高考解題中的數(shù)學(xué)思想

郭平麗

摘 要：首先對(duì)什么是數(shù)學(xué)思想方法作一簡(jiǎn)述，然后重點(diǎn)講解了幾種常見(jiàn)的思想方法的含義，以及如何解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體方法步驟。最后通過(guò)講解實(shí)例來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題時(shí)的意義。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；數(shù)形結(jié)合；分類討論；化歸與轉(zhuǎn)化

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。那如何才能有更加靈活的解題思維呢？下面我們就從數(shù)學(xué)思想這個(gè)層面來(lái)闡述高考解題技巧。

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想，就是運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的等量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決的思想。方程的思想是分析數(shù)學(xué)中變量間的關(guān)系，從而建立方程，通過(guò)解方程或方程組，使問(wèn)題獲得

解決。

例1.已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，若對(duì)一切的x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。

【解析】2xlnx≥-x2+ax-3，則a≤2lnx+x+■，

設(shè)h（x）=2lnx+x+■（x>0），則h′（x）=■，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增。

∴h（x）min=h（1）=4.

∵對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤h（x）min=4.

【答案】（-∞，4]

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來(lái)考查的思想，即根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題和圖形的性質(zhì)互相轉(zhuǎn)換。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)形數(shù)相助，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它是數(shù)學(xué)規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

例2.方程（■）x-sinx=0在區(qū)間[0，2π]上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）

A.1 B.2

C.3 D.4

【解析】方程解的個(gè)數(shù)可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使求方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，但用圖象法討論方程的解，一定要注意圖象的精確性、全面性。

【答案】B

三、分類討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法的數(shù)學(xué)思想，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

例3.當(dāng)0

A.（0，■） B.（■，1）

C.（1，■） D.（■，2）

【解析】由題意得，當(dāng)01時(shí)，不符合題意，舍去，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

■

【答案】B

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化與化歸是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的一種思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

例4.已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離均為■，則球心O到平面ABC的距離為（ ）

A.■ B.■

C.■ D.■

【解析】由已知條件，分析所給出的幾何體的特征，可作如下轉(zhuǎn)化：

球心O到平面ABC的距離？圳正三棱錐O-ABC的高？圳正方體的對(duì)角線。

由此，可得出球心O到平面ABC的距離=棱長(zhǎng)為1的正方體對(duì)角線的■=■。

【答案】B

數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心，然而數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是形成學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶。

參考文獻(xiàn)：

高長(zhǎng)玉.數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2002-01.

（作者單位 山西省平遙現(xiàn)代工程技術(shù)學(xué)校）