解析幾何·直線與圓錐曲線

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個選項(xiàng)符合題意）

1. 已知雙曲線[kx2-y2=1]的一條漸近線與直線[l：2x+y+1=0]垂直，則此雙曲線的離心率是（ ）

A. [52] B. [32] C. [43] D. [5]

2. 直線[y=x+1]被橢圓[x2+2y2=4]所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）

A. [13，-23] B. [-23，13]

C. [12，-13] D. [-13，12]

3. 橢圓[x24+y23=1]的離心率為[e]，點(diǎn)[（1，e）]是圓[x2+y2-4x-4y+4=0]的一條弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線的方程是（ ）

A. [3x+2y-4=0] B. [4x+6y-7=0]

C. [3x-2y-2=0] D. [4x-6y-1=0]

4. 設(shè)直線[l： mx+（m-1）y-1=0]（[m]為常數(shù)），圓[C： （x-1）2+y2=4]，則下列命題中正確的是（ ）

A. 當(dāng)[m]變化時，直線[l]恒過定點(diǎn)（-1，1）

B. 直線[l]與圓[C]有可能無公共點(diǎn)

C. 若圓[C]上存在關(guān)于直線[l]對稱的兩點(diǎn)，則必有[m=0]

D. 若直線[l]與圓C有兩個不同交點(diǎn)[M，N]，則線段[MN]的長的最小值為[23]

5. 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]與拋物線[y2=8x]有一個公共的焦點(diǎn)[F]，且兩曲線的一個交點(diǎn)為[P]，若[|PF|=5]，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [2] B. [22] C. [5+12] D. [6]

6. 拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)為[F]，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左頂點(diǎn)，點(diǎn)[M]為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，且[|MF|=2p]，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [102] B. 2 C. [5] D. [52]

7. 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦點(diǎn)分別是[F1，F(xiàn)2]，設(shè)[P]是雙曲線右支上一點(diǎn)，[F1F2]在[F1P]上的投影的大小恰好為[|F1P|]且它們的夾角為[π6]，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [2+12] B. [3+12]

C. [3+1] D. [2+1]

8. 已知橢圓[C：x2a2-y2b2=1][（a>b>0）]的離心率為[32]，過右焦點(diǎn)[F]且斜率為[k（k>0）]的直線與[C]相交于[A，B]兩點(diǎn). 若[AF][=3FB]，則[k=]（ ）

A. [1] B. [2] C. [3] D. [2]

9. 直線[3x-4y+4=0]與拋物線[x2=4y]和圓[x2+（y-1）2=1]從左到右的交點(diǎn)依次為[A，B，C，D]，則[|AB||CD|]的值為（ ）

A. 16 B. [116] C. 4 D. [14]

10. 過拋物線[y=ax2a>0]的焦點(diǎn)[F]作一直線交拋物線于[P，Q]兩點(diǎn)，則[1PF+1FQ]=（ ）

A. [2a] B. [12a] C. [4a] D. [4a]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 設(shè)拋物線[x2=4y]的焦點(diǎn)為[F]，經(jīng)過點(diǎn)[P（1，4）]的直線[l]與拋物線相交于[A，B]兩點(diǎn)，且點(diǎn)[P]恰為[AB]的中點(diǎn)，則|[AF]|+|[BF]|= .

12. 傾斜角為[π4]的直線交橢圓[x24+y2=1]于[A，B]兩點(diǎn)，則線段[AB]中點(diǎn)的軌跡方程是 .

13. 已知過點(diǎn)[P（-3，0）]的直線[l]與雙曲線[x216-x29=1]交于[A，B]兩點(diǎn)，設(shè)直線[l]的斜率為[k1（k1≠0）]，弦[AB]的中點(diǎn)為[M，OM]的斜率為[k2（O]為坐標(biāo)原點(diǎn)），則[k1?k2=] .

14. 曲線[C]是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)[F1（-1，0）]和[F2（1，0）]的距離的積等于常數(shù)[a2（a>1）]的點(diǎn)的軌跡. 給出下列三個結(jié)論：①曲線[C]過坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線[C]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；③若點(diǎn)[P]在曲線[C]上，則[△F1PF2]的面積不大于[12a2]. 其中，所有正確結(jié)論的序號是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）已知點(diǎn)[P（x0，y0）]是橢圓[E； x22+y2][=1]上任意一點(diǎn)，直線[l]的方程為[x0x2+y0y=1].

（1）判斷直線[l]與橢圓[E]交點(diǎn)的個數(shù)；

（2）直線[l0]過[P]點(diǎn)與直線[l]垂直，點(diǎn)[M（-1，0）]關(guān)于直線[l0]的對稱點(diǎn)為[N]，直線[PN]恒過一定點(diǎn)[G]，求點(diǎn)[G]的坐標(biāo).

16. （10分）已知圓[M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）]與拋物線[C：y=（x+1）2]有一個公共點(diǎn)[A]， 且在[A]處兩曲線的切線為同一直線[l].

（1）求[r]；

（2）設(shè)[m，n]是異于[l]且與[C]及[M]都相切的兩條直線，[m，n]的交點(diǎn)為[D]，求[D]到[l]的距離.

17. （12分）設(shè)點(diǎn)[P]為圓[C1： x2+y2=2]上的動點(diǎn)，過點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線，垂足為[Q]. 動點(diǎn)[M]滿足[2MQ=PQ]（其中[P]，[Q]不重合）.

（1）求點(diǎn)[M]的軌跡[C2]的方程；

（2）過直線[x=-2]上的動點(diǎn)[T]作圓[C1]的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為[A，B]. 若直線[AB]與（1）中的曲線[C2]交于[C，D]兩點(diǎn)，求[|AB||CD|]的取值范圍.

18. （12分）如圖，[ΔPAB]的頂點(diǎn)[A，B]為定點(diǎn)，[P]為動點(diǎn)，其內(nèi)切圓[O1]與[AB，PA，PB]分別相切于點(diǎn)[C]，[E]，[F]，且[AB=23，||AC|-|BC||=2].

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動點(diǎn)[P]的軌跡[W]的方程；

（2）設(shè)[l]是既不與[AB]平行也不與[AB]垂直的直線，線段[AB]的中點(diǎn)[O]到直線[l]的距離為[2]，若[l]與曲線[W]相交于不同的兩點(diǎn)[G，H]，點(diǎn)[M]滿足[2OM=OG+OH]，證明： [2OM=GH].