淺談構(gòu)造向量解代數(shù)問(wèn)題

張勝利

摘 要：代數(shù)中的好多求值域問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題利用代數(shù)的知識(shí)解決很困難、很麻煩，但如果能把它和向量的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，那解決起來(lái)就很簡(jiǎn)單了，通過(guò)一些例子介紹向量在代數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：向量；值域；最值；不等式

向量是近代數(shù)學(xué)中最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，有著極其豐富的實(shí)際應(yīng)用背景.向量有大小和方向，大小反映了“數(shù)”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，掌握好向量的知識(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用向量工具去解決相關(guān)問(wèn)題，不僅能優(yōu)化解題思路，而且能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)新精神.下面通過(guò)例題談一談在代數(shù)中的應(yīng)用.

一、運(yùn)用向量中的不等式

【例1】求函數(shù)y=+的最小值？

分析：所給函數(shù)為根式的和，因此需要將根號(hào)下的式子配方，將根式轉(zhuǎn)化為向量的模，利用

【例2】求函數(shù)y=-的值域.

分析：所給函數(shù)為根式的差的形式，因此需將根號(hào)下的式子配方，將根式轉(zhuǎn)化為向量的模，利用

二、利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

【例3】求函數(shù)y=2+的最大值.

分析：所給的函數(shù)式可以看成兩個(gè)數(shù)積的和的形式，因此，可聯(lián)想兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造向量，利用

【例4】已知a+b+c=1，求式子++的最大值.

分析：本題是三個(gè)數(shù)的和的形式，因此可以構(gòu)造空間向量，利用向量的數(shù)量積

三、利用向量中的不等關(guān)系還可證明不等式，關(guān)鍵是把不等號(hào)兩邊的式子能和向量的運(yùn)算形式聯(lián)系起來(lái)，再運(yùn)用向量的性質(zhì)進(jìn)行放縮使不等式得證

【例5】已知a，b，c，d∈R，求證：ac+bd≤·。

分析：本題如果用代數(shù)的知識(shí)不好做，但如果能和向量聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)造兩個(gè)向量=（a，b），=（c，d），利用性質(zhì)

一般的，涉及兩數(shù)積的和的形式可利用公式

求其最值.也可利用它們證明一些不等式.必須說(shuō)明的是，在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)也有其局限性，不是對(duì)每一類(lèi)函數(shù)都可以運(yùn)用該種方法，運(yùn)用比較多的是在含有根號(hào)中求最值的情況.另外，像例1，在將根號(hào)里轉(zhuǎn)化為向量的模的過(guò)程中，由于是利用

，所以必須使得+的坐標(biāo)與變量x無(wú)關(guān).如若在結(jié)果中還出現(xiàn)變量，則肯定是錯(cuò)誤的.同時(shí)，還應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.

（作者單位 陜西省西安市臨潼區(qū)華清中學(xué)）