也談sSA到底能不能證明全等

唐昌明

最近我上一屆的學(xué)生小勇回來學(xué)校來看我，再次和我討論起SSA到底能不能證明兩個三角形全等的問題，他仍然堅持認(rèn)為SSA是可以證明全等的。小勇說最近他看了某所高校所主辦的雜志中的一篇文章，題目就是《SSA到底能不能證明全等》很受啟發(fā)，認(rèn)為現(xiàn)在有足夠理由說服我。小勇目前就讀高中，數(shù)學(xué)的視野自然增加不少，對本問題也許有了真知灼見?？纯托∮碌囊娊猓?/p>

一、他認(rèn)為教材應(yīng)該講SSA證明全等

我們知道，人教版實驗教科書八年級數(shù)學(xué)教材上學(xué)期講述的證明三角形全等有很多方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。關(guān)于SSA，也就是，已知三角形的兩邊以及一邊的對角對應(yīng)相等時兩個三角形是否全等，教材舉出了如右圖的例子：

△ABC與△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但是兩個三角形不能重合---不全等。從而給出了結(jié)論：已知三角形的兩邊以及一邊的對角對應(yīng)相等時并不能證明兩個三角形全等。

小勇認(rèn)為，這是教材的武斷，他說這兩個三角形的形狀不相似，大小也不一樣當(dāng)然是不全等，如果形狀一樣，又滿足SSA，完全可以證明全等。比如證明兩個直角三角形全等的HL，即已知兩個直角三角形的一個直角邊和一個斜邊對應(yīng)相等的情況下，就可以判斷出這兩個直角三角形全等。所以HL就是SSA的特例，只不過現(xiàn)在已知的另外一個角是90度而已，教材不是也作為定理了嘛，為什么就不肯承認(rèn)SSA的正確性呢？

二、他認(rèn)為可以利用園的性質(zhì)從另一角度證明SSA的正確性。

為了研究和△ABC滿足SSA條件的三角形，做出它的外接圓，如圖（1），

并以AB為邊，在同側(cè)作△ABD，要想使其滿足有一個角相等，只能使點D在圓上，要想有另外一個“非夾邊”對應(yīng)相等，只需取BD=AC，則弧BD=弧AC所以∠ABC=∠BAD，又因為∠C=∠D，所以△ABC≌△BAD（AAS）。如果AB恰好是直徑如圖（2），則可以做出三個滿足SSA的三角形，全都與△ABC全等。這個時候所討論三角形都是直角三角形，本質(zhì)就是HL， 其正確性毋庸質(zhì)疑。

因此，小勇認(rèn)為應(yīng)該承認(rèn)SSA的正確性，如果把SSA編進教材，可以如此總結(jié)：已知三個條件對應(yīng)相等，并且至少有一個條件是邊相等的情況下，我們就可以證明這兩個三角形全等。

針對小勇談的第一點，我認(rèn)為，兩個如果三角形以形狀相同為前提，SSA可以證明全等的結(jié)論是正確的，但這樣一來，兩個三角形全等的條件由三個變成了四個，并不是真正的SSA。另外形狀相同涉及到相似的概念，學(xué)生尚未正式學(xué)習(xí)，這樣處理顯然不妥，教材當(dāng)然不予采納。數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，一旦有一個反例，則命題的局部正確性不足以使其成為定理。

其實他第二點談的證明方法似乎是新穎的，但是并沒有全面考慮，我就他的圖形的基礎(chǔ)上舉出反例如下：

在圖（3）中，滿足AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD，滿足SSA的條件，但是△ABC與△ABD會全等嗎？我問小勇，他無言以對。在圖（4）中，滿足AC=AC，BC=CD， ∠B=∠D，滿足SSA的條件，但是△ABC與△ABD會全等嗎？小勇再次無言以對。

小勇說沒有想到自己證明方法有遺漏，實在可惜，哎這個方法也是在雜志上學(xué)來的啊，想不到會是不全面的。盡管小勇承認(rèn)了后面證明方法的疏漏，但他還是堅持認(rèn)為教材應(yīng)該承認(rèn)SSA的正確性。 這孩子還真是很扭！

其實我們知道，SSA在角為直角和鈍角時都是成立的。當(dāng)角為直角時SSA其實就是HL定理，角為鈍角時，SSA作為定理也未嘗不可。教材的安排維護了定理的嚴(yán)謹(jǐn)性科學(xué)性全面性，顯然也是很有道理的。我想時間會說服小勇的，現(xiàn)在就讓他繼續(xù)思考吧！思考著，自然進步著！

參考文獻：

1.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》

2.《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》

3.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級上冊》