探索新課程理念下的一節(jié)數(shù)學(xué)課

趙琳

摘 要：用向量法證明“點(diǎn)到直線的距離公式”，引導(dǎo)學(xué)生從解析幾何中點(diǎn)、線、距離、平行、垂直關(guān)系向向量運(yùn)算過渡，發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：距離；向量坐標(biāo)；方向向量；法向量；數(shù)量積；向量的投影

【探索背景】

本節(jié)課是北師大版高中數(shù)學(xué)必修4平面向量部分的內(nèi)容。按教材的安排，本大節(jié)是想讓學(xué)生熟悉向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用，理解向量的工具性.從高考角度看，向量與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)綜合起來的題目頻頻出現(xiàn)在全國各地的高考試卷中，這些題目新穎，難度較大，成為高考的新寵.本節(jié)課通過一個(gè)具體的實(shí)例來體會(huì)向量的作用.

【探索意圖】

本節(jié)課內(nèi)容是用向量法證明“點(diǎn)到直線的距離公式”.雖然只是一個(gè)證明，但由于向量是個(gè)新的知識(shí)，比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)就比較被動(dòng)，到了這節(jié)課，要求學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，把幾何中的代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為向量知識(shí)，進(jìn)行類比，聯(lián)系，對(duì)學(xué)生能力要求比較高，學(xué)生覺得比較困難.所以，我對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了仔細(xì)的探索和研究，以問題為教學(xué)線索，以類比為教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生逐步從解析幾何中點(diǎn)、線、距離、平行、垂直關(guān)系向向量運(yùn)算過渡，發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系.

【探索過程】

一、引課

教師活動(dòng)：前幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了平面向量的有關(guān)知識(shí).向量既有大小，又有方向，所以，它既具有數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)，又具備形的特征，具有更廣泛的意義，常應(yīng)用在數(shù)學(xué)和物理中.幾何中的夾角、距離、平行和垂直關(guān)系以及線、面都可以用向量刻畫.今天我們通過一個(gè)具體的實(shí)例來體會(huì)向量的作用.用向量法證明“點(diǎn)到直線的距離公式”.

活動(dòng)說明：點(diǎn)明本節(jié)課主題，突出向量的重要作用.

二、復(fù)習(xí)回顧

教師活動(dòng)：和學(xué)生一起回顧公式：點(diǎn)p（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=（A，B不同時(shí)為0）

問題1：在必修2解析幾何部分學(xué)習(xí)時(shí)，證明“點(diǎn)到直線距離公式”的方法？（只說思路，不做詳細(xì)證明）

學(xué)生活動(dòng)：方法一，利用定義：（1）確定直線l的斜率k（k≠0）.（2）求與l垂直的直線l′的斜率.（3）求過點(diǎn)P垂直于l的直線l′方程.（4）求l與l′的交點(diǎn)Q.（5）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離.（6）得到點(diǎn)P到l的距離d=PQ.方法二，利用函數(shù)的思想：設(shè)Q（x，y）為l上一動(dòng)點(diǎn)，d為|PQ|最小值，寫出距離公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.師生共同總結(jié)：這些方法思路簡單，但運(yùn)算繁瑣.

活動(dòng)說明：因?yàn)槭菑?fù)習(xí)，不是重點(diǎn)，證明幾種方法根據(jù)學(xué)生回答問題情況而定.

三、探索新知

教師活動(dòng)：研究如何用向量證明點(diǎn)到直線的距離公式，因?yàn)橐孟蛄糠ㄗC明，所以要把問題放在向量背景中.

設(shè)置問題：問題2：什么向量能夠刻畫直線？向量坐標(biāo)怎么求？

問題3：還有什么向量能夠刻畫直線？向量坐標(biāo)怎么求？

問題4：垂足位置不定，如何求距離？

問題5：P，M以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，如何刻畫長度？

問題6：向量P，法向量以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，向量的什么知識(shí)可以幫助我們求d？

學(xué)生活動(dòng)：問題2：方向向量.方向向量是與直線平行，共線的非零向量，有無數(shù)多個(gè).引導(dǎo)學(xué)生求出一個(gè)方向向量=（B，-A）

問題3：法向量.法向量是與直線垂直的非零向量，有無數(shù)多個(gè).可以通過與方向向量垂直來求坐標(biāo). ，引導(dǎo)學(xué)生求出一個(gè)法向量 =（A，B）

問題4：直線上再找一個(gè)點(diǎn)M（x，y）構(gòu)造直角三角形，垂線段的長d與斜線段|PM|有關(guān).

問題5：模長.

問題6：向量的投影（復(fù)習(xí)投影知識(shí)）.d是P 上投影的絕對(duì)值.

活動(dòng)說明：以問題為教學(xué)線索，引導(dǎo)學(xué)生的思維從問題到問題深化.

四、完成公式推導(dǎo)

教師活動(dòng)：要求學(xué)生完成推導(dǎo)過程.學(xué)生容易忽略距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以，教師要強(qiáng)調(diào)PQ= ·cosθ應(yīng)該加上絕對(duì)值符號(hào).

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生完成：

教師活動(dòng)：（小結(jié)）向量法證明點(diǎn)到直線的距離公式，思路較難，但運(yùn)算簡單.隨著知識(shí)的推進(jìn)，向量的深入學(xué)習(xí)，可以繼續(xù)體會(huì)向量解決問題的優(yōu)越性.

活動(dòng)說明：在學(xué)生原有的知識(shí)體系上，通過類比逐步引導(dǎo)學(xué)生從解析幾何中點(diǎn)、線、距離、平行、垂直關(guān)系向向量運(yùn)算過渡，發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系.

【探索實(shí)踐】

證明題本來就是學(xué)生比較吃力的一類題，再加上向量知識(shí)的要求，這節(jié)課難度較大，比較抽象.這節(jié)課我沒有一味地追求學(xué)生的自學(xué)模式，采取了設(shè)置問題的方法，將學(xué)生慢慢引入向量背景中，讓學(xué)生逐步體會(huì)點(diǎn)、線、面、夾角、距離、平行垂直關(guān)系如何用向量刻畫，代數(shù)運(yùn)算如何上升為向量運(yùn)算.整個(gè)分析過程和解決過程都是由學(xué)生來完成的.實(shí)踐證明，這種授課方式比較成功，學(xué)生很容易接受.

（作者單位 陜西省西安中學(xué)）