“三次函數(shù)零點判別探究”的教學實錄和感想

胡勇

1 探究背景

高三數(shù)學總復習的導數(shù)復習課后，有學生提出：二次函數(shù)有根的判別式，那么三次函數(shù)的根的個數(shù)能否由系數(shù)進行判別呢？對此，筆者沒有立即給出答案，而是思索如何利用這個問題發(fā)動學生去自主探究，通過探究使學生熟練運用導數(shù)工具解決函數(shù)問題，讓學生領悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、猜想和歸納等數(shù)學思想，引導學生積極參與到知識的發(fā)生發(fā)展過程中去，體驗知識獲取的艱辛和愉悅.

在組織學生探究之前，筆者對這個問題先行進行了探究.首先，三次函數(shù)的一般形式f（ x ）=ax3+ bx2+cx+d（ a≠0）中含有四個參數(shù)，直接探究其零點判定，對學生來說難度較大.聯(lián)想到三次函數(shù)經(jīng)過平移和伸縮變換后總可以化成下列形式：f（ x ）=x3+px+q.在不完全的三次函數(shù)形式里，參數(shù)減少為兩個，探究的難度就大大減少了.反之，若不完全形式的三次函數(shù)零點問題解決了，一般形式的三次函數(shù)就可以先轉(zhuǎn)化成不完全形式，然后再利用已有結(jié)論進行判別.

針對以上的思考，筆者設計了層層遞進的疑問，每一步使學生能夠做到“跳一跳，夠得到”，一步步逼近結(jié)論.并且對某些公式和定理進行認真的推導，對學生的現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實中有哪些與本質(zhì)類似或有聯(lián)系等問題進行慎密的思考，對探究過程中學生可能出現(xiàn)的即時生成問題，準備好引領辦法，這樣才能做到胸有成竹，避免浪費寶貴的教學時間.下面是課堂實錄.

2 探究實錄

2.1 情境創(chuàng)設，引入課題

問題1 已知函數(shù)（ ）31f xxax=？+有三個零點，求a的取值范圍.

設計意圖 從典型的例習題聯(lián)想提出新問題，從熟悉的問題而想到尚待解決的問題，從特殊的背景猜想得到一般性的結(jié)論并加以證明，這樣設計可以激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望，提高學生的猜想和歸納能力.

（投影生1的解答過程）

3 教學體會

3.1 教師應先行考慮問題是否有探究的必要

“以學生為主體”的教育觀念要求教學過程要在探究活動中展開，也就是說，概念、公式、定理等的數(shù)學都要體現(xiàn)數(shù)學化的教學思想，要揭示數(shù)學的形成過程.什么問題可以讓學生自主探究，什么問題不適合在課堂探究，根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”如何設置探究的難度和過程，探究過程中學生可能會遇到哪些思維障礙如何啟發(fā)學生解決問題，等等.這些都需要教師在組織學生探究之前應該先行探究，并解決以下兩個問題：有沒有探究的必要？如何確定探究的起點和探究的方式？對于那些抽象度較低、無任何知識背景的工具性知識或?qū)W生容易理解其產(chǎn)生或形成過程的概念或數(shù)學結(jié)論，采用接受性學習比較經(jīng)濟和理想.對于那些本身具有較強的經(jīng)驗性、演繹性或?qū)ο笮缘臄?shù)學知識，教學中從學生日常經(jīng)驗或教材出發(fā)，開展數(shù)學探究性學習則是必要的.探究的起點不宜太高，應選用學生比較熟悉的背景作為切入點.將學生的興趣和注意力引導到探究的問題中去后，探究過程應是探究課的重點所在，采用自主探索與合作交流相結(jié)合的方式為好.但要保證足夠的時間和空間讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程.

3.2 探究時教師要充分發(fā)動學生的積極性

蘇霍姆林斯基說過：“學生要想牢固地掌握數(shù)學，就必須用內(nèi)心創(chuàng)造與體驗的方法來學習數(shù)學”.因此，引導學生在體驗中學習，在體驗中自主探究、自主發(fā)展是學好數(shù)學的關鍵.在學習過程中，教師通過指導、創(chuàng)設情境，提供信息資料、工具和情感交流等多種途徑使學生在不斷的“體驗”中獲得知識，發(fā)展能力.要給學生獨立思考的時間和空間，充分用好學生的口、手和思維，讓學生敢說、敢做、敢于發(fā)現(xiàn)問題、敢于發(fā)表見解，最大限度地讓學生在體驗中學習，在合作中提高，在主動中發(fā)展.只有這樣學生才能真正體會和感受知識的生長過程與創(chuàng)作，體驗其中蘊含的發(fā)現(xiàn)，有助于加深對概念的理解，搞清概念的內(nèi)涵特征，從而提高課堂教學的有效性.

3.3 探究時教師要適時控制過程和難度

因為學生對中學數(shù)學知識之間的聯(lián)系和內(nèi)在的數(shù)學思想認識還具有一定的局限性，對所探究的問題難度，教師要充分把握好，并能根據(jù)學生的心理特征和學情，為學生提供豐富的案例和背景材料，引導和幫助學生提出問題，讓取得數(shù)學結(jié)果的過程是一個具有坡度循序上升的探究過程.

教學調(diào)控是課堂教學活動的一個重要環(huán)節(jié)，也是確保教學探究活動順利進行的有效手段.要提高探究學習的有效性，要求教師能夠?qū)W生探究過程進行有效調(diào)控.當學生集體遇到困難的時候，用直觀的教具、圖象或精辟的語言等做有針對性的啟發(fā)；當學生探究誤入歧途的時候，適當點撥一下探究的思路，把學生引向正確可行的方向；當學生探究的思路可行但繁瑣的時候，在充分肯定的前提下鼓勵學生另辟蹊徑，指出更好的方法.尊重學生，信任學生，以學生為主體，時刻關注學生的學習動態(tài)適時點撥，與學生密切合作，只有這樣才能充分調(diào)動學生學習的積極性、主動性，讓學生在經(jīng)歷數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)和解決的歷程中體驗成功的喜悅.

3.4 學生是探究的主體，教師是組織指導者合作交流者

探究的課堂體現(xiàn)為各種生態(tài)元素（因子）有機整合與協(xié)調(diào)運動，師生、同伴間互相激發(fā)、共同參與、合作交流、質(zhì)疑探究，共同發(fā)展，持續(xù)發(fā)展，和諧發(fā)展.學生是發(fā)展的人，是學習的主體，他們有著很強的探索欲望.教師要注意角色定位的轉(zhuǎn)換，由傳統(tǒng)的知識傳授者轉(zhuǎn)向現(xiàn)代的學生發(fā)展的促進者.問題探究前先為學生提供適當?shù)?、有探究價值的背景和充分的信息，激發(fā)學生的探究熱情，讓學生根據(jù)所提供的信息自己設計解決思路和解決方案.在探究過程中，對學生中出現(xiàn)創(chuàng)新思維火花，要及時加以表揚，激發(fā)其奮勇直前.當學生遇到這樣那樣的挫折和失敗時，教師要鼓勵他們不要灰心，應該學會如何正確面對失敗，引導他們找出問題到底出在什么地方、如何避免、怎樣改進.這樣有利于學生逐漸揭示數(shù)學的本質(zhì)，完善對數(shù)學概念、方法、思想的理解，使學生的自主性、獨立性、能動性和創(chuàng)造性得到真正的體現(xiàn)，有利于把學生培養(yǎng)成具有頑強意志和勇于接受挑戰(zhàn)精神的人，有利于創(chuàng)新人格的塑造.