線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量之探討

曾友芳

[摘 要]本文在闡述線性代數(shù)課程在大學(xué)教育中的重要性之后，探討了在教學(xué)過程中如何提高教學(xué)質(zhì)量的問題。從備課、課堂教學(xué)、課后跟蹤到考前模擬，每個(gè)環(huán)節(jié)都根據(jù)實(shí)際情況制定相應(yīng)的實(shí)施方案，任課老師因材施教，因?qū)W生而異進(jìn)行管理和輔導(dǎo)，跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，從而使學(xué)生獲得真才實(shí)學(xué)的內(nèi)在質(zhì)量提升和期考好成績乃至能將所學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的外在效果。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù) 教學(xué)質(zhì)量 因材施教

[中圖分類號(hào)] G421 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）08-0073-03

線性代數(shù)是高等院校大部分專業(yè)必修的一門公共數(shù)學(xué)課程，其應(yīng)用范圍廣泛，如微分方程、運(yùn)籌學(xué)與控制論等數(shù)學(xué)分支，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)等技術(shù)，無不以線性代數(shù)為其理論研究和算法設(shè)計(jì)的一個(gè)重要基礎(chǔ)組成部分。在電氣、土木、金融等領(lǐng)域，很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型是含有多個(gè)變量多個(gè)約束的優(yōu)化問題，而求解這些問題就必須有線性代數(shù)的基礎(chǔ)，才能理解相關(guān)的更深理論，如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等的算法和理論，最終利用計(jì)算機(jī)依據(jù)算法編程來求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以此得到最優(yōu)解。

美國著名數(shù)學(xué)教育家、美國國家“線性代數(shù)課程研究小組”的核心成員、線性代數(shù)課程現(xiàn)代化的主要倡導(dǎo)者David C.Lay 教授在其著作《線性代數(shù)及其應(yīng)用》中述及：“這門課程是最有趣、最有價(jià)值的大學(xué)數(shù)學(xué)課程。事實(shí)上，一些學(xué)生在畢業(yè)以后告訴我他們?cè)诖蠊镜墓ぷ髦谢蚬こ萄芯可旱膶W(xué)習(xí)中還使用本教材作為參考書?！盵1]誠如其所言，不少研究生在專業(yè)研究中將以線性代數(shù)的知識(shí)作為基礎(chǔ)工具，如果沒有本科學(xué)習(xí)時(shí)打下的扎實(shí)基礎(chǔ)，要想使用其以提升自己的論文質(zhì)量和研究成果，甚至只是進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，那么這將是制約發(fā)展的瓶頸。比如最優(yōu)化中的線性規(guī)劃[2]，就以線性代數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)，而金融[3]、工程[4，5]等許多領(lǐng)域的應(yīng)用中要用到最優(yōu)化的知識(shí)，這樣基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)問題——扎實(shí)掌握線性代數(shù)知識(shí)，其重要性不言而喻。

然而，另一方面，線性代數(shù)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，概念多， 定理多，易混淆， 計(jì)算繁瑣，這使許多學(xué)生認(rèn)為線性代數(shù)是一門抽象難懂的課程，不易掌握，望而卻步，但其廣泛的應(yīng)用性卻激起了學(xué)生們強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求，如何解決這個(gè)矛盾是教師一直在思考的問題。筆者在高校任教，經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐，不斷改革探索，教學(xué)質(zhì)量穩(wěn)步提高。在此和同行探討這一問題，以求進(jìn)步。

一、備課面廣泛且要因材施教

備課不僅要備教材內(nèi)容，而且還要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況和需要準(zhǔn)備相關(guān)的改進(jìn)提高措施。以同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》第五版的教材為例，一般授課的主要內(nèi)容是第一到第五章，即行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性和相似矩陣及二次型，課時(shí)為45節(jié)，每節(jié)40分鐘，按這個(gè)時(shí)間來安排好教學(xué)是比較緊張的。“如何安排好全程教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量、達(dá)到優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果？”就是一個(gè)擺在任課教師面前的重要問題。

俗話說：臺(tái)上一分鐘，臺(tái)下十年功。老師要想教好學(xué)生，給每個(gè)學(xué)生一碗水，自己就得有一桶水，所以老師就要在備課階段下足工夫。首先，研究教材，了解重難點(diǎn)，還有整個(gè)授課內(nèi)容的框架和內(nèi)在脈絡(luò)，這些都要了如指掌，為透徹理解這些理論及其應(yīng)用，建議多讀國內(nèi)外經(jīng)典教材和教輔書，如參考文獻(xiàn)[1]等。其次，為豐富教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)對(duì)課堂整體把握的技巧等，廣泛閱讀教改論文，尤其是近幾年的論文，了解關(guān)于線性代數(shù)課程的現(xiàn)狀、發(fā)展和局限，學(xué)習(xí)同行如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[6]，如何在課堂上滲透數(shù)學(xué)思想以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[7]等。再次，查看國外著名的大學(xué)公開課線性代數(shù)的教學(xué)視頻，國內(nèi)精品課程網(wǎng)站，認(rèn)真學(xué)習(xí)名師的網(wǎng)上課堂，通過對(duì)教學(xué)大綱的了解和比較，調(diào)整原來的重難點(diǎn)，平時(shí)抽空走進(jìn)教學(xué)名師的課堂，親身感受名師風(fēng)采，總結(jié)差距，調(diào)整自己的授課布局和方法。最后，綜合考慮本學(xué)期授課學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，汲取網(wǎng)上課件制作中的精華，調(diào)整修改制作課件。

二、提高課堂質(zhì)量

每次上新課前，先將上次課講授的重難點(diǎn)讓學(xué)生回顧一下，看看還有哪些學(xué)生沒理解掌握的，加以引導(dǎo)，尤其是主線脈絡(luò)，順此理清，承上才好啟下。講授新課前先說明需講授的要點(diǎn)分別是哪幾點(diǎn)，這幾點(diǎn)的關(guān)系等，然后再逐一展開。因?yàn)榫€性代數(shù)的概念和知識(shí)點(diǎn)較多，所以講授過程中分段總結(jié)很重要，某個(gè)知識(shí)點(diǎn)要么在引例中看其用處，要么講完后通過應(yīng)用或故事說明它的用處或?qū)⒃谀男┓矫鎽?yīng)用，以拓展學(xué)生的思路和知識(shí)面，并提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，等用到的時(shí)候又再強(qiáng)調(diào)回顧。

同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與比較都可以反復(fù)進(jìn)行，比如矩陣和行列式的不同與相似，概念和記號(hào)不同，但行列式的某些性質(zhì)和矩陣的初等變換有類似之處，啟發(fā)學(xué)生“如何通過比較巧妙記憶”；在判斷齊次線性方程組是否有非零解時(shí)，一般將系數(shù)矩陣化成階梯形后，根據(jù)矩陣秩與方程組中含有未知數(shù)個(gè)數(shù)的比較來判斷，但當(dāng)系數(shù)矩陣是低階或易于計(jì)算其行列式的方陣時(shí)，簡單計(jì)算系數(shù)行列式，由其為零即可知此齊次線性方程組有非零解。學(xué)習(xí)新知的過程就是反復(fù)復(fù)習(xí)的過程，以此減輕學(xué)生的課后學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，同時(shí)也可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)已學(xué)內(nèi)容的掌握情況，如此推進(jìn)，學(xué)生在這個(gè)過程中就可以把知識(shí)脈絡(luò)框架建立起來，從而熟悉自己的課本，熟悉所學(xué)內(nèi)容，做練習(xí)才得心應(yīng)手，并且印象深刻，等到后續(xù)課程需要這些知識(shí)時(shí)，可以很快地回憶起來而應(yīng)用于實(shí)踐。

三、課后追蹤練習(xí)情況

每次課后，讓學(xué)生做與授課知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的練習(xí)，原則上學(xué)習(xí)完一章就進(jìn)行單元測(cè)驗(yàn)，題型主要可分為填空題、選擇題、判斷題、計(jì)算題和證明題。填空題考核學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握；選擇題考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力；判斷題考核學(xué)生對(duì)概念、定理、性質(zhì)等理論的掌握和辨析能力；計(jì)算題考核學(xué)生的計(jì)算能力和綜合能力，證明題考核學(xué)生對(duì)一些重要定理的認(rèn)知和應(yīng)用能力。一般設(shè)置單元測(cè)驗(yàn)的時(shí)間是40分鐘，即1小節(jié)課，可隨堂測(cè)驗(yàn)也可另作安排。測(cè)驗(yàn)后仔細(xì)批改，記錄常見錯(cuò)誤的情況，如某道計(jì)算題，學(xué)生常見的錯(cuò)誤有幾處，每處是哪些情況。講評(píng)時(shí)重在正面講授，講清關(guān)鍵點(diǎn)和思路、做題步驟、錯(cuò)誤情況等。以教學(xué)過程中遇到的由兩個(gè)專業(yè)班級(jí)合成的教學(xué)班為例，每次列表比較班級(jí)的考分情況，如下表1：

這對(duì)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)斗志有催化劑般的作用。通過這樣的比較，每次兩個(gè)班都在暗暗較量，并且每個(gè)學(xué)生經(jīng)過講評(píng)和更正都知道自己的改進(jìn)方向，待到期考，大部分同學(xué)都有明顯的進(jìn)步，甚至原來測(cè)驗(yàn)落后的班級(jí)會(huì)取得突出的成績，比如，這里的（2）班，期考35人中僅有1人卷面分（滿100）不及格（56分），但（1）班因一直占優(yōu)勢(shì)，沒有居安思危，所以還有3位學(xué)生不及格。

另外，適時(shí)的在課后安排幾次輔導(dǎo)答疑時(shí)間，可要求學(xué)習(xí)有一定困難的學(xué)生參加，其他學(xué)生不做要求。重點(diǎn)抽查學(xué)生完成作業(yè)及批改后的作業(yè)、測(cè)驗(yàn)改錯(cuò)情況，看看他們對(duì)錯(cuò)題是否理解清楚、是否更正。再則詢問他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)是否掌握，可通過讓他們講述典型例題的方法了解他們的思路是否正確清晰。之所以要如此細(xì)致追蹤，是因?yàn)楫?dāng)前的大學(xué)新生剛由中學(xué)轉(zhuǎn)入，有些還是很依賴?yán)蠋煹墓苁?，不夠自覺，盡管老師可以在課堂的教學(xué)中一再說明要自主學(xué)習(xí)，但部分學(xué)生自制力還待逐步提高，還需要老師的適時(shí)幫助，否則這部分學(xué)生將會(huì)跟基礎(chǔ)好及主動(dòng)性強(qiáng)的學(xué)生拉開更大的差距，到期考前臨陣磨槍就肯定來不及了。

四、考前總復(fù)習(xí)

期考前，也就是最后一次課，一般會(huì)對(duì)課程進(jìn)行總復(fù)習(xí)，此時(shí)再強(qiáng)調(diào)，課本內(nèi)容為主，其他練習(xí)為輔。通過練習(xí)真正理解課本的理論知識(shí)，而不是本末倒置，只顧練習(xí)而不重課本理論，練得一題算一題，不知道總結(jié)也不知道課本的重心在哪兒?？梢苑终鹿?jié)講重點(diǎn)，弄清每章的綜合計(jì)算題方向，因?yàn)榇蟛糠种仉y點(diǎn)都集中在這些題中考核，比如：求解矩陣方程，就考核了矩陣的逆的存在和計(jì)算，矩陣的加法、減法和乘法的運(yùn)算，以及因矩陣乘法的交換律不一定成立而需考慮的左乘右乘問題等。再如，將二次型用正交變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形，就涉及二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值和特征向量的問題，而求解特征向量又是一個(gè)個(gè)解線性方程組的過程，其間還有將特征向量正交單位化的處理。由此層層分析后，特別強(qiáng)調(diào)其中的一個(gè)基礎(chǔ)計(jì)算——將一個(gè)矩陣化成階梯形和最簡形的計(jì)算——一定要過關(guān)，否則后續(xù)大部分計(jì)算題將無法完成，因?yàn)樗鼈兌家源擞?jì)算為關(guān)鍵的一步。

經(jīng)過整個(gè)環(huán)節(jié)的把握，只要學(xué)生不是刻意不學(xué)，一般來說都能順利通過期末考試，半數(shù)左右的學(xué)生可以通過自身的加倍努力取得80分以上的優(yōu)良成績，以筆者近一年兩個(gè)學(xué)期所帶的非數(shù)學(xué)專業(yè)班級(jí)參加全校統(tǒng)考（考教分離）成績結(jié)果為例，如表2可以看到改進(jìn)后的較精細(xì)化教學(xué)方法帶來教學(xué)質(zhì)量穩(wěn)步提升的效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] David C.Lay 著，劉深泉等譯. 線性代數(shù)及其應(yīng)用（原書第3版）——華章數(shù)學(xué)譯叢[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[2] Mokhtar S.Bazaraa，John J.Jarvis and Hanif D.Sherali. Lin？鄄ear Programming and Network Flows（the Fourth Edition）[M]. Canada：John Wiley & Sons Canada，2010.

[3] 宋威. 金融數(shù)學(xué)模型[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2005.

[4] 鄭國強(qiáng)，鮑海，陳樹勇. 基于近似線性規(guī)劃的風(fēng)電場(chǎng)穿透功率極限優(yōu)化的改進(jìn)算法[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004：68-71.

[5] 耿紅，王澤民.基于灰色線性規(guī)劃的土地利用結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究[J]. 武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，25（2）：167-171，182.

[責(zé)任編輯：左 蕓]