發(fā)現(xiàn)隱藏函數(shù)，為此豁然開朗

沈小亮

近幾年，廈門的中考?jí)狠S題考查的都是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，如考數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想，以及良好的作圖習(xí)慣等.涉及的基本解題方法和技能包括面積法、銳角三角函數(shù)的運(yùn)算法、坐標(biāo)法等.壓軸總是難倒了很多學(xué)生，因?yàn)檎也坏浇鉀Q問題的關(guān)鍵之處和突破口，更因?yàn)橛形冯y情緒.其實(shí)，廈門這幾年中考?jí)狠S題的第（1）小題并沒有為難學(xué)生，只是考查了數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本方法和基本技能，體現(xiàn)了面向全體學(xué)生的指導(dǎo)思想.而所謂的壓軸難題，似乎也都能找到題眼——隱藏函數(shù).現(xiàn)解析廈門近三年中考?jí)狠S題，與大家分享.

1.函數(shù)隱藏于問題里

例1：（2011年廈門）已知拋物線y=-x+2mx-m+2的頂點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，C是線段AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D并交拋物線于點(diǎn)P.（1）若點(diǎn)C（1，a）是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若直線AP交y軸的正半軸于點(diǎn)E，且AC=CP，求△OEP面積S的取值范圍.

分析：（1）根據(jù)題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），然后設(shè)P（1，n）代入x=-，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，求得函數(shù)的解析式，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，從而求得函數(shù)解析式；

（2）把拋物線化為頂點(diǎn)式：y=-（x-m）+2，求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）+2），根據(jù)AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值，從而表示出△OPE的面積，進(jìn)而求得面積的取值范圍.

解答：（1）依題意得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，a），

設(shè)P（1，n），據(jù)x=-，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，即m=2，

所以y=x+4x-2，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得n=1，

即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）.

（2）把拋物線化為頂點(diǎn)式：y=-（x-m）+2，

可知A（m，2），設(shè)C（n，2），

把n代入y=-（x-m）+2得y=-（n-m）+2，

所以P（n，-（n-m）+2）.

∵AC=CP，

∴m-n=2+（m-n）-2，

即m-n=（m-n），

m-n=0或m-n=1，

又∵C點(diǎn)不與端點(diǎn)A、B重合，

∴m≠n，

即m-n=1，

則A（m，2），P（m-1，1）.

由AC=CP可得BE=AB，

∵OB=2，

∴OE=2-m，

∴△OPE的面積S=（2-m）（m-1）=-（m-）+（1

∴0

點(diǎn)評(píng)：第（1）小題抓住中點(diǎn)，由C（1，a）→A（2，a）是十分重要的，而點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1，根據(jù)“點(diǎn)在線上就代入，半個(gè)坐標(biāo)也代入”的方法，還要先求拋物線的解析式，根據(jù)點(diǎn)A是頂點(diǎn)求得.一切水到渠成.而真正的壓軸第（2）小題，思維的突破口就在問題中“△OEP面積S的取值范圍”，由此可見S是有范圍的，說明S是會(huì)變的，那么從函數(shù)觀點(diǎn)看它是一個(gè)變量，而S的范圍說明它是隨著某個(gè)變量變化而變化的，所以它是函數(shù).目標(biāo)就是寫出S的解析式，至于如何由已知條件從形到數(shù)、數(shù)形溝通等，都是為達(dá)到這個(gè)目標(biāo)服務(wù)的.

2.函數(shù)隱藏于條件中

例2：（2012年廈門）已知點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）是直線y=kx+b與雙曲線y=（k>0）的交點(diǎn).（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM.若AM=BM，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P線段AB上，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線y=（k>0）于點(diǎn)N.當(dāng)取最大值時(shí)，若PN=，求此時(shí)雙曲線的解析式.

分析：（1）過B作BQ⊥x軸，由點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）都在雙曲線（k>0）上，得到即c=3d，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3d），根據(jù)勾股定理計(jì)算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）=2+d，求出d的值，即可確定B點(diǎn)坐標(biāo).

（2）由B（3，d）可得到反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-dx+4d，則可設(shè)P（t，-dt+4d），則N（t，），表示出PN=-dt+4d-，NE=，再計(jì)算==t+t-1，配方得-（t-2）+，由于取最大值，所以t=2，此時(shí)PN=-dt+4d-=，解方程得到d的值，即可確定雙曲線的解析式.

解答：（1）如圖，過B做BQ⊥x軸，

∵點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）都在雙曲線y=（k>0）上，

∴1·c=3·d，即c=3d，

∴則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3d），

∴AM=3d，

∵M(jìn)N=3-2=1，BN=d，

∴MB=，

而AM=BM，

∴（3d）+2+d，

∴d=，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）.

（2）如圖，把B（3，d）代入y=得k=3d，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=，

把A（1，3d）、B（3，d）代入y=kx+b得

k+b=3d

3k+b=d，

解得

k=-d

b=4d，

∴直線AB的解析式為y=-dx+4d.

設(shè)P（t，-dt+4d），則N（t，），

∴PN=-dt+4d-，NE=，

∴==-t+t-1=-（t-2）+，

當(dāng)取最大值時(shí)，t=2，

此時(shí)PN=-dt+4d-=，

∴-2d+4d-=，

∴d=1，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=.

點(diǎn)評(píng)：第（1）小題以反比例函數(shù)為載體，“點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式”，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，秉著未知量越少越好的原則，用正確的字母表示點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)度.

第（2）小題解題的關(guān)鍵在于條件“當(dāng)取最大值時(shí)”，事實(shí)上它就是一個(gè)隱藏函數(shù)，是存在最大值的隱藏函數(shù).如何用含有字母的代數(shù)式表示，是解決本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn).這就對(duì)較繁運(yùn)算提出了更高的要求.除了要有全面的觀念及對(duì)問題的整體把握外，同時(shí)還要注意函數(shù)建模在解題過程中的靈活運(yùn)用.

3.函數(shù)藏于“不起眼”處

例3：（2013年廈門）若x，x是關(guān)于x-bx+c=0的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|x|+|x|=2|k|（k是整數(shù)），則稱方程x+bx+c=0為“偶系二次方程”.如方程x-6x-27=0，x-2x-8=0，x+3x-=0，x+6x-27=0，x+4x+4=0，都是“偶系二次方程”.

（1）判斷方程x+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；

（2）對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)b，是否存在實(shí)數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由.

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x|+|x|看結(jié)果是否為2的整數(shù)倍就可以得出結(jié)論.

（2）由條件x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程建模，設(shè)c=mb+n，就可以表示出c，然后根據(jù)公式法就可以求出其根，再代入|x|+|x|就可以得出結(jié)論.

解答：（1）不是.

解方程得x+x-12=0得x=3，x=-4.

|x|+|x|=3+4=7=2×3.5.

∵3.5不是整數(shù)，

∴x+x-12=0不是偶系二次方程.

（2）存在.理由如下：

∵x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程，

∴假設(shè)c=mb+n，

當(dāng)b=-6，c=-27時(shí)，-27=36m+n.

∵x=0是偶系二次方程，

∴n=0時(shí)，m=-，

∴c=-b.

∵x+3x-=0是偶系二次方程，

當(dāng)b=3時(shí)，c=-×3.

∴可設(shè)c=-b.

對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)b，當(dāng)c=-b時(shí)，

△=b-4c=4b.

∵x=，

∴x=b，x=b.

∴|x|+|x|=2b，

∵b是整數(shù)，

∴對(duì)于任何一個(gè)整數(shù)b，c=-b時(shí)，關(guān)于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”.

點(diǎn)評(píng)：（1）歷年來許多地區(qū)的中考題中常有涉及閱讀型的新題型，只要學(xué)生讀懂新概念的內(nèi)涵，解答并不難.本題考查了一元二次方程解法的運(yùn)用.

（2）考查了根的判別式的運(yùn)用及數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，解答本題時(shí)根據(jù)條件建立函數(shù)模型是關(guān)鍵.而本題的函數(shù)模型竟然隱藏在題目給出的看似“很不起眼”的例子中，需要獨(dú)具慧眼.

事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)隱藏的函數(shù)，找到解題突破口，并不能靠“碰運(yùn)氣”，而要以解題者的知識(shí)容量為背景，具備的能力為基礎(chǔ)，敏銳的觀察為先導(dǎo)，聯(lián)想與分析為武器，應(yīng)用已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造，正所謂“冰凍三尺非一日之寒”.

4.對(duì)教學(xué)的啟示

4.1立足基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注核心教學(xué)內(nèi)容.

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，中考也著重考查這些內(nèi)容.點(diǎn)生成線，線生成面，再?gòu)?fù)雜的幾何圖形都是由簡(jiǎn)單的基本圖形構(gòu)成的，所以，即使拔高性試題也是對(duì)這些基本知識(shí)、基本技能和基本方法的考查和再創(chuàng)造.因此教學(xué)中，要時(shí)刻注意以《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求指導(dǎo)教學(xué)，關(guān)注知識(shí)的再生性，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的過程和其他知識(shí)之間的聯(lián)系，掌握其中的數(shù)學(xué)思想方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.

4.2關(guān)注分析解決問題能力的培養(yǎng).

中考不僅僅有對(duì)基本知識(shí)、基本技能和基本方法的考查，為了有區(qū)分度，綜合大題更多的是考查學(xué)生分析解決問題的能力，包括學(xué)生的探究、歸納，實(shí)際應(yīng)用、邏輯推理、分析問題、數(shù)學(xué)建模等方面的能力.而這些能力不是一蹴而就的，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要立足能力的培養(yǎng)，而不是一味地傳授知識(shí)，要學(xué)生更多的時(shí)間和空間，讓學(xué)生參與到教學(xué)中，在獲得新知識(shí)的過程中鍛煉能力.

4.3強(qiáng)調(diào)思想方法，強(qiáng)化歸納意識(shí).

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.在教學(xué)中，以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，有意識(shí)地梳理和歸納問題中的“思想性”和“規(guī)律性”，讓學(xué)生通過探究感受，體驗(yàn)知識(shí)得到的過程.這樣的教學(xué)能使學(xué)生真正理解知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法.而將學(xué)到的知識(shí)和思想方法再進(jìn)行應(yīng)用，分析和解決問題，從實(shí)踐到理論，再?gòu)睦碚摰綄?shí)踐，使得感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí).從而優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

4.4注重變式，舉一反三.

目前“題海戰(zhàn)術(shù)”還普遍存在.雖然學(xué)生整天忙著做題，但如果考試的時(shí)候出現(xiàn)背景熟悉的題目，稍微改了一下條件或者換了一種的提問方法，學(xué)生往往就會(huì)束手無策，不知如何下手.事實(shí)上，這只能說明學(xué)生并沒有真正掌握知識(shí)，而只是就題做題，做一題只會(huì)一題，而不是會(huì)一類題.原因除了學(xué)生本身沒有及時(shí)總結(jié)解題規(guī)律和方法外，教師也有需要注意的方面..教師在選取典型題時(shí)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題，更要指出常見錯(cuò)誤和產(chǎn)生原因，不僅讓學(xué)生知其然，更知其所以然.除此以外，要善于以典型例題為原型，導(dǎo)出同類的題目，可能是換條件，可能是換結(jié)論，把它們集中在一起，形成一個(gè)共同的認(rèn)知體系.讓學(xué)生對(duì)不同的立意、不同的解題策略進(jìn)行歸納總結(jié)，變對(duì)單一知識(shí)點(diǎn)的考查為對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的解題能力.

4.5研究學(xué)情，關(guān)注學(xué)生發(fā)展.

承認(rèn)差異，尊重個(gè)體，讓不同層次的學(xué)生盡可能地展示自己的才華，是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的一個(gè)基本理念.在教學(xué)實(shí)踐中，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)用統(tǒng)一的教學(xué)方法對(duì)待具有不同特點(diǎn)的學(xué)生，很難獲得令人滿意的教學(xué)效果.總會(huì)有一部分學(xué)生對(duì)教學(xué)方法不適應(yīng)，這就是個(gè)體差異，如果缺乏對(duì)這些學(xué)生的關(guān)注，就會(huì)打擊他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.教師要秉著“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念，做到教學(xué)內(nèi)容分層，課后作業(yè)分層，考試評(píng)價(jià)多樣，等等.

參考文獻(xiàn)：

[1]毛孟杰.捕捉題眼，巧妙轉(zhuǎn)化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010，8.

[2]王賽英.對(duì)2010年寧波市中考題壓軸題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010，9.

[3]陳祖華.低起點(diǎn)，高立意——從一道中考試題說開去[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010，11.