試卷講評(píng)的一種嘗試

豆浩

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型，特別對(duì)于高三，更是常規(guī)課.那么，對(duì)于一份試卷在一兩節(jié)課上講評(píng)，如何收到最好的效果？多數(shù)數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課都側(cè)重于教師的“講”與“評(píng)”，而忽視學(xué)生的“感”與“悟”，其效果甚微.有一種現(xiàn)象：一些考過(guò)、講過(guò)、訂正過(guò)的試題，下次遇到還會(huì)錯(cuò).原因何在？筆者認(rèn)為學(xué)生是考試真正的參與者和體驗(yàn)者.試卷講評(píng)應(yīng)從“教師的積極講評(píng)”轉(zhuǎn)移到“學(xué)生的主動(dòng)參與上”.試卷講評(píng)應(yīng)以學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)，想方設(shè)法把試卷中的問(wèn)題巧妙地?cái)[出來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立的思考與討論，彼此的交流與合作，從而獲得真正的理解.這樣印象才更深刻，記憶更久遠(yuǎn)，效果更全面遠(yuǎn)勝于教師獨(dú)自講評(píng)的千言萬(wàn)語(yǔ).下面談?wù)劰P者試卷講評(píng)的一點(diǎn)嘗試.

一、展示錯(cuò)誤，尋求錯(cuò)因

糾錯(cuò)是試卷講評(píng)的重要版塊，每個(gè)教師都很重視，筆者認(rèn)為教師不能僅僅講評(píng)正確答案的由來(lái)，津津樂(lè)道，有條有理，學(xué)生積極配合，看似聽(tīng)懂，實(shí)質(zhì)還是不會(huì).原因是學(xué)生跟著教師的思路聽(tīng)而自己根本沒(méi)有獨(dú)立思考，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)在什么地方，所以遇到類似的問(wèn)題還會(huì)重犯.我們應(yīng)尋求學(xué)生錯(cuò)誤的源頭，采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生充分暴露自己的錯(cuò)誤，進(jìn)而讓他們?cè)谙嗷ブg的思維碰撞與互相交流中自然釋疑糾錯(cuò)，糾偏歸真歸正.

【案例1】：已知函數(shù)f（x）=2x+1，x≥01，x<0，則滿足不等式f（1- ）>f（2x）的取值范圍 .

這是模擬試卷中的一道題，錯(cuò)誤率很高.有部分同學(xué)出現(xiàn)“0≤x< -1”的錯(cuò)誤答案，原因何在？怎樣才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的根源，并認(rèn)識(shí)自己的錯(cuò)因呢？于是，我叫了幾位成績(jī)較好的同學(xué)回答解題的過(guò)程.

學(xué)生1：先畫(huà)出函數(shù)草圖（圖1），由圖知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以要使f（1- ）>f（2x）成立，必須1- >2x≥0，解得0≤x< -1.

學(xué)生2：分段討論，當(dāng)x≥0時(shí)，1- >2x≥0解得0≤x< -1；當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=1，則f（1- ）>f（2x）不成立.綜上得0≤x< -1.

看到了兩個(gè)同學(xué)用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同學(xué)喜笑顏開(kāi)，但是教室里出現(xiàn)更多的是不敢茍同的聲音，課堂氣氛立刻熱烈起來(lái)，在大家的共同討論下，終于找到了癥結(jié)所在.原來(lái)學(xué)生1忽略了2x還可以小于零的情況；而學(xué)生2只按照分段函數(shù)的兩段討論，忽視了兩個(gè)數(shù)分別位居不同兩段的情況，還可以有 1- ≥02x<0.同時(shí)發(fā)現(xiàn)，本題雖是“分段函數(shù)”但無(wú)需討論求解，直接由1- >01- >2x得出正確答案-1

通過(guò)展示錯(cuò)誤的方式，全體學(xué)生共同參與，互動(dòng)交流，通力合作，歸根究底，糾偏歸正，這樣得出的結(jié)果學(xué)生還會(huì)忘嗎？這是教師獨(dú)自講評(píng)無(wú)法比擬的，其收獲的不僅僅是知識(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生自我探究、合作交流的學(xué)習(xí)精神.

二、優(yōu)化解法，提高速度

糾錯(cuò)是首選之舉，那么對(duì)于試卷中的對(duì)題就置之不理嗎？他們就對(duì)的那么一致嗎？特別是對(duì)于選擇題和填空題，我們能否做到在單位時(shí)間內(nèi)達(dá)到“對(duì)而快，快而準(zhǔn)”呢？

【案例2】：集合A=x│ <0，B={x│x>1} ，則A∩B=（ ）.

A.{x│-13}

C.{x│-2≤x≤-1} D.{x│1

有關(guān)集合內(nèi)容的小題在各種考試中排在第一或第二題的位置，屬于容易題，正確率幾乎每次都是100%，幾乎沒(méi)講過(guò)，但一次考試中偶然發(fā)現(xiàn)，學(xué)生大多這樣解.

解法1：由 <0得-2

上述解法中規(guī)中矩，無(wú)可挑剔.

試卷講評(píng)時(shí)，筆者問(wèn)這道題的考點(diǎn)是什么，學(xué)生說(shuō)是分式不等式的解法和集合的運(yùn)算兩個(gè)考點(diǎn)，其他學(xué)生也不否認(rèn).

能不能有其他更好的方法？20秒內(nèi)能否做出來(lái)？

另一名學(xué)生立即明白，得出解法2.

解法2：因?yàn)锳∩B是B的子集，所以A∩B的范圍比B的范圍小.所以選D.

【案例3】：已知α，β均為銳角，cos（α-β）=sin（α-β），則tan α=（ ）.

一個(gè)學(xué)生是這樣解的：

由得cos（α+β）=sin（α-β）得cos α cos β-sin α sin β=sin α cos β-cos α sin β，

整理，得cos α（cos β+sin β）=sin α（sinβ+cos β），

由α，β均為銳角，可知sin β+cos β≠0，所以cos α=sin α，tan α=1.

學(xué)生的解答的確是天衣無(wú)縫，滴水不漏，其“誓將運(yùn)算進(jìn)行到底”的堅(jiān)毅精神，令人贊嘆不已！但似乎有些小題大做.這時(shí)傳來(lái)了抗議之聲：

另一名學(xué)生這樣解：

因?yàn)閏os（ -α）=sin α，只要滿足x+x′=2kл+ ，就有 cosx=sinx′，又α，β為銳角，所以，只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，tan α=1.

看來(lái)，我們?cè)谧鲱}時(shí)特別是選擇填空題我們不僅要的是正確答案，也要的是速度.要學(xué)會(huì)“先思題，再做題”，要學(xué)會(huì)“少點(diǎn)算，多點(diǎn)想”.不該算的就不算，該算的也要學(xué)會(huì)巧算、簡(jiǎn)算、估算.為高考中的解答題贏取更多的時(shí)間.有了這樣的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們長(zhǎng)進(jìn)了不少.

【案例4】：函數(shù)y= 的最 大值與最小值和為（ ）.

發(fā)現(xiàn)此題利用求導(dǎo)無(wú)法做出來(lái)，立即用函數(shù)性質(zhì)解題，因?yàn)楹瘮?shù)y= 為奇函數(shù)，所以最大值與最小值和為0.

三、發(fā)散提升，還原本質(zhì)

人們常說(shuō)“萬(wàn)變不離其宗”，那么對(duì)于數(shù)學(xué)解題也是一樣，我們只要認(rèn)清它的“本真面目”，那么數(shù)學(xué)解題就顯得那么的輕松自如，順其自然.

【案例5】：（2011年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科16題）若x，y滿足 + +xy=1，則x+y的最大值是（ ）.

本題的考點(diǎn)是均值不等式和學(xué)生的靈活應(yīng)用能力.相應(yīng)的解析為：

解法1：由 + +xy=1得（x+y） =1+xy，

（x+y） =1+xy≤1+ ，解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

這是一道填空題，多數(shù)人認(rèn)為這樣的解法就夠了，我們不妨嘗試用其他方法來(lái)解，會(huì)發(fā)現(xiàn)有異曲同工之妙.

解法2：設(shè)x+y=t，則y=t-x將其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0.

因?yàn)殛P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，故Δ=（-t） -4×（t -1）≥0

解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

解法3：設(shè)x+y=t，則y=t-x將其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0，

用“直線與橢圓相切的條件”有Δ=（-t） -4×1×（t -1）=0

解得t= ，

所以x+y的最大值是 .

解法4：由x，y滿足 + +xy=1知，x，y既可同號(hào)，又可異號(hào)，因?yàn)榍髕+y的最大值，故x，y同正，此時(shí)，想到余弦定理有 + -2xycos120 °=1構(gòu)造三角形，再由正弦定理得 = = ，

從而x+y= sin α+ sin（60° -α）

= sin（α+60° ）

當(dāng)α=30 °時(shí)，x+y的最大值是 .

解法5：令x+y=t則y=t-x原問(wèn)題化為：已知3 + =1，求2a的最大值.

由3 + =1得3 =1- ≤1，即， ≤ 所以a≤ .從而2a的最大值為 .

當(dāng)然此題還可用柯西不等式、向量等方法進(jìn)行求解.

在平時(shí)的試卷講評(píng)中，教師往往不做這樣的引導(dǎo)與闡述，總是講這種方法，那種套路，還有何種技巧.如果試卷講評(píng)時(shí)，教師切合試題經(jīng)常性地給學(xué)生還原試題的真面目，一題多解，從不同的解題方法，拓寬學(xué)生視野，并認(rèn)識(shí)各種方法優(yōu)劣，那么數(shù)學(xué)解題就是一種全面的思維升華，一種美好享受的過(guò)程.

試卷講評(píng)是一種藝術(shù)，我們只是行走在探索追求的路上.“展示錯(cuò)誤，尋求錯(cuò)因”“優(yōu)化解法，提高速度”“發(fā)散提升，還原本質(zhì)”只是筆者自己對(duì)試卷講評(píng)的一種嘗試，望盡我的一些微薄之力，能給這藝術(shù)之路增添一點(diǎn)光彩.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）