球面與偽球面之異同

侯瑩楠

摘要：本文給出了球面與偽球面的數(shù)點異同，并給出了偽球面的面積和偽球體的體積。

關(guān)鍵詞：球面；偽球面；體積；三角形；平行公理

一、預備知識

19世紀上半葉，德國數(shù)學家黎曼與俄國數(shù)學家羅巴契夫斯基分別獨立地創(chuàng)立了非歐幾何，被世人分別稱作黎曼幾何與羅氏幾何，這為數(shù)學的發(fā)展開辟了新的廣闊天地，堪稱“數(shù)學史上的里程碑”。在三維空間里，歐氏幾何，黎曼幾何與羅氏幾何的常曲率空間分別為：曲率為零，曲率為正常數(shù)，曲率為負常數(shù)。特別地，球面與偽球面分別是黎曼幾何與羅氏幾何中極具代表性的曲面。本文中，我們給出了球面與偽球面的數(shù)點異同。

在研究球面與偽球面之前，我們需要先熟知兩種曲面的產(chǎn)生過程。為了便于觀察與比較，我們還需要在代表符號上運用一定的技巧。

（一）球面

定義1在Oxz平面上，我們僅考慮z軸右方的半平面（x≥0），曲線（C）上任意一點到原點O的距離始終保持定長R，則此曲線稱作半圓線。

易知，半圓線的方程為x=Rcosθ，-■≤θ≤■，z=Rsinθ，-∞

其中θ為半徑與x軸所成的角。若把上述半圓線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)面稱作球面。它的參數(shù)表示是

x=Rcosθcos？漬，-■≤θ≤■，y=Rcosθcos？漬，0≤？漬≤2π，z=Rsinθ，-∞

令球面■={Rcosθcos？漬，Rcosθsin？漬，Rsinθ}，則可由知球面的第一、二基本量分別為E=R2，F(xiàn)=0，G=R2cos2θ，L=R，M=0，N=Rcos2θ，即有球面的第一基本形式I=R2dθ2+R2cos2θd？漬2，第二基本形式II=R2dθ2+Rcos2θd？漬2。

（二）偽球面

類似球面的定義，我們首先介紹Oxz平面上曳物線的定義。

定義2設曲線（C）上任意一點的切線上介于切點和軸之間的線段始終保持定長R，則此曲線稱為曳物線。其方程為

x=Rsinθ，0<θ≤■，z=±R（ln tan■+cosθ），-∞

其中θ為切線與z軸所成的角。若把上述曳物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)面稱作偽球面。它的參數(shù)方程是

x=Rsinθcos？漬，0<θ≤■，y=Rsinθsin？漬，0≤？漬≤2π，z=±R（ln tan■+cos？漬），-∞

令偽球面■={Rsinθcos？漬，Rsinθsin？漬，±R（ln tan■+cosθ）}，則有 ■={Rcosθcos？漬，Rcosθsin？漬，±R■}，

■={-Rsinθcos？漬，-Rsinθsin？漬，±Rcosθ（■）}，

■={Rsinθsin？漬，-R，0}，

■={-Rsinθsin？漬，Rsinθcos？漬，0}，

■={-Rsinθcos？漬，-Rsinθsin？漬，0}，

■=■=■·{±R2cos2θcos？漬，±R2cos2θsin？漬，R2sinθcosθ}={±cos2θcos？漬，±cos2θsin？漬，sinθ}。

從而有偽球面的第一、二基本量分別為

E= ■· ■=R2cot2θ，F(xiàn)= ■· ■=0，G= ■· ■=R2sin2θ，

L=■·■= ±Rcotθ，M=■·■=0，N=■·■=±Rsinθcosθ。

即有偽球面的第一基本形式為I=R2cot2θdθ2+R2sin2θd？漬2，

第二基本形式為II= ±Rcotθdθ2±Rsinθcosθd？漬2。

（三）球面與偽球面上有關(guān)概念

在歐氏幾何中，直線（線段）、角、三角形等是非?；A，極其重要的研究對象。在非歐幾何中，同樣要研究這些概念。而這些概念在球面與偽球面中是怎樣表現(xiàn)出來的呢？

1.偽球面上的“直線”——測地線。通過偽球面的第一基本形式I=■（dx2+dy2）經(jīng)過保角變換將其映到平面上，則其上的測地線對應于圓心在軸上的圓?，F(xiàn)我們僅考慮Oxz平面上在x軸上方的半平面，即稱為羅氏平面。羅氏平面上的半圓即稱為羅氏直線。羅氏平面上的任意兩點恰好由一條羅氏直線連結(jié)，通過保角變換，它們對應偽球面上的兩點。相應地，連結(jié)偽球面上的兩點只有唯一一條測地線，這與歐氏平面上兩點連一直線亦很相似，所以，我們把偽球面上的測地線稱為偽球面上的“直線”。

2.偽球面上過一點A引兩條“射線”（測地線?。〢B和AC，它們所構(gòu)成的圖形稱作偽球面上的角，記作偽球面∠BAC，A，稱作“角”的頂點，測地線弧AB，AC稱作“角”的邊。

二、球面與偽球面的相同之處

我們看到，球面與偽球面的第一、二基本量均不相同，但注意到球面中，而偽球面中EG=R2·R2cos2θ=R4cos2θ，這在某種意義上說是相同的，即均為定長的4次方與第一變角θ的余弦的平方的乘積。同樣地，球面上LN=R·Rcos2θ=R2cos2θ，偽球面上LN=？芎Rcotθ·（±Rsinθcosθ）=-R2cos2θ，其絕對值在某種意義上可以說是相同的，它們只是符號相反。這讓我們不禁聯(lián)想到了Gauss曲率的一個計算公式K=■，可以得到球面上K=■，為正常數(shù)，偽球面上，為負常數(shù)，這在一定意義上也可以說是相同的。

有了第一基本量，我們很自然地想到利用公式？滓■■dudv（積分區(qū)域D-（u，v）平面的區(qū)域）來得到曲面的面積。不難驗證球面的面積為S球=4πR2。

現(xiàn)在我們來得到偽球面的面積，試與球面比較。由于偽球面中所定義的θ角的特殊性，以及偽球面關(guān)于xoy面的對稱性，我們先計算曳物線z≥0部分所掃過的面積

S1=■■dθdv

=■■R2cosθdθd？漬

=2πR2■cosθdθ

=2πR2

故整個偽球面面積即為S=2S1=4πR2。顯然，這與球面面積公式相當?shù)奈呛希鶠槎ㄩL的平方的4π倍。這也充分表明了只要（偽）球面的（虛）半徑給定，那么它們的面積為定值，并且是有界的，從而也有其上的三角形的面積也是有界的。

在非歐幾何中，已經(jīng)不存在相似三角形，所以，球面三角形與偽球面三角形均是要么全等，要么不同。平面三角形全等的判定定理有（s，s，s），（s，a，s），（a，s，a），（a，a，s），這些定理在球面與偽球面中同樣成立，因為它們的證明與第五公設無關(guān)。值得注意的是平面三角形中證明兩三角形相似的（a，a，a）定理。在球面與偽球面中已不存在相似三角形，那么（a，a，a）定理能否成為證明兩球面三角形或兩偽球面三角形全等的工具呢？回答是肯定的。

總之，球面與偽球面作為非歐幾何中的典型代表，有著許多相同之處。而作為非歐幾何的兩個分支，它們又有著很大的不同。它們的發(fā)展仍未達到完善，需要進一步地研究與探索。我們應該繼承和發(fā)揚前輩數(shù)學家的勇于創(chuàng)新，堅持不懈的精神，在數(shù)學王國中貢獻自己的力量。

參考文獻：

1.梅向明、黃敬之，《微分幾何》（第三版）[M]，高等教育出版社，2003

2.王申懷，《平面幾何與球面幾何之異同》[J]，數(shù)學通報，2006

3.李忠，《非歐幾何及其模型》[J]，《數(shù)學通報》，2005

4.李忠，《非歐幾何及其模型》（續(xù)）[J]，《數(shù)學通報》，2005

5.李光漢，《球面幾何及其應用》[J]，《中學數(shù)學》，2005

【責編 田彩霞】