小學(xué)數(shù)學(xué)以線段圖建模的類型與特征研究

李媛媛

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）08-0137-03

“解決問題”歷來是教育研究的重點(diǎn)，但對(duì)“解決問題”進(jìn)行綜合性建模的研究卻很缺乏，尤其是突破類型限制，以圖式的模式化方式反映量之間的本質(zhì)關(guān)系的研究。本文對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)問題中常用的線段圖進(jìn)行歸納與研究，旨在突破具體問題、具體情境的限制，抓住線段圖反映數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究提供一個(gè)研究思路。

解決問題在小學(xué)教學(xué)中占有重要地位，它是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的重要途徑，也是提高學(xué)生邏輯思維能力的重要手段。因此“解決問題”始終是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)問題。但與此同時(shí)由于解決問題教學(xué)涉及的知識(shí)面廣，分析推理過程較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，因此它又是教學(xué)的難點(diǎn)問題。

一、解決問題“難”的主要原因分析

解決問題中往往涉及一些與生活實(shí)踐相聯(lián)系的應(yīng)用問題。解決這類問題時(shí)，首先需要把生活問題數(shù)學(xué)化，尋找問題中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，再用數(shù)學(xué)方法求得結(jié)果，最后還要還原到最初的生活問題之中。在這個(gè)過程中，既需要有從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象能力，也需要具有能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題的語言能力，而這兩點(diǎn)對(duì)于小學(xué)生而言，都是正處于發(fā)展初期的薄弱點(diǎn)，因此“解決問題是小學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問題”在小學(xué)是一個(gè)客觀存在。

例如，數(shù)學(xué)語言具有抽象性，這決定了學(xué)生必須能對(duì)解決問題中抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號(hào)進(jìn)行形象感知，在這個(gè)過程中，需要對(duì)它們之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析，形成自我建構(gòu)，這導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題思考強(qiáng)度大。 以下面的集合圖來說明：

上圖表示的是“非0自然數(shù)按約數(shù)的個(gè)數(shù)可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1 三類”這一概念，學(xué)生如果不認(rèn)識(shí)這種特殊表現(xiàn)形式而去觀察、比較質(zhì)數(shù)和合數(shù)哪一類所占面積更大；或把集合圖割裂開，孤立地認(rèn)為質(zhì)數(shù)在左面，合數(shù)在右面；或是干脆當(dāng)成一幅圖片來記憶，就會(huì)在理解上偏離語義的本質(zhì)。

又比如，一個(gè)本1元錢，小明買了5個(gè)本花了多少元錢？

這道題對(duì)很多學(xué)生來說很簡(jiǎn)單，可以直觀求解，但是，若讓他們根據(jù)“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”來計(jì)算出5元，這對(duì)他們而言反而具有相當(dāng)?shù)碾y度。

原因就在于小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段。這一階段的學(xué)生思維正處于具體、形象思維為主并逐漸向抽象邏輯思維的過渡期。他們的理解能力有限，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系有一定難度。

在這種現(xiàn)實(shí)存在下，如何采取一種小學(xué)生可以理解的方法突破難點(diǎn)呢？

考慮到小學(xué)生重直觀的特點(diǎn)，本文從直觀圖示的方法入手試圖建立以圖示為主的數(shù)學(xué)模型，以幫助小學(xué)生突破難點(diǎn)、走出困境。

二、線段圖建模類型研究

通過研究小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的線段圖的各種可能情形和分析小學(xué)數(shù)學(xué)中各種解決問題的題目，發(fā)現(xiàn)解決問題的相關(guān)題目基本上可以劃歸為與交集有關(guān)的線段圖、與并集有關(guān)的線段圖和復(fù)合型線段圖三種類型，這樣就可以將三類線段圖作為解決問題的數(shù)學(xué)模型，借助線段圖的直觀性，發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，減少思維難度，促使問題得到迅速解決。

（一）線段圖的分類及其特征分析

如果將線段圖看作是一個(gè)集合，那么數(shù)學(xué)問題中的各種數(shù)量關(guān)系就反映為集合之間的關(guān)系，綜合考慮小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題，可以發(fā)現(xiàn)其中主要涉及的數(shù)量關(guān)系可以通過交集型線段圖、并集型線段圖和復(fù)合型線段圖表現(xiàn)出來。

1.交集型線段圖

交集型線段圖的主要特征為數(shù)量關(guān)系之間有重疊部分，如下圖所示：

圖中集合間關(guān)系：B∪C-A=U，B∩C=A

本類型線段圖適合解決重疊類問題，如：一個(gè)班有學(xué)生42人，參加體育代表隊(duì)的有30人，參加文藝代表隊(duì)的有25人，并且每個(gè)人都至少參加了一個(gè)隊(duì)，這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有幾個(gè)人？

這個(gè)問題的特點(diǎn)是要求重疊部分：這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有幾個(gè)人？全班人數(shù)42人就是整體，看作全集U，參加體育代表隊(duì)的30人和參加文藝代表隊(duì)的25人是部分，分別看作集合B和C，則A就是所求，它們之間的關(guān)系圖示為：

這個(gè)圖示與原來教學(xué)中習(xí)慣采用的文氏圖表示方法本質(zhì)相同（如下圖）。

2.并集型線段圖

并集型線段圖的主要特征為數(shù)量關(guān)系之間沒有重疊部分，并且?guī)讉€(gè)部分合并之后恰好就是整體。如下圖所示：

圖中集合間關(guān)系：A∪B=U， A∩B=￠或A∪U=U，A∩U=A

這一類型的線段圖適合解決整體和部分之間關(guān)系互求類型的問題，如已知整體求其中的某一部分，或者已知各部分，求總共有多少等等。

如：在暑假中，王曉偉抄寫了85個(gè)成語，還差56個(gè)才完成老師的要求，老師要求抄寫多少個(gè)成語？

這個(gè)問題中老師要求抄的成語數(shù)就是整體，它與已知之間的數(shù)量關(guān)系可以用線段圖表示為：

圖中數(shù)量關(guān)系清晰明確，顯然便于問題的解決。

3.復(fù)合型線段圖

復(fù)合型線段圖的主要特征為綜合包含了交集型與并集型線段圖的特征，數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)的較為復(fù)雜，需要通過多層次體現(xiàn)。

如下圖所示：

圖中集合間關(guān)系：E∪B=A，E∪D=C，A∪E∪C=U，A∩C∩E=E

這種圖示下的問題，一般涉及兩步以上的應(yīng)用題，需要分步摸清數(shù)量關(guān)系后解決問題。

如：小濤有56本書，小玉借走■，剩下的書小紅借走■，再剩下的書小明借走■，現(xiàn)在小濤還剩多少本書？

題目中56本書是全集，三個(gè)人分別從不同總數(shù)中借走其中的一部分，是造成問題解答困難的關(guān)鍵，現(xiàn)在把它們之間的關(guān)系用線段圖表示如下：

顯然要想求最后剩余的，就必須分步求出每次剩余書的本數(shù)。

（二）線段圖模型應(yīng)用舉例分析——以“并集型線段圖”為例

并集型線段圖主要反映部分與整體的數(shù)量關(guān)系，并且部分與部分之間沒有重疊關(guān)系。如下舉例說明。

例1 一列火車4小時(shí)行駛了480千米，平均每小時(shí)行駛多少千米？

分析：題目中的總數(shù)為480千米，按照題意需要平均分為4份，這四份不能有重疊部分，因此本題可以利用“并集型線段圖”。作圖如下：

從圖中可以看出把總數(shù)480千米，平均分成4份，每份就是1小時(shí)行駛的路程，用除法計(jì)算出480÷4=120（千米）即可。

例2 兩個(gè)數(shù)相除商5余11，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是237，問被除數(shù)是多少？

分析：根據(jù)被除數(shù)÷除數(shù)=5……11可知，商是5，余數(shù)是11。要求的被除數(shù)=除數(shù)×5+11，也就是說被除數(shù)比除數(shù)的5倍多11，這就是說，除數(shù)的5倍以及多出來的11都是被除數(shù)中的一部分，并且沒有重疊，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：

由已知條件首先可以算出被除數(shù)與除數(shù)的和是237-5-11=221，再從圖中可以看出除數(shù)是一倍數(shù)。被除數(shù)如果減去11，就正好是除數(shù)的5倍，也就是221-11對(duì)應(yīng)的是5+1=6倍，1倍就是（221-11）÷（5+1）=35，即除數(shù)。

例3 修路隊(duì)修一條路，第一天修了全程的■，第二天修了360米，完成全部修路任務(wù)。修路隊(duì)第一天修了多少米？

分析：修路隊(duì)第一天修全程的■和第二天修360米構(gòu)成全部修路任務(wù)，并且兩者沒有重疊部分，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：

從圖中可以看出360米相當(dāng)于總?cè)蝿?wù)的■，則總?cè)蝿?wù)是360÷■=900（米）。進(jìn)而可知，第一天修了900-360=540（米）。

如上三題告訴我們，“并集型線段圖”可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，不僅可以解決行程問題，還可以解決工作量等問題，如果把握它的本質(zhì)特征，那么它就可以運(yùn)用到更廣的范圍之中。

三、建立線段圖模型的意義

（一）運(yùn)用線段圖可以使已知條件直觀呈現(xiàn)

線段圖能比較形象直觀地揭示應(yīng)用題中的條件與條件、條件與問題之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，明確顯示已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系變得明朗化，容易發(fā)現(xiàn)隱含的條件，激活學(xué)生的解題思路，是分析和解決“解決問題”的有效途徑。

例如：小剛和妹妹二人同時(shí)從家去學(xué)校，小剛每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。小剛到學(xué)校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶作業(yè)，立即由原路回家去取，行至離學(xué)校180 米處和妹妹相遇。他們家離學(xué)校多遠(yuǎn)？

運(yùn)用畫線段圖的方法可以發(fā)現(xiàn)本題隱含的條件有三個(gè)（如圖示）：

第一個(gè)是小剛和妹妹兩人一共走了兩個(gè)全程，即：

第二個(gè)是小剛共比妹妹多行了兩個(gè) 180 米，即：

第三個(gè)是同樣多的時(shí)間內(nèi)小剛比妹妹多走了兩個(gè)180米。

（二）運(yùn)用線段圖可以使等量關(guān)系顯性呈現(xiàn)

利用線段圖將問題中蘊(yùn)含的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象直觀的方式表達(dá)出來，能夠使已知條件和所求問題聯(lián)系起來，便于揭示它們之間的等量關(guān)系，通過形象直觀的等量關(guān)系，便于列出符合題意的算式，有效促進(jìn)問題的解決。

（三）線段圖可以開闊學(xué)生思維，幫助學(xué)生一題多解

工地有一堆黃沙，用去了總數(shù)的■后，又運(yùn)來480噸，這時(shí)的黃沙相當(dāng)于原來的80%，原來有黃沙多少噸？

分析： 解答此題的關(guān)鍵是求出480噸相當(dāng)于原來黃沙的幾（百）分之幾？

根據(jù)題意畫線段圖如下：（為了敘述方便，圖上的端點(diǎn)和分點(diǎn)分別用A、B、C、D表示）

該圖中，線段AB表示原有黃沙，BC表示用了的黃沙，CD表示運(yùn)來的黃沙。

解法1：

從線段圖的左邊看，CD=AD-AC，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的80%-（1-■）

所以可以列式為： 480÷[80%-（1-■）]=1200（噸）

解法2：

從線段圖的中間看，CD=AB-AC-BD，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的[1-（1-■） -（1-80%）]，所以可列式為： 480÷[1- （1-■ ） -（1-80%）]=1200（噸）

解法3：

從線段圖的右邊看，CD=BC-BD，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的[■-（1-80%）]，所以可以列式480÷[■-（1-80%）]= 1200（噸）

解法4：

從線段圖的兩邊看，CD=AD+BC-AB，由此可以得到： 480噸相當(dāng)于原有黃沙的（80%+■-1），所以可以列式為： 480÷（80%+■-1） =1200（噸）

答： 原來有黃沙1200噸。

一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性，有助于開拓學(xué)生的視野，克服墨守陳規(guī)的弊端，使學(xué)生敢于標(biāo)新立異，從而有助于學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)新。

顯然，歸類運(yùn)用線段圖就是指將三類不同的線段圖作為三種數(shù)學(xué)模型，在解決問題中，不必考慮問題的具體情境及范疇，只需關(guān)注問題中所反映的數(shù)量間的本質(zhì)關(guān)系，這樣可以將學(xué)生從植樹問題、年齡問題、差倍問題、行程問題等諸多具體情境問題中解放出來，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，既反映了數(shù)學(xué)的模式化特征，又教會(huì)學(xué)生解決問題時(shí)綜合思考的思想方法。

四、結(jié)論

借助線段圖解題，可以化抽象的語言到具體、形象、直觀的圖形；可以化難為易，促使判斷準(zhǔn)確；可以化繁為簡(jiǎn)，發(fā)展學(xué)生思維；可以化知識(shí)為能力。使用線段圖便于抽象建模，反映數(shù)學(xué)的模式化特征。實(shí)踐證明，線段圖具有直觀性、形象性和實(shí)用性，如果學(xué)生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，分析問題和解決問題的能力將會(huì)大大的提高。

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