等差數(shù)列與公差的巧用

張貴峰

【摘 要】對于某些數(shù)學(xué)問題，可從問題的結(jié)構(gòu)特征入手，充分挖掘問題的數(shù)列背景，通過等差數(shù)列的公差改變問題的原有結(jié)構(gòu)，找到解決問題的途徑。

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列；公差；a+c=2b

對于某些數(shù)學(xué)問題，表面上看似乎與數(shù)列毫不相關(guān)，但仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析就可以發(fā)現(xiàn)，問題含著等差數(shù)列的因素，這時可從問題的結(jié)構(gòu)特征入手，充分挖掘問題的數(shù)列背景，通過等差數(shù)列的公差改變問題的原有結(jié)構(gòu)，找到解決問題的途徑。

因為a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是a+c=2b，所以在解題時，若能發(fā)現(xiàn)“a+c=2b”的模型就相當(dāng)于找到了解題的途徑，若能夠構(gòu)造出“a+c=2b”的模型，則相當(dāng)于在“問題”和等差數(shù)列之間架設(shè)了一座“橋梁”為等差數(shù)列公差d的應(yīng)用開辟了新天地，使“問題”得到解決。

一、用公差解無理方程

例1、解方程

解：此方程X的允許值范圍為[1，3]，在此范圍內(nèi)，由a+c=2b，可知，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，，

將兩式平方后相加，得，即，∴。

由代入，得，即；

由代入，得，∴。

∵，∴為所求二根。

二、用公差解無理方程組

例2、求方程組的實數(shù)解。

解：由方程（1）知，成等差數(shù)列，令

則

將x，y-1代入（2）得，并由此求得

若，則x=4，y=10；若，則x=9，y=5.∴方程組的解為或

三、用公差研究不定方程

例3、設(shè)實數(shù)x、y，z滿足求x的取值范圍。

解：由（1）得，

由（2）得

∴ 成等差數(shù)列，

令代入（1）得

即解得∴x的取值范圍是[1，9]。

四、用公差研究最大（?。┲档膯栴}

例4、確定最大的實數(shù)z，使得并且x，y也是實數(shù)。

解：∵∴成等差數(shù)列

令則由

得整理，得解得又當(dāng)時，時，∴最大的實數(shù)

五、公差在復(fù)數(shù)方程中的應(yīng)用

例5、已知，求的值

分析：本題可經(jīng)過猜想歸納求得結(jié)果，但是從“兩數(shù)之和是第三個數(shù)的二倍”中隱含著三個數(shù)成等差數(shù)列這一因素，進(jìn)而構(gòu)造出相應(yīng)的等差數(shù)列，使之解答十分自然。

解：依題意，三數(shù)x，cos，成等差數(shù)列，所以，可設(shè)兩式相乘得，

六、公差在三角中的應(yīng)用

例6、已知，求的值。

解：由題設(shè)知成等差數(shù)列。設(shè)則由，得，解得或

另一方面

把d=或代入上式，得=-1，或7。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王翠霞.中國校外教育，2008，（12）.