探究高中數(shù)學(xué)新課程中的向量及其教學(xué)

高維璽

摘 要：在高中數(shù)學(xué)新課程中，向量是解析幾何解題時(shí)不可或缺的工具。高中數(shù)學(xué)中加強(qiáng)向量教學(xué)不僅能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值，深入體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，還有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，在高中數(shù)學(xué)中加強(qiáng)向量教學(xué)意義深遠(yuǎn)。在簡(jiǎn)單闡述了高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)價(jià)值的基礎(chǔ)上，著重分析了高中數(shù)學(xué)新課程中向量教學(xué)需注意的問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；新課程；向量教學(xué)

一、高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)價(jià)值分析

向量具有重要的教學(xué)價(jià)值，在數(shù)學(xué)、物理以及現(xiàn)代科學(xué)等各領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中，向量是一個(gè)非常重要的工具，向量能夠?qū)ξ恢眠M(jìn)行準(zhǔn)確的刻畫。同時(shí)，向量不僅是幾何的對(duì)象，還是代數(shù)的對(duì)象，不僅可利用向量進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，同時(shí)還可刻畫切線、平面、面積以及體積等幾何對(duì)象與度量。此外，還可利用向量求距離與夾角等。在物理中，向量的原型即為矢量，向量能夠準(zhǔn)確地刻畫加速度、位移、力等物理量，具有較強(qiáng)的實(shí)際意義。在現(xiàn)代科技領(lǐng)域，向量被廣泛地運(yùn)用于飛船設(shè)計(jì)以及衛(wèi)星定位等方面。

二、高中數(shù)學(xué)新課程向量教學(xué)的注意事項(xiàng)

1.在向量教學(xué)中，要兼顧其代數(shù)性質(zhì)與幾何意義

（1）注重向量的代數(shù)性質(zhì)

向量的代數(shù)性質(zhì)主要體現(xiàn)在運(yùn)算意義以及運(yùn)算律上，在實(shí)際的向量教學(xué)中，老師要注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)運(yùn)算律。例如，在蘇教版數(shù)學(xué)必修四的向量與實(shí)數(shù)乘積的運(yùn)算中，老師要采取適當(dāng)方法引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算結(jié)合律λ（μ）a=

（λμ）a以及第一與第二分配律等，讓學(xué)生在掌握各運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，了解線性空間的性質(zhì)，了解數(shù)學(xué)運(yùn)算律對(duì)于向量運(yùn)用的意義。

（2）注重向量的幾何意義

利用向量來刻畫幾何對(duì)象是向量代數(shù)性質(zhì)幾何意義的重要體現(xiàn)。例如，mn=0的幾何意義體現(xiàn)為向量m與向量n兩者是垂直的，從而將向量的代數(shù)運(yùn)算有效地與其位置關(guān)系相聯(lián)系，進(jìn)而將其與直線的關(guān)系相聯(lián)系。再如，mm的幾何意義表現(xiàn)為向量m長(zhǎng)度的平方，從而將向量長(zhǎng)度與其數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行聯(lián)系。因此，在高中數(shù)學(xué)新課程的向量教學(xué)中，老師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生將向量的幾何意義以及向量代數(shù)運(yùn)算展開聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地理解向量數(shù)量積的幾何意義，從而更好地利用向量代數(shù)性質(zhì)對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行刻畫，讓學(xué)生能夠深刻體會(huì)幾何與代數(shù)兩者間的聯(lián)系。

2.在向量教學(xué)中，要注重豐富其物理背景

向量有著豐富的物理背景，老師在高中數(shù)學(xué)的向量教學(xué)中要注重突出這些物理背景，使學(xué)生更全面地了解向量。物理量如速度、位移以及力等都是向量的原型，它們與日實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在教學(xué)中老師要充分利用這些現(xiàn)實(shí)背景。例如，在對(duì)蘇教版必修四的《向量的加法運(yùn)算》進(jìn)行教學(xué)時(shí)，老師可通過直觀的位移合成背景的方式導(dǎo)入向量加法運(yùn)算。如，假設(shè)某一物體從L位移到M，接著從M位移到N，那么從L到N的位移就為這兩次位移的結(jié)果，將這個(gè)確定的總位移視作前兩位移之和是自然的，以此導(dǎo)入向量的加法及其三角形、平行四邊形法則。再如，可運(yùn)用速度或位移的倍數(shù)為背景引入向量與數(shù)的乘積運(yùn)算；運(yùn)用力做功作為背景引入向量的數(shù)量積運(yùn)算。老師可先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境問題如：在物理學(xué)中，某一物體在其所受的F力下，在F力方向上產(chǎn)生位移S，那么力F對(duì)物體做功為多少呢？然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探討：

（1）F與S方向相同時(shí)，功的大小為：FS；

（2）力F與位移S兩者產(chǎn)生θ角時(shí)，那么F與S方向一致的分力為F1，則F1=Fcosθ，那么該物體在分力F1的方向上有位移S產(chǎn)生，那么此時(shí)物體做功為：FScosθ。

在這一教學(xué)過程中，老師要讓學(xué)生明白，物體所做的功是由力與位移兩個(gè)向量決定的，向量的數(shù)量積意義就體現(xiàn)于此。

3.在向量教學(xué)中，要注重其在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中，向量應(yīng)用廣泛，它既可刻畫幾何對(duì)象以及幾何度量的問題，又可以表示重要不等式、三角函數(shù)等。例如，ab≤ab是向量數(shù)量積中的一個(gè)重要的不等式，運(yùn)用該不等式的關(guān)系還可對(duì)數(shù)學(xué)中許多不等式進(jìn)行證明。又如，在對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行定義時(shí)，可運(yùn)用向量數(shù)量積進(jìn)行定義。例如，某平面上存在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基e1與e2，a則是這一平面上的向量，標(biāo)準(zhǔn)正交基e1與向量a產(chǎn)生的夾角為α，那么三角函數(shù)的定義為：sinα=，cosα=，tanα=。在現(xiàn)代科技領(lǐng)域中，向量還被廣泛應(yīng)用于設(shè)計(jì)與操控機(jī)器人、設(shè)計(jì)飛船等。

綜上所述，向量無論是在數(shù)學(xué)、物理，還是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。因此，在高中數(shù)學(xué)新課程向量教學(xué)時(shí)，老師要準(zhǔn)確對(duì)向量定位，并在教學(xué)中要注重體現(xiàn)其代數(shù)性質(zhì)以及幾何意義，并著重突出其物理背景，關(guān)注它在各領(lǐng)域的應(yīng)用，全面體現(xiàn)向量的教學(xué)價(jià)值。

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（作者單位 江蘇省徐州市沛縣中學(xué)）