數(shù)學(xué)建模在課標(biāo)課程教學(xué)中的實踐

朱振榮

把“數(shù)學(xué)活動”、“數(shù)學(xué)實驗”、“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建模”作為研究性學(xué)習(xí)的重要形式，是課標(biāo)課程改革的靚點.它旨在豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)自主探究、獨立思考、動手實踐、合作學(xué)習(xí)、閱讀自學(xué)等，并將其納入課程計劃.為此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確規(guī)定：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展“數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活動.

用數(shù)學(xué)語言對實際現(xiàn)象進(jìn)行描述和解釋的過程就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（簡稱數(shù)學(xué)建模）.我們可以用下面的流程圖加以說明：

這里，ABC→→是學(xué)生的難點，CD→學(xué)生相對熟悉，DE→是發(fā)現(xiàn)錯誤、調(diào)整偏差的過程，而EA→則是不可忽略的，數(shù)學(xué)建模解決實際問題往往不是一蹴而就，有時需要修改重構(gòu)模型，有時要從構(gòu)建的多個模型中進(jìn)行遴選優(yōu)化.數(shù)學(xué)建模的各個環(huán)節(jié)都有著不同的思維訓(xùn)練的價值.因此在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)充分發(fā)揮其功能.

1 精選例題，創(chuàng)設(shè)情境

研讀教材，精選課本例題，創(chuàng)設(shè)情境，開展數(shù)學(xué)建模.宋朝理學(xué)家朱熹曾說過：“觀書，先須熟讀，使其言皆若出于吾之口；繼而精思，使其若出于吾之心；然后有所得耳.”這就是說教師要通過研讀教材，理解課標(biāo)課程的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，把數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)思考方法、數(shù)學(xué)實際應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化價值的教學(xué)有機地融為一體.

例1 樹頂A離地面a米，樹上另有一點B離地面b米，在地面的C處看此樹上的A，B兩點，離此樹多遠(yuǎn)時視角最大？

這是高中課標(biāo)課程實驗教科書上的一道習(xí)題（此處解答略）.該問題反映了實際生活中常見的最大視角問題，也可以作為數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本背景.

問題1 足球比賽場地寬m米，球門寬n米，在比賽中攻方球員帶球沿邊線推進(jìn)，如圖1所示.試問該球員在距守方底線多遠(yuǎn)處起腳射門，能使命中角度最大？

圖1 足球攻方射門的數(shù)學(xué)模型

問題2 國際曲棍球比賽標(biāo)準(zhǔn)場地的長為91.4m，寬為55m.球門寬AB 3.66m，如圖2所示.射門必須在射門?。ㄓ苫?？PQ、線段QR和??？RL圍成）內(nèi)進(jìn)行.其中，？PQ是以一側(cè)門柱A為圓心，以14.63m為半徑的1/4圓，同樣，？RL是以另一側(cè)門柱B為圓心，以14.63m為半徑的1/4圓.請問，曲棍球場上哪些點屬于射門最佳點，即命中率較高的點？哪些點命中率相同？

圖3 虛擬出的兩種物質(zhì)的溶解度與溫度關(guān)系的函數(shù)圖象

從化學(xué)的角度，我們還可以用勒夏特列原理對上述解答給出解釋.該原理指出：如果改變影響平衡的條件之一（如溫度、壓強以及參加反應(yīng)的化學(xué)物質(zhì)的濃度），平衡將向著能夠減弱這種改變的方向移動.當(dāng)物質(zhì)M，N的水溶液處于飽和狀態(tài)時，可以視為在一定溫度下的一種平衡.當(dāng)溫度升高（或降低）時，平衡將向能夠減弱這種改變的方向移動，即飽和溶液的飽和程度降低（或升高）.因此，物質(zhì)M的溶解度降低（小于10克），物質(zhì)N的溶解度升高（大于10克），問題的答案不言而喻是B.

化學(xué)中的勒夏特列原理與物理學(xué)中的楞次定律何其相似.楞次定律指出，閉合電路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它激發(fā)的磁場來阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化（簡言之，來時拒，去時留）.“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”.上述的原理和定律的數(shù)學(xué)模型就是圖象的平移.大家熟悉三角函數(shù)平移的法則：“左加右減，上加下減”.這個法則指出：當(dāng)改變（ ）yf x=中x，y的值時，圖象向著能夠減弱這種改變的方向移動.具體地說，對于（ ）yf x=，在x上加上或者減去幾個單位，它的圖象就沿著x軸向左（減小的方向）或向右（增大的方向）平移幾個單位；同理，在y上加上或者減去幾個單位，它的圖象就沿著y軸向下（減少的方向）或向上（增大的方向）平移幾個單位，反之亦然.

課標(biāo)課程十分重視學(xué)科間縱橫聯(lián)系，教材編寫者的良苦用心，旨在提醒教師要探究數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間千絲萬縷的聯(lián)系，各學(xué)科都在用不同的方式言說著同一個大千世界，數(shù)學(xué)建模是它們之間溝通的橋梁之一.當(dāng)我們面對現(xiàn)實生活中 “只緣身在此山中”的困惑時，數(shù)學(xué)建模給我們帶來“柳暗花明又一村”的頓悟，大有“吹盡黃沙始見金”的發(fā)現(xiàn)和“千樹萬樹梨花開”的驚喜.

3 重在理解，靈活運用

用數(shù)學(xué)建模解決實際問題對學(xué)生的閱讀理解能力有較高的要求.在精細(xì)閱讀的基礎(chǔ)上，要通過觀察、分析、篩選、區(qū)分獲得的信息，洞察實際問題的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)貙⑽淖终Z言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化.這種轉(zhuǎn)化過程就是把實際問題描述得具體、直白、但不簡約.有些會引出歧義的文字，翻譯成指意簡明、書寫簡練、含義深刻的符號語言，或者是表象直觀、易于思辨的圖形語言.這個過程就是靈活運用數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)思想方法建立可并求解的數(shù)學(xué)模型的過程.

例3 通過采購經(jīng)理指數(shù)（簡稱PMI）可以及時監(jiān)測和預(yù)測經(jīng)濟與商業(yè)活動中出現(xiàn)的問題和趨勢，使政府對宏觀經(jīng)濟有更好的把握.一般而言，PMI在50以上，反映經(jīng)濟總體擴張；接近60時，有經(jīng)濟過熱的風(fēng)險；低于50，反映經(jīng)濟衰退；接近40時，有經(jīng)濟蕭條的憂慮.

從國家統(tǒng)計局的經(jīng)濟統(tǒng)計分析資料，截取我國2000年1月份到10月份的PMI數(shù)據(jù)如下表：

試根據(jù)以上數(shù)據(jù)預(yù)測當(dāng)年我們11月份的PMI.

分析 本題以實際問題為載體，給出新信息情境，意在培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和知識遷移能力.

首先，要引導(dǎo)學(xué)生將表格中直觀數(shù)據(jù)的變化規(guī)律刻畫出來，其基本的數(shù)學(xué)模型就是函數(shù).其次，結(jié)合教材相關(guān)內(nèi)容，回顧建立函數(shù)模型解決實際問題的六個基本步驟，用手工描點或借助excel在電腦上畫出散點圖.再次，引導(dǎo)學(xué)生觀察和討論散點圖，尋找擬合程度最佳的函數(shù).在備選的對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)中，根據(jù)散點變化規(guī)律和數(shù)據(jù)增長比較平緩的特點，以對數(shù)函數(shù)模型為首選.第四，在應(yīng)用待定系數(shù)法確定對數(shù)函數(shù)表達(dá)式時，會隨著選取的散點不同而不同.經(jīng)過甄別，在計算機的幫助下，取3.8ln46.6yx=+來刻畫PMI與月份x的函數(shù)關(guān)系.

根據(jù)函數(shù)模型，可以預(yù)測11月份的PMI.在分析經(jīng)過幾個月是否會出現(xiàn)經(jīng)濟過熱的現(xiàn)象時，還要借助二分法求解方程近似解的方法.

可以看出，在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型的過程中，首先要突破的關(guān)鍵是將描述現(xiàn)實問題的文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言.也不難發(fā)現(xiàn)，在問題解決過程中，教材的知識點進(jìn)一步顯性化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，有利于學(xué)生新知識網(wǎng)絡(luò)的意義建構(gòu).

例4 “今日說法”欄目報道，某公司利用傳銷手段詐騙投資人，謊稱：“每位投資者投資1股460元，買一件商品（價值10元），半年后可得到540元的回報.每一期到期限后若繼續(xù)投資，投資股數(shù)是上一期的2倍.”

某退休工人開始投資1股，以后不斷地追加投資.但在投資到32股時，被告知該公司破產(chǎn).

試問：（1）假如該退休工人在前一期停止投資，他的投資回報率是多少？（2）傳銷最終要失敗的，試估算該退休工人損失的金額.

分析 這是一個揭露傳銷危害性的問題，“今日說法”的編輯以通俗直白簡約的語言描述了傳銷詐騙的事實.在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，要深度剖析，通過表格將數(shù)據(jù)顯性化.投資1股460元，半年后可得540元.回報率 =（回報金額—投資額）/投資額.因此投資1股的回報率是（540-450）/450×100%=20%.由于每一期投資的股數(shù)是上一期投資股數(shù)的2倍，因此我們可以算出從第二期開始以后各期追加的投資額和回報率.如下表：

分析表中數(shù)據(jù)，在不斷注資投入時，期末回報率顯然可以刺激獲利心態(tài)，但回報率的增幅卻在逐漸減小.如果退休工人在投資16股時果斷中止投資且公司能如約兌現(xiàn)，尚可得高回報率47.7%.但是高回報率必有高風(fēng)險性和高欺騙性，在傳銷人員游說和投資心理驅(qū)動下，到第6期時，退休工人累計投資達(dá)到11610元，公司倒閉人去樓空，11610元血本無歸損失慘重，教訓(xùn)深刻，發(fā)人警醒.

從構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程看，期間經(jīng)歷的閱讀理解、推理演算、抽象思維等數(shù)學(xué)活動，實質(zhì)上是現(xiàn)實問題的文字語言與數(shù)學(xué)語言各種形態(tài)間的轉(zhuǎn)換互譯的過程，用合理、準(zhǔn)確、簡潔的數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實問題的內(nèi)容是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，也為解決問題的數(shù)學(xué)思維鋪平道路.因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，傳統(tǒng)優(yōu)勢要弘揚，教學(xué)理念要更新，思想認(rèn)識要到位，日常教學(xué)要滲透，有效訓(xùn)練要落實.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思維的支撐點，也是數(shù)學(xué)知識的附著點，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的突破點.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程是遵循先直觀后邏輯的順序進(jìn)行的，要用邏輯檢驗、駕馭數(shù)學(xué)直覺.數(shù)學(xué)教學(xué)中，對教材中數(shù)學(xué)模型的理解與建構(gòu)要有足夠的重視，它不僅承載著數(shù)學(xué)信息，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.因此，我們要結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平循序漸進(jìn)地開展數(shù)學(xué)模型的理解、建構(gòu)與應(yīng)用的教學(xué)活動.學(xué)生有比較豐富的基礎(chǔ)模型作為支撐，才能在合情推理、邏輯推理中構(gòu)建解決實際問題的數(shù)學(xué)模型.作為課改的實踐者，我們要糾正認(rèn)識上的偏頗，精心設(shè)計數(shù)學(xué)建?；顒?，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使之成為有意義的接受式學(xué)習(xí)的補充，成為改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式的重要途徑.

[2]張思明.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐與認(rèn)識.數(shù)學(xué)通報，1996（6）：10[3]單墫.解題研究.上海：教育出版社，2007

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[5]徐章韜.從物理角度看三角函數(shù)圖象中的有關(guān)問題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009（4）：14-15

[6]吳增生.數(shù)學(xué)模型理解與建構(gòu)的心理機制及其教育啟示.基礎(chǔ)教育論壇，2010（1）：3-7