼&隱含條件＼&矩形ABCD＼&[∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°]，即圖中有直角三角形；AB=DC、AD=BC＼&折疊＼&△AED≌△AEF，則AD=AF，DE=FE，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，

∠AEF=∠AED＼&由同角的余角相等得∠FAB=∠EFC（∠AFB的余角），∠AFB=∠FEC

（∠EFC的余角）＼&[tan∠EFC=34]＼&[ECFC=34]＼&[AE=55cm]＼&＼&]

對于第（1）問，很容易證得△AFB∽△FEC.

對于第（2）問，有以下幾種設(shè)元方式：

情況一直接設(shè)元AD=x，方法行不通。情況二直接設(shè)元AB=x，由△AFB∽△FEC，可以得到[BFAB=ECFC=34]，可建立方程，但計算較復(fù)雜。其他幾種情況都是間接設(shè)元，其中情況三不能求解，情況四、五、六、七可利用△AFB∽△FEC得到的邊關(guān)系用勾股定理建立方程。其實(shí)只要是對與此比例式有關(guān)的線段進(jìn)行設(shè)元，都可求解。但情況七的計算最為簡便。

解決矩形中的折疊問題，關(guān)鍵是：

1. 抓住折疊本質(zhì)。①折起部分與重合部分是全等的；②折起部分與重合部分是以折痕為對稱軸的軸對稱圖形，且對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)之間的連線。

2. 找出隱含的折疊前后的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

3. 結(jié)合三角形全等、勾股定理、相似三角形等知識，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立方程求解。

我們一起看看下面幾組變式。

變式一：變條件。

如圖2，矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中x軸上，折疊邊AD，使點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，0），其中m>0. 求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

變式二： 變頂點(diǎn)位置。

如圖3，在一面積為1的正方形紙片ABCD中，M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折疊至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ，則MP=_________。

變式三：變折痕位置。

已知：矩形紙片ABCD，AB=2，BC=3。

操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上。

探究：（1）如圖4，若點(diǎn)B與D重合，你認(rèn)為△EDA′和△FDC全等嗎？如果全等給出證明，如果不全等請說明理由。

（2）如圖5，若點(diǎn)B與CD中點(diǎn)重合，求△FCB′與△B′DG的周長之比。