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    等差數(shù)列與公差的巧用

    2013-04-29 21:57:53張貴峰
    金色年華·教學(xué)參考 2013年7期
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)特征公差方程組

    張貴峰

    【摘 要】對于某些數(shù)學(xué)問題,可從問題的結(jié)構(gòu)特征入手,充分挖掘問題的數(shù)列背景,通過等差數(shù)列的公差改變問題的原有結(jié)構(gòu),找到解決問題的途徑。

    【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列;公差;a+c=2b

    對于某些數(shù)學(xué)問題,表面上看似乎與數(shù)列毫不相關(guān),但仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析就可以發(fā)現(xiàn),問題含著等差數(shù)列的因素,這時可從問題的結(jié)構(gòu)特征入手,充分挖掘問題的數(shù)列背景,通過等差數(shù)列的公差改變問題的原有結(jié)構(gòu),找到解決問題的途徑。

    因為a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是a+c=2b,所以在解題時,若能發(fā)現(xiàn)“a+c=2b”的模型就相當(dāng)于找到了解題的途徑,若能夠構(gòu)造出“a+c=2b”的模型,則相當(dāng)于在“問題”和等差數(shù)列之間架設(shè)了一座“橋梁”為等差數(shù)列公差d的應(yīng)用開辟了新天地,使“問題”得到解決。

    一、用公差解無理方程

    例1、解方程

    解:此方程X的允許值范圍為[1,3],在此范圍內(nèi),由a+c=2b,可知,,成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則,,

    將兩式平方后相加,得,即,∴。

    由代入,得,即;

    由代入,得,∴。

    ∵,∴為所求二根。

    二、用公差解無理方程組

    例2、求方程組的實數(shù)解。

    解:由方程(1)知,成等差數(shù)列,令

    將x,y-1代入(2)得,并由此求得

    若,則x=4,y=10;若,則x=9,y=5.∴方程組的解為或

    三、用公差研究不定方程

    例3、設(shè)實數(shù)x、y,z滿足求x的取值范圍。

    解:由(1)得,

    由(2)得

    ∴ 成等差數(shù)列,

    令代入(1)得

    即解得∴x的取值范圍是[1,9]。

    四、用公差研究最大(?。┲档膯栴}

    例4、確定最大的實數(shù)z,使得并且x,y也是實數(shù)。

    解:∵∴成等差數(shù)列

    令則由

    得整理,得解得又當(dāng)時,時,∴最大的實數(shù)

    五、公差在復(fù)數(shù)方程中的應(yīng)用

    例5、已知,求的值

    分析:本題可經(jīng)過猜想歸納求得結(jié)果,但是從“兩數(shù)之和是第三個數(shù)的二倍”中隱含著三個數(shù)成等差數(shù)列這一因素,進(jìn)而構(gòu)造出相應(yīng)的等差數(shù)列,使之解答十分自然。

    解:依題意,三數(shù)x,cos,成等差數(shù)列,所以,可設(shè)兩式相乘得,

    六、公差在三角中的應(yīng)用

    例6、已知,求的值。

    解:由題設(shè)知成等差數(shù)列。設(shè)則由,得,解得或

    另一方面

    把d=或代入上式,得=-1,或7。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]王翠霞.中國校外教育,2008,(12).

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