復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化求解的探究

張棉慶

摘 要：在課堂教學(xué)中，提高學(xué)生的課堂興趣、提高課堂的教學(xué)效率，顯得很重要。復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化求解的探究很大程度上可以解決在教學(xué)中遇到的問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)實(shí)踐中，教師與學(xué)生的思維對(duì)話(huà)、知識(shí)的溝通融合、情感的升華，是一大教學(xué)亮點(diǎn)。對(duì)復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化求解的探究就是在新課標(biāo)引導(dǎo)下得出的教學(xué)感悟，在探究過(guò)程中不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，真正體會(huì)快樂(lè)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)快樂(lè)的理念。

關(guān)鍵詞：探究；化繁為簡(jiǎn)；簡(jiǎn)化圖形；數(shù)學(xué)興趣

近幾年的幾何教學(xué)中，學(xué)生往往在幾何知識(shí)入門(mén)方面顯得有些慢熱，這大大降低了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)及學(xué)習(xí)興趣，也同時(shí)引起了許多教師的深刻反思，如何擁有一套簡(jiǎn)單而有效的教學(xué)模式和方法顯得大為重要。

2013年我任教初一，在幾何教學(xué)中取得了一定的進(jìn)步，特別是針對(duì)如何解決難題這一方面頗有心得。現(xiàn)共享如下，以便求得大家更好的見(jiàn)解。

一、巧妙構(gòu)造，簡(jiǎn)化圖形

這是一種快速而有效的方法，往往對(duì)有相同圖形的復(fù)雜結(jié)構(gòu)圖顯得更有效果。初一教學(xué)中有這樣一道題：

例1.如右圖所示，DE、BE分別是∠CDA和∠CBA的平分線(xiàn)，求2∠E=∠A+∠C。

學(xué)生困難一：圖形復(fù)雜，不知如何下手。

學(xué)生困難二：如何將角平分線(xiàn)性質(zhì)及定義在圖上體現(xiàn)出來(lái)。

學(xué)生困難三：如何體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。

引導(dǎo)學(xué)生探索：圖1中A與∠C有何關(guān)系？

易知：

∠C+∠D+∠COD=180°

∠A+∠B+∠AOB=180°

∠C+∠CDA=∠A+∠ABC（圖2）

∠C+∠CDE=∠E+∠EBC（圖3）

∠E+∠EDA=∠A+∠ABE（圖4）

即：∠C+2X=∠A+2Y，∠C+X=∠E+Y，∠E+X=∠A+Y

所以，2∠E=∠A+∠C

小結(jié)：學(xué)生較易得出結(jié)論，而且可以很好地分享其中的快樂(lè)，在解決了知識(shí)的同時(shí)又有了新的收獲，大大增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。所以，適當(dāng)?shù)厍擅顦?gòu)造圖形，既可以簡(jiǎn)化圖形，又可以快樂(lè)學(xué)習(xí)。

二、弱化圖形，化繁為簡(jiǎn)

弱化圖形，將原來(lái)復(fù)雜圖形中多余的線(xiàn)段剔除，留下主要結(jié)構(gòu)圖，可以得到學(xué)生在書(shū)本中做過(guò)的熟悉圖形，同時(shí)可以輕而易舉得出結(jié)論。

這是初一第五章相交線(xiàn)與平行線(xiàn)教學(xué)中遇到一道典型例題：

例2.直線(xiàn)AB、CD互相平行，連接AC（如圖所示）這三條線(xiàn)將平面分成四個(gè)區(qū)域，分別為①②③④（注：點(diǎn)落在線(xiàn)上不屬于任何一個(gè)區(qū)域）?，F(xiàn)有區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)P，連接PA、PC，得∠PAB、∠APC、∠PCD，求三者之間的關(guān)系。

（1）若點(diǎn)P在區(qū)域①，三者關(guān)系為 。

（2）若點(diǎn)P在區(qū)域②，三者關(guān)系還和（1）一樣嗎？

（3）若點(diǎn)P在區(qū)域③，結(jié)果又如何？

學(xué)生困惑一：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生本身對(duì)該種題型難以把握。

學(xué)生困惑二：平行線(xiàn)和三角形之間的綜合運(yùn)用怎樣體現(xiàn)并如何巧妙建立關(guān)系。

引導(dǎo)學(xué)生：探究圖中當(dāng)點(diǎn)P落在區(qū)域①時(shí)探究圖中∠PAB、∠APC、∠PCD的關(guān)系，找到三角，剔除多余的線(xiàn)看圖形特征，是否可以輕而易舉找到答案。

學(xué)生易知：∠APC=∠PAB+PCD，相同方法探究當(dāng)點(diǎn)P落在區(qū)域②時(shí)這三個(gè)角之間的關(guān)系：

學(xué)生易得：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°

知結(jié)果與（1）不同

同理可知，第③區(qū)域的情況，但要分以下幾種情況討論，需要引起學(xué)生注意的是當(dāng)P在A(yíng)C的所在直線(xiàn)上時(shí)應(yīng)如何求解。

情況一：（點(diǎn)P在A(yíng)C所在直線(xiàn)上）

情況二：（點(diǎn)P在直線(xiàn)AC的右側(cè)）

學(xué)生易知：∠PCD=∠POB=∠PAB+∠APC

情況三：（點(diǎn)P在直線(xiàn)AC的左側(cè)）

學(xué)生易知：∠POB=∠PCD

∠PAB=∠POB+∠OPA=∠PCD+∠CPA

小結(jié)：連續(xù)五種情況的剖析讓學(xué)生較易掌握這種方法，也輕松地得到學(xué)生所需要的答案。弱化圖形，化繁為簡(jiǎn)，大大增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

總之，針對(duì)不同的復(fù)雜圖形，我們都可以找到相應(yīng)的解法，化繁為簡(jiǎn)，將復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化，輕松而快捷地得到答案，這不僅為教學(xué)提供了方便，還給了學(xué)生更多的思考空間，極大地吸引了學(xué)生的注意力，提高了他們的學(xué)習(xí)興趣。

（作者單位 江西省上饒市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）