對數(shù)學(xué)思維深刻性培養(yǎng)的探索

許麗金

在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，思維深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)重要的核心內(nèi)容.作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)當(dāng)把對學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng)作為培養(yǎng)其思維品質(zhì)的立足點(diǎn)和突破口.下面筆者就培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性作些探討.

一、提煉數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維深刻性

數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程.在此過程中要向?qū)W生提供豐富的、典型的直觀背景材料，讓學(xué)生的思維和經(jīng)驗(yàn)全部投入其中，并在此過程領(lǐng)會如數(shù)感、符號感、空間觀念等數(shù)學(xué)思想方法.例如，在《探索勾股定理》中，筆者將概念、結(jié)論性知識的教學(xué)設(shè)計(jì)成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學(xué).先讓學(xué)生用計(jì)算面積的方法理解勾股定理，再用拼圖的方法驗(yàn)證，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的發(fā)現(xiàn)過程，使學(xué)生在動腦、動手的過程中提煉數(shù)學(xué)思想方法，即將三角形三邊的平方與正方形面積聯(lián)系起來，再比較同一正方形面積的幾種不同的代數(shù)表示，得到勾股定理.我們要引導(dǎo)學(xué)生積極探索、分析和概括，從而提煉數(shù)學(xué)思想方法.

二、注重一題多變，培養(yǎng)思維深刻性

如果說數(shù)學(xué)是“思維的舞蹈”，那么變式教學(xué)就是培養(yǎng)“舞蹈演員”的搖籃.因此在教學(xué)過程中，我們應(yīng)采取靈活多變的教學(xué)方式，使學(xué)生在思維上始終保持在高度的興奮狀態(tài)，從而提高學(xué)生思維的深刻性.例如，已知：在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠A+∠C=180 °.

本題可以從條件“BD平分∠ABC”，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面去思考：一是根據(jù)翻折構(gòu)造全等三角形；二是根據(jù)角平分線性質(zhì)定理構(gòu)造全等三角形.于是有如下方法：

（1）在BC上截取BM=BA（即“截長”），聯(lián)結(jié)MD，可證△ABD≌△MBD，得AD=MD，于是MD=DC再證角相等最后推出結(jié)論.

（2）延長BA至N，使BN=BC（即“補(bǔ)短”），聯(lián)結(jié)ND，可證△NBD≌△CBD 得DC=DN，于是AD=DN再證角相等最后推出結(jié)論.

（3）過點(diǎn)D作BA、BC的垂線段DG和DH，然后證Rt△ADG≌Rt△CDH，得∠GAD=∠C，于是可推出∠A+∠C=180°.

接著，我又將本題作了變式訓(xùn)練.變式1：如果將條件中的“BD平分∠ABC”改為結(jié)論，同時(shí)將原來的結(jié)論“∠A+∠C=180° ”改為條件之一，其余條件不變.那么所得新命題還是真命題嗎？為什么？變式2：將條件中的“AD=DC” 改為結(jié)論，將原來的結(jié)論“∠A+∠C=180° ”改為條件之一，其余條件不變.那么，所得新命題還是真命題嗎？為什么？學(xué)生們開始探討，有的學(xué)生沿用了剛才的思路，采用“截長補(bǔ)短”，但行不通，于是我順勢點(diǎn)撥，使學(xué)生知道是因?yàn)槿绷恕癇D平分∠ABC”這一條件，就不能通過翻折構(gòu)造全等三角形.而應(yīng)通過角的關(guān)系，對于變式1：可過點(diǎn)D作BA、BC的垂線段構(gòu)造全等三角形，證得該命題是真命題；對于變式2：利用上面的三種方法都可證明其是真命題.

三、尋找一題多解，培養(yǎng)思維深刻性

解完一道練習(xí)題后，要引導(dǎo)學(xué)生多方向分析，多角度審視，探索多種解法.通過縱橫分析解題思想方法，培養(yǎng)思維深刻性.例如，已知直線AB∥CD ，直線L 分別截直線AB、CD于E、F兩點(diǎn).并且∠1=180 °，求：∠2 的度數(shù).

分析：（1）所求角∠2 與已知角∠1 之間有什么聯(lián)系？（2）已知直線AB∥CD，能幫我們帶來哪些結(jié)論？（3）怎樣把求∠2 的過程用幾何語言表達(dá)出來？（學(xué)生分組討論、合作學(xué)習(xí)）

解法1：通過∠1的內(nèi)錯(cuò)角與∠2聯(lián)系起來；解法2：通過∠1的同位角與∠2聯(lián)系起來；解法3：通過∠1的同旁內(nèi)角與∠2聯(lián)系起來.這樣，通過一題多解，既復(fù)習(xí)了平行線的特征應(yīng)用，又使得學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中，合作討論中自主地完成對知識的構(gòu)建；學(xué)生不僅對知識點(diǎn)的理解深刻，而且“創(chuàng)造”著解題過程的方法，體驗(yàn)著獲取、鞏固知識的喜悅.使學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正的動起來，達(dá)到培養(yǎng)提高思維深刻性的目的.

四、挖掘隱含條件，培養(yǎng)思維深刻性

【例】：關(guān)于x的方程（k-2） -2x+1=0有解，求k的取值范圍.（許多學(xué)生這樣解：由題意得Δ≥0且k-2≠0，得k≤3且k≠2.）

引導(dǎo)學(xué)生剖析，當(dāng)k=2時(shí)方程有解為x= ，解答有誤，問題出在哪里？因?yàn)橛捎陬}目中對方程的次數(shù)沒有任何限定，所以，不能盲目地認(rèn)定此方程一定是一元二次方程，而應(yīng)當(dāng)全面地考慮問題，當(dāng)k-2=0時(shí)，即k=2時(shí)，方程可以化為一元一次方程-2x+1=0，得x= ，因此k=2也符合題意，本題的正確答案是k≤3.有些學(xué)生解題時(shí)，往往抓不住問題的實(shí)質(zhì)，挖掘不出問題中的某些隱含條件，思維處于較淺層次.教師在引導(dǎo)學(xué)生思考時(shí)，應(yīng)注重問題本質(zhì)的分析，挖掘隱含條件，揭露問題的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）