高考平面幾何題的一種解題策略

趙志強(qiáng) 顧棟明

摘 要： 在新課程標(biāo)準(zhǔn)體系下，平面幾何被列入高中數(shù)學(xué)選修課程，平幾題成為高考必考的題型。把具體的平面幾何題目的求解放在一種策略指導(dǎo)下進(jìn)行，不失為實(shí)踐新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的、教學(xué)理念變“知識為本”為“育人為本”的好方法.這種解題策略強(qiáng)調(diào)把求證結(jié)論作為目標(biāo)元素、問題的主要矛盾優(yōu)先考慮，把已知條件作為條件元素，用事物間聯(lián)系的觀點(diǎn)分析思考，建立兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.

關(guān)鍵詞： 高考 平面幾何題 解題策略

在新課程標(biāo)準(zhǔn)體系下，平面幾何被列入高中數(shù)學(xué)選修課程，與之對應(yīng)的是它成為高考內(nèi)容.下面筆者舉例談?wù)劯呖计矫鎺缀晤}的解題策略.

這種解題策略是基于力求體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的教育思想，即由“知識為本”向“育人為本”教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變.新課程標(biāo)準(zhǔn)在要求注重學(xué)生問題的分析與解決能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)問題的發(fā)現(xiàn)與提出能力的培養(yǎng).

平面幾何教學(xué)內(nèi)容雖然傳統(tǒng)古老，但對學(xué)生的邏輯思維能力的訓(xùn)練有著特殊的作用，其作為現(xiàn)代教育內(nèi)容，仍然具有生命力，新課程標(biāo)準(zhǔn)將其列為選學(xué)內(nèi)容.然而，不能再一味采用講究題型、強(qiáng)調(diào)類別方法的傳統(tǒng)教學(xué)方法上.為了使平面幾何的教學(xué)發(fā)揮培養(yǎng)邏輯思維、推理能力的特殊功能，要積極探索體現(xiàn)“育人為本”教育思想的新教學(xué)方法，努力把新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念滲透到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中.把具體的平面幾何題目的求解放在一種策略指導(dǎo)下進(jìn)行，強(qiáng)調(diào)對題中的已知條件元素與求證目標(biāo)元素運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析，并把目標(biāo)元素放在優(yōu)先考慮的地位，不失為一種值得實(shí)踐的好方法.

傳統(tǒng)平面幾何題的結(jié)構(gòu)是：在已知圖形下，給出若干元素具備某種條件，可稱之為條件元素，再提出要論證相關(guān)元素具有某種特定的結(jié)論，可稱之為目標(biāo)元素.

這種策略的具體操作是，結(jié)合圖形，借助其性質(zhì)，對已知元素與目標(biāo)元素用事物間有相互聯(lián)系的觀點(diǎn)去分析，對目標(biāo)元素用解決問題抓主要矛盾的方法去優(yōu)先考慮.由因探果，思維竭力將已知元素的發(fā)散向目標(biāo)元素靠攏；執(zhí)果索因，思維盡力匯聚到與已知元素的關(guān)聯(lián)點(diǎn)上；把這種發(fā)散與匯聚始終置于已知圖形的大背景下，既要善于拓展其隱含條件，更要始終把目標(biāo)元素置于優(yōu)先考慮的聯(lián)系中.在這種策略下，使學(xué)生積累思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)，提高素質(zhì).

縱觀幾年來各地的高考題，在體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)下選學(xué)平面幾何的意圖中，全國卷、江蘇卷具有一定的代表性.下面以2013年的試題為例作分析.

例1：（2013，江蘇卷高考題）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，AC經(jīng)過圓心O，且BC=2OC，求證：AC=2AD.

思考分析：由AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，易知∠BCA=90°，∠ADO=90°.優(yōu)先考慮目標(biāo)元素：AC=2AD，并企圖與條件元素BC=2OC建立聯(lián)系，這時(shí)就會考慮把它們放置在相應(yīng)的三角形中，△ACD與△BCO或△ABC顯然不妥；在目標(biāo)元素引導(dǎo)下，會注意到AC、BC是在△ACB中，對應(yīng)的自然應(yīng)有△ADO.于是，因?yàn)椤螦CB=∠ADO=90°，∠BAC=∠OAD，所以△ACB∽△ADO，則有=，又BC=2OC，OC=OD，得AC=2AD.

例2：（2013，全國卷高考題）如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE=DC·AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓.

（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

（2）若DB=BE=EA，求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.

思考分析：（1）優(yōu)先考慮目標(biāo)元素：CA是△ABC外接圓的直徑，則∠ABC要為直角，聯(lián)系到CD為△ABC外接圓的切線，得∠DCA應(yīng)該是直角，所以只要證∠ABC=∠DBC=90°.

由已知BC·AE=DC·AF想到轉(zhuǎn)化為比例式=，尋求△BDC∽△FEA，由于DC為△ABC外接圓的切線，得∠BCD=∠FAE，這樣△BDC∽△FEA顯然成立，就有∠DBC=∠EFA.又已知B、E、F、C四點(diǎn)共圓，∠EFA=∠ABC，那么∠DBC=∠EFA=∠ABC，因?yàn)椤螪BC+∠ABC=180°，所以∠ABC=∠DBC=90°，結(jié)論得證.

（2）由目標(biāo)元素“求兩圓面積比”可知，要求此兩圓的半徑（或直徑）的平方比.因?yàn)椤螦BC=90°，所以CE是過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑.問題就變?yōu)榍驝E與AC的平方比.

注意到DB=BE=EA=a，∠ABC=90°，得CB⊥DE，則CD=CE.又CD為△ABC外接圓的切線，CA為其直徑，則∠ACD=90°.根據(jù)射影定理有：CD=DB·D=3a，CA=AB·AD=6a，所以，所求兩圓面積比是1∶2.

通過上例，我們進(jìn)一步認(rèn)識到這種解題策略的核心.抓住目標(biāo)元素這一解決問題的關(guān)鍵，努力向已知元素靠攏，建立起兩者的聯(lián)系；對已知元素，層層剖析、包括其隱含特性，取其為目標(biāo)元素服務(wù)的東西.在過程中，不時(shí)提出假設(shè)，并及時(shí)否定不適合的、肯定有用的，最終使問題得解。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙志強(qiáng)，顧棟明.高考平面幾何問題的應(yīng)對策略.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（2）.