在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

常瑞豐

【關(guān)鍵詞】思維功能 思維能力 培養(yǎng)策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）07B-0049-02

傳統(tǒng)教育的弊端，在于培養(yǎng)了大量不會(huì)思維的學(xué)生，這一問(wèn)題正逐漸引起人們的重視。數(shù)學(xué)是一門(mén)語(yǔ)言精練，抽象性、邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的特性，決定了數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性的最好途徑。因此，筆者認(rèn)為必須充分發(fā)揮數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。

一、數(shù)學(xué)的思維功能

數(shù)學(xué)的思維功能由數(shù)學(xué)的特征所決定，它主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.數(shù)學(xué)具有培養(yǎng)高度抽象思維的功能

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)具有更高層次的抽象性，它的抽象性?xún)H保留量的關(guān)系和空間形式，而去掉了其他一切如物理屬性、化學(xué)屬性或生物屬性等，并且這種關(guān)系和形式完全符號(hào)化和形式化了。如數(shù)學(xué)模型與模式的區(qū)別：

金屬熱脹冷縮時(shí)，金屬棒的長(zhǎng)度變化（Δl）與溫度變化（Δt）成正比。通過(guò)實(shí)際測(cè)定，某鐵棒在t1=0℃時(shí)，棒長(zhǎng)l1=10.00米，在t2=10℃時(shí)，棒長(zhǎng)為l2=10.05米，則相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：

=，即l=10+0.005t

從而可得鐵棒在t=50℃時(shí)相應(yīng)的長(zhǎng)度l=10+0.005×50=10.25（米）。

以上例子是把現(xiàn)實(shí)原型抽象成更為一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，b為常數(shù)），即由特定事物的“模型”過(guò)渡到純粹的量化“模式”。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人們善于抽象與概括，善于分析與綜合等優(yōu)良思維品質(zhì)的重要手段。

2.數(shù)學(xué)具有培養(yǎng)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的功能

數(shù)學(xué)科學(xué)的真理性使數(shù)學(xué)必須具備高度的嚴(yán)謹(jǐn)性，來(lái)保證數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明、推理、理論體系等的真值傳遞；同時(shí)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形式公理化，使數(shù)學(xué)對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的追求，不僅僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)形式化的追求，還在于對(duì)邏輯嚴(yán)密性的追求。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)上經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明了的結(jié)論總是正確的和無(wú)可爭(zhēng)辯的。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人們思維條理性、嚴(yán)密性、科學(xué)性的重要工具。

例如，證明：若m，n1，n2∈R，且m=n1+n2+1，則方程х2+х+n1=0與х2+mx+n2=0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。

其中P：m=n1+n2+1；

Q：x2+x+n1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；

R：x2+mx+n2=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。

于是可證明如下：

假設(shè)方程x2+x+n1=0沒(méi)有兩個(gè)不同實(shí)根（即），則△=1-4n1≤0?n1≥。為證方程x2+mx+n2=0有兩個(gè)不同實(shí)根（即R），只需證m2-4n2>0。

事實(shí)上，m2-4n2=（n1+n2+1）2-4n2=n22+2（n1-1）n2+（1+n1）2（這里使用了條件P），上式是n2的二次三項(xiàng)式，其△=4（n1-1）2-4（1+n1）2=-16n1<0，即有m2-4n2>0成立，故結(jié)論為真。

3.數(shù)學(xué)具有培養(yǎng)辯證思維的功能

數(shù)學(xué)中存在著許多對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。數(shù)學(xué)的辯證性特征決定了數(shù)學(xué)思維方法具有培養(yǎng)人們辯證思維能力的功能。在數(shù)學(xué)中，辯證法的三條基本規(guī)律得到了合理的、邏輯的解釋和證明。

其中，極限方法是辯證法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的典型例證，下面我們通過(guò)求導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。求導(dǎo)數(shù)時(shí)，第一步，在x0的附近求出函數(shù)f（x）的平均變化率（導(dǎo)數(shù)的近似值）；第二步，讓x0的區(qū)間向x0收縮；第三步，在有限收縮的基礎(chǔ)上經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限收縮過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了由量變到質(zhì)變的飛躍，從而得到函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)y′=[][Δx→0]。

由此可見(jiàn)，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程是否定之否定的過(guò)程，是量變與質(zhì)變的過(guò)程，是有限與無(wú)限矛盾轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)升華的結(jié)果，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力顯得尤為重要，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要特別注意以下問(wèn)題：

1.以問(wèn)題解決為核心進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)因問(wèn)題而生，數(shù)學(xué)的目的則是解決問(wèn)題。由于數(shù)學(xué)思維是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心智活動(dòng)，它總是指向問(wèn)題的變換，表現(xiàn)為不斷地抽出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。學(xué)生思維能力的發(fā)展，最令人信服的指標(biāo)就是問(wèn)題解決能力的提高，所以數(shù)學(xué)課對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，不但要通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)，而且最終以問(wèn)題的解決為目的。這是數(shù)學(xué)同其他學(xué)科相比，在思維能力培養(yǎng)方面一個(gè)最為明顯的特征。按照波利亞解題理論，解題過(guò)程可分成四個(gè)步驟：弄清問(wèn)題，制訂計(jì)劃，實(shí)行計(jì)劃，回顧。

例如，已知{an}是等差數(shù)列，a4+a6=6，其前5項(xiàng)和S5=10，則其公差是多少？

（1）弄清問(wèn)題

問(wèn)題：要求的是什么？——d

問(wèn)題：已知些什么？——a4+a6=6，S5=10

（2）制訂計(jì)劃

an=am+（n-m）dd=。

問(wèn)題：怎樣才能確定an，am？

說(shuō)明：由S5===10可得a3=2。

問(wèn)題：a4+a6=6與a3有何關(guān)系呢？

說(shuō)明：由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6則可得d。

（3）實(shí)行計(jì)劃

由S5===10可得a3=2。

由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6

因此，d=。

（4）回顧

“你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來(lái)？你能不能把這一結(jié)果或方法應(yīng)用于其他問(wèn)題？”

從這個(gè)例子可以看出，解題過(guò)程就是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已熟悉的問(wèn)題或知識(shí)，借助已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題獲得解決。數(shù)學(xué)課并非專(zhuān)門(mén)、孤立地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而應(yīng)以解決問(wèn)題為途徑，把審題、明確思路、解題、反思這四個(gè)方面的思維能力滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過(guò)程中，以提高這四種能力為基礎(chǔ)，提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)思維能力。

2.重視對(duì)學(xué)生非邏輯思維能力的培養(yǎng)

目前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)比較重視學(xué)生運(yùn)算能力、定向思維能力及邏輯思維能力的培養(yǎng)，而對(duì)學(xué)生非邏輯思維能力的培養(yǎng)則較為缺乏。所謂邏輯思維方法就是在邏輯規(guī)則的控制下，從一定的前提出發(fā)，找出與之有聯(lián)系的依據(jù)，循序漸進(jìn)，連續(xù)推導(dǎo)的線性思維方法。正因如此，邏輯思維往往難以獲得突破性的創(chuàng)新。與此相反，想象、直覺(jué)與頓悟等非邏輯思維，不受邏輯規(guī)則條條框框的限制，它們相互交叉，思路靈活，容易轉(zhuǎn)移，形成一種放射式的非線性思維方式。它能直接地獲得突破性的創(chuàng)新。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生非邏輯思維能力的培養(yǎng)。

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先，教師要注意積累發(fā)散性的問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，促進(jìn)智力探索，形成創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維；其次，要有意識(shí)地進(jìn)行討論式、探究式等課堂教學(xué)改革的嘗試，啟發(fā)學(xué)生積極思維、主動(dòng)探索數(shù)學(xué)真理，激發(fā)學(xué)生思維的活力。

在學(xué)科教學(xué)中，教師和學(xué)生往往容易把注意力放在知識(shí)的積累上而忽視了思維能力的培養(yǎng)和發(fā)展。隨著我國(guó)課程改革的全面展開(kāi)，教師應(yīng)肩負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的重任，把思維能力的培養(yǎng)與具體的學(xué)科教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生成為有思想的人。

（責(zé)編 林 劍）